矩陣論習題答案（方保镕編著）習題 1.

1、習題 1.21. 解：因為對r的任一向量()，按對應規(guī)則都有r中惟一確定的向量與之對應，所以是r的一個變換.(1) 關于軸的對稱變換；(2) 關于軸的對稱變換；(3) 關于原點的對稱變換；(4) 到軸的投影變換；(5) 到軸的投影變換.2. 解： (1) 不是.因為 ()+k()+k=+ (2) 不是.因為()k()+k (3) 不是.因為取 x=(1 , 0 , 0 ) , 時, (k x)=(k,0, 0)k( x)= k(1, 0, 0)=(k, 0, 0)(4) 是.因為 設x=() , y=() (kx+ky)= =k(x)+k( y)(5) 是.因為 ()=k(f(x)+k(6)

2、是.因為 ()= k(f(x)+k (7) 不是.因為 設x=() , y=() (kx+ky)= (k(x)+k( y)=( .3. 解：(+)= ()+ () (k)= (k(x, x)()所以是線性變換.同理可證也是線性變換. (+)()= (+)(x, x)=(x, x)+(x, x) ()= ()=( x, -x)=(- x, -x) ()= ()=( x, -x)=( x, x) .4. 證：（1）因 (a)+(b)k(a)故是線性變換.（2）(a)b+a(b) (ab) 5. 解：令 即可.6. 證：設，則 (-)(f(x) =(f(x)(f(x)=xf(x)f(x)故是恒等變換

3、.7. 證：設，則，由于 (e)+ (e)=(e+e)=e+e(e)(e)=(ee)=ee所以，(e)=e , (e)= e 于是 ()=k(e)+k(e)= k(e)+k(e)=()故 =.8. 解：(1) 因為在平面上，其投影不變，故有(i)=i , (j)=j , 又垂直平面，則 , 得(i), (j), (k)=(，) 所求矩陣為a= .(2) 因為, 所以, 所求矩陣為 a= .(3) 由的定義知, (i)= (1 ,0 ,0 )= ( 2 ,0 ,1) (j)= (0 ,1, 0 )= ( -1, 1 , 0) (k)= (0 ,0 ,1)= ( 0 ,1 , 0)有 (i), (

4、j), (k)=( 所求矩陣為 a= . (4) 據(jù)題設： 則=()=( ) =( )=( ) =() = ( ) =于是 ( , , , , , ) , 所求矩陣為 d= 9. 解：(1) ()=() =()c所求矩陣為 b=cac= (2) ()=() =()c所求矩陣為 b=cac = (3) ()=() =()c所求矩陣為 b=cac= 10. 解：由定義知 所以，所求矩陣為 . 11. 解 ： 因為 所以，所求矩陣為 . 12. 解： (,)=() ()=(,) = (,) c b=cac= = .13. 解：(1) (,) = () c , 過渡矩陣為 c=()(,) = = (2

5、) (,)=(,) = () c故在基下的矩陣就是 c.(3) (,(),() ) = (,) = () c =(,) c= (,) c故在基下的矩陣仍為c. 14. 解：（1） 由于故在該基下的矩陣為類似地，可得在該基下的矩陣為.由于=，所以在該基下的矩陣為同理，可得在該基下的矩陣為 （2）由于由簡單基e11，e12，e21，e22改變?yōu)榻o定基e1，e2，e3，e4的過渡矩陣為 于是，在給定基下的矩陣為15. 解： （1）將題給關系式寫成矩陣形式為 (,(),() ) 即由于，所以有(故在基（ii）下的矩陣 （2）因為( 所以在基（i）下的坐標為（3，5，9）.16. 解：（1）取的簡單基1

6、，x，x2，則有 從簡單基改變到基f1，f2，f3和g1，g2，g3的過渡陣分別為 ， 故有 (g, g, g)= (1, x, x )c= 即在基（ii）下的矩陣 （2）因為 所以 (f(x)= . 17. 證：設在給定基下的矩陣為，并設c為從舊基到新基的過渡矩陣，由于在任一組基下的矩陣相同，則有，即ac=ca，根據(jù)“a與一切滿秩矩陣可變換”性質(zhì)，即可定出a必為數(shù)量矩陣.18. 解：由基到基的過渡矩陣為故 下的矩陣為.那么，+ ， ， ， (+ )在基下的矩陣分別為 ， , ， .19. 證：設有可逆方陣p與q，使 b=pap , d=qcq 則 = = = 即 與 相似.20. 證：設，則

7、a，b的行向量的極大無關組中分別含有個行向量，設分別為和，則a的每個行向量均可由線性表示，b的每個行向量均可由線性表示.又可a+b的每個行向量是a與b的相應行向量的和，故a+b的每個行向量均可由，線性表示.因此a+b的行向量組的極大無關組中所含向量的個數(shù)不超過，即.21. 證：設，則，所以，.這就說明b的列向量都是以a為系數(shù)矩陣的齊次方程組的解.由于，所以解空間的維數(shù)為，從而知的極大無關組所含向量的個數(shù)，即，因此有 . 22. 證：設a，b為同一數(shù)域上的與階矩陣，顯然，方程組bx=的解向量x也滿足方程組，記 ， 則，于是即.又由于 因此 .23. 證：由上題知，現(xiàn)在只需證明即可.考慮線性方程組

8、，設是方程組的一組解，將兩邊左乘xt，得，即，所以，即.于是 即有，故有 ，并且有即有.注：對復矩陣a，上式不一定成立.例如 ,.由于 故.此時，相應的關系式應為 . 24. 證：必要性.由上題已證得，充分性只要在ax=兩邊左乘at即可.25. 證：（1）因為，故，不妨設a的前n行線性無關，且構成的n階滿秩方陣為a1，后行構成的矩陣為a2，則 所以，但，故.（2） 同理可證.26. 解：（1）， ； （2）， ； （3）， .27. 證：因為，但，故m階方陣c的秩，所以c是降秩的.28. 解：先求矩陣a的特征值和特征向量為 ， , 故的特征值和特征向量為 ， ， ， ， .29. 解：（1），

9、.(2), ，（3），；（4），.以上分別求出了在不同基下所對應矩陣a的特征值和特征向量，則類似于上題的方法，可求出不同基下所對應的特征值和特征向量.30. 解：（1），（2），（4）為非虧損矩陣（單純矩陣），其變換矩陣p分別為 （1）； （2） ; （4）.31. 證 ： 設在給定基下的矩陣為a，則 32. 證：設，則存在滿秩矩陣p與q，使得，故有 其中， 這說明ab與diag（）相似.另一方面，有，說明ba與相似.不難驗證有 故ab與ba有相同的特征多項式，因此有相同的特征值和跡.33. 證：設a的任一特征值為，的對應于的特征子空間記為.對中任意向量z有 故，因此為線性變換的不變子空間，即

10、為中的線性變換，此線性變換的特征向量即為b的特征向量，但它又屬于，由的定義知它又是a的特征向量，即a與b有公共的特征向量.34. 證：設a的特征值為，則a2的特征值為，由有，若所有，則a+i為滿秩矩陣，故由（a+i）（a-i）=a2-i2=0，有a=i.35. 證：不失一般性，設b非奇異，有ab=b-1（ba）b即ab與ba相似，所以它們有相同的特征多項式.36. 證：設a為n階方陣，具其秩為，由于a2=a，知a的列向量都是a的對應于特征值1的特征向量.因，故特征值1的幾何重復度為r，其代數(shù)重復度至少為r.又的基礎解系中的向量個數(shù)為，即a的特征值0的幾何重復度為，其代數(shù)重復度不小于.由于一個n

11、階矩陣的特征值的代數(shù)重復度之和恰為n，故特征值1和0的代數(shù)重復度分別為r和.可見a除了1和0外無其它特征值，而1和0的幾何重復度之和為n，故a為非虧損矩陣，所以a相似.37. 證：用反證法.若a可相似于對角矩陣，對角元素即為a的特征值，且至少有一個不為0.但是，由于，于是，因為，所以，故，即a的特征值都等于0，矛盾.38. 證：由，有，從而有，即x也是的特征向量.顯然的特征值為，即為的多項式.39. 解：取r3中的自然基，計算得()=(0 , -2 ,-2 ) , ()=(-2 , 3 ,-1 ) , ()=(-2 , -1 ,3 )則在基下的矩陣為 而a的特征值為，與之對應的特征向量為，則有

12、，其中.由=（）c求得的另一組基為，顯然在該基下的矩陣為對角陣.40. 解：（1）因為 ，所以在基1，x，x2下的矩陣.（2）由于a原特征值為，相應的特征向量為，存在可逆陣，使，故所求的基為 .41. 解：（1）對任意的及，有 =k()+l()故是線性變換.（2）取v的簡單基 由于, ,所以在基下的矩陣為 r的特征值為，對應的線性無關的特征向量為（1，1，0）t，（0，1，1）t，（0，1，-1）t，令 ， 則有，由（b1，b2，b3）=（a1，a2，a3）c求得v的另一組基為，在該基下的矩陣為.42. 證：（1）取vn的一組基，設 （）=（）a （）=（）b則有 ()（）=（）（ab） (+

13、)（）=（）（a+b）由=+，可得ab=a+b，從而有btat=at+bt.若1是的特征值，則 1也是a的特征值，從而1也是at的特征值，設at對應于特征值1的特征向量為，即，由（btat）=（at+bt），可得bt=+bt，即=0，這與是at的特征向量矛盾，故1不是的特征值.（2）因有幾個不同的特征值，所以有n個線性無關的特征向量.記的對應于特征值的線性無關的特征向量為x1，x2，xn，即 （i=1，2，n），則x1，x2，xn作為vn的基時，的矩陣a=diag（）.再由ab=a+b及知 即與在該基x1，x2，xn下的矩陣都為對角陣.43. 證：對任意，有(.由于()= ()=()所以, 故

14、是的不變子空間.44. 解：(1) ( )=( )c=() b=cac = (2) 先求核) . 設=在基下的坐標為()，(在此基下的坐標為(0,0,0,0)，于是 a = 此時a的秩為，解之，得基礎解系 ,作 . 顯然，為核)的一組基，故核由所張成，即 )=span() .再求值域(v) . 由于(e),(e),(e),(e) = () a 而a的秩為，所以(e),(e),(e),(e)的秩也為，且(e),(e)線性無關，故組成( v)的基，從而( v)=span(e),(e) .(3) 由(2)知是核)的一組基，易知為v的一組基，由于有()=() = () d 所以在此基下的矩陣為b=da

15、d= (4) (2)知(e),(e)是值域 (v)的一組基，又知(e),(e),為v的一組基，有 (e),(e),)=() =() t所以在此基下的矩陣為 b=ta t = .45. 證：取r3中的自然基，因為(+ )()=()+ ()=（1，0，0）+（0，0，1）=（1，0，1）同理有(+ )()=（2，0，0），(+ )() =（1，1，0）這表明+ 將基變換成r3中的另一組基=（1，0，1），=（2，0，0），=（1，1，0）（易證它們線性無關）.又因（+ ）（r3）是r3的子空間，而是（+ ）（r3）的最大無關組，故這個子空間的維數(shù)為3，再由習題1.1中第22題的結果知（+ ）（r3）=r3（此時取v2=r3）.46. 解：因為()=()= =（0，0，）所以的像子空間為 r()核子空間為n()因此，dimr()=1，其一組基為（0，0，1）；dim n()=2，其一組基為（0，1，0），（0，0，1）.47. 證 ：（1）由的定義容易驗證滿足可加性和齊次性，所以它為線性變換.又因()=， 推知，即（零變換）.（2）若，則=0即為由一切形如（0，0，）的向量構成的子空間，它是一維子空間，則（0，0，1）是它的基. 又由維數(shù)關系 dim(v)+dim()=n便得