三角形全等的證明[優(yōu)教課堂]

1、三角形全等的判定三角形全等的判定 一、邊角邊一、邊角邊 （SAS） 二、角邊角二、角邊角 (ASA) 三、角角邊三、角角邊 (AAS) 四、邊邊邊四、邊邊邊 (SSS) 五、綜合練習五、綜合練習 制作人：王一豹 1上課教育 互相重合的頂點叫做 。 互相重合的角叫做 。 互相重合的邊叫做 。 其中 2. 叫做全等三角形。 1.能夠重合的兩個圖形叫做 。 全等形全等形 4.全等三角形的 和 相等對應邊對應邊 對應角對應角 對應頂點對應頂點 復習提問復習提問 能夠重合的兩個三角形 3.“全等”用符號“ ”來表示，讀作“ ” 對應邊對應邊 對應角對應角 5.書寫全等式時要求把對應字母放在對應 的位置上

2、 全等于全等于 2上課教育 全等三角形的判定（一）全等三角形的判定（一） SAS（邊角邊定理（邊角邊定理) 3上課教育 畫畫ABC,使使AB=3cm，AC=4cm。 畫法：畫法： 2. 在射線在射線AM上截取上截取AB= 3cm 3. 在射線在射線AN上截取上截取AC=4cm 這樣畫出來的三角形與同桌所畫的三角形進行比這樣畫出來的三角形與同桌所畫的三角形進行比 較，它們互相重合嗎？較，它們互相重合嗎？ 若再加一個條件，使若再加一個條件，使A=45，畫出，畫出ABC 1. 畫畫MAN= 45 4.連接連接BC 則則ABC就是所求的三角形就是所求的三角形 把你們所畫的三角形剪下來與同桌所畫的三角形

3、進行把你們所畫的三角形剪下來與同桌所畫的三角形進行 比較，它們能互相重合嗎？比較，它們能互相重合嗎？ 4上課教育 再任意畫一個再任意畫一個ABC和和DEF，使，使AB=DE , AC=DF , A=D , 把畫好的把畫好的ABC和和DEF比比 較，它們?nèi)葐?？較，它們?nèi)葐幔?A B C D E F ABC DEF 5上課教育 由前邊的作圖比較過程，我們可以得出什么結(jié)論？由前邊的作圖比較過程，我們可以得出什么結(jié)論？ 用符號語言表達為：用符號語言表達為： 在在ABC與與 DEF中中 AB=DE A=D AC=DF ABC DEF（SAS） A BC D EF 兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形

4、全兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全 等。等。簡寫成簡寫成“邊角邊邊角邊”或或 6上課教育 圖 1 已知：如圖1，AC=AD，CAB=DAB 求證：ACBADB AC=AD（已知） CAB=DAB（已知） AB=AB（公共邊） ACBADB（SAS） 例1 證明：在ACB和ADB中 例例 題題 講講 解解 A B C D 7上課教育 圖2 已知：如圖2，ADBC，AD=CB 求證：ADC CBA 分析分析：觀察圖形，結(jié)合已知條件，知， AD=CB，AC=CA，但沒有給出兩組對 應邊的夾角（1，2）相等。 所以，應設(shè)法先證明1=2，才能使 全等條件充足。 AD=CB（已知） 1=2（已知）

5、AC=CA （公共邊） ADC CBA（SAS） 例2 證明：ADBC 1=2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 在DAC和BCA中 D C 1 A B 2 B 8上課教育 B 2 D C 1 A 動動 態(tài)態(tài) 演演 示示 9上課教育 圖3 已知：如圖3 ，ADBC，AD=CB，AE=CF 求證：AFD CEB 證明：ADBC（已知） A=C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又 AE=CF AE+EF=CF+EF（等式性質(zhì)） 即AF=CE 在AFD 和CEB 中 AD=CB（已知） A=C（已證） AF=CE（已證） AFD CEB（SAS） 若求證D=B ， 如何證明？ 分析分析：本題已知中的前兩個條件，與

6、例 2相同，但是沒有另一組夾邊對應相等 的條件，不難發(fā)現(xiàn)圖3是由圖2平移而得。 利用AE=CF，可得：AF=CE 變式訓練變式訓練1 問問： AD B E F C 10上課教育 B 2 D C 1 A 動動 態(tài)態(tài) 演演 示示 11上課教育 練習練習：已知：如圖4，點A、B、C、D在同一條直 線上，AC=DB，AE=DF，EAAD，BCAC，垂足分 別為A、D 圖4 求證：（1）EAB FDC、（2）DF= AE B E C D F A 12上課教育 解解 題題 小小 結(jié)：結(jié)： 解題思路解題思路 1、根據(jù)“邊角邊（SAS）”條件，可 證明兩個三角形全等； 2、再由“全等”作為過渡的條件， 得到對

7、應邊等或?qū)堑龋?13上課教育 A D B E C 1 2 圖5 變式訓練變式訓練2 已知：如圖5：AB=AC，AD=AE，1=2 求證：ABD ACE 證明：1=2（已知） 1+BAE = 2+BAE（等式性質(zhì)） 即 CAE= BAD 在CAE和BAD 中 AC=AB（已知） CAE=BAD（已證） AE=AD ABD ACE（SAS） 分析分析：兩組對應夾邊已知，缺少 對應夾角相等的條件。 由BAE 是兩個三角形的 公共部分，可得：CAE=BAD。 14上課教育 變式訓練變式訓練2：拓拓 展展 （1）求證：E=D （2）若ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使1=900時，直線EC， BD的位置關(guān)系

8、如何？給出證明。 當EAD 為平角時呢？ 圖5 D B A E C M F 已知：如圖5：AB=AC，AD=AE，1=2 A D B E C 1 2 15上課教育 解解 題題 小小 結(jié)：結(jié)：解題思路解題思路 1、根據(jù)“邊角邊（SAS）”條件，可證明兩 個三角形全等； 2、再由“全等”作為過渡的條件，得到對應邊 等或?qū)堑龋?3、由“邊”等，再根據(jù)等式性質(zhì)得到其它線段相等； 由“角”等，再證明兩直線平行、兩直線垂直或延 伸的外角和等變換。 16上課教育 1在證明三角形全等時，要善于觀察圖形， 運用已學知識挖出隱含條件。 總結(jié)概括，知識拓寬總結(jié)概括，知識拓寬 2明確全等三角形“邊角邊”公理的運用

9、方法。 17上課教育 全等三角形的判定（二）全等三角形的判定（二） ASA（角邊角定理）（角邊角定理） 18上課教育 創(chuàng)設(shè)情景,實例引入 一張教學用的三角形硬紙板不小心一張教學用的三角形硬紙板不小心 被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來 同樣大小的新教具？能恢復原來三角形同樣大小的新教具？能恢復原來三角形 的原貌嗎？的原貌嗎？ 怎么辦？可以 幫幫我嗎？ 19上課教育 C B E A D 20上課教育 先任意畫出一個ABC， 再畫一個A/B/C/，使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B 。把畫好 的A/B/C/剪下，放到ABC上， 它們?nèi)葐幔?探究1: 2

10、1上課教育 已知：任意 ABC，畫一個 A/B/C/， 使A/B/AB， A/ =A， B/ =B ： 畫法： 2、在 A/B/的同旁畫DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于點C/。 1、畫A/B/AB； A/B/C/就是所要畫的三角形。 問：通過實驗可以發(fā)現(xiàn)什么事實？ 22上課教育 引入新課： 作圖：已知：ABC，(讓同學們自 己畫）再畫一個三角形A/B/C/,使 B/C/=BC, B/= B, C/= C. 1、畫線段A/B/=AB 2、在A/B/的同旁，分別以A/、B/為頂點畫 D A/B/=A, E B/A/=B , A/D 、B/E交于點C/, 得 A/B/

11、C/ 23上課教育 現(xiàn)在同學們把我們所畫的兩個三角形重合在 一起，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 完全重合 角邊角公理： 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡 寫為“ASA”) 講解新課： 24上課教育 例1、已知：如圖，DAB=CAB，C=D 求證：AC=AD 證明： DAB=CAB，C=D ABD=ACD (三角形內(nèi)角和定理） 在ACB和ADB中 DAB=CAB AB=AB （共用邊） ABD=ACD ACBADB （ASA) AC=AD 講解新課: 25上課教育 例2、已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CD交于 O點，AB=AC，B=C. 求證：BD=CE 證明：在ABE和ACD中 A=

12、 A AB=AC B=C ABE ACD （ASA) AD=AE AB=AC BD=CE 講解新課 26上課教育 如圖，要證明如圖，要證明ACE BDF,根據(jù)給定的條件根據(jù)給定的條件 和指明的依據(jù)，將應當添設(shè)的條件填在橫線上。和指明的依據(jù)，將應當添設(shè)的條件填在橫線上。 （1）ACBD，CE=DF， (SAS) ( 2) AC=BD， ACBD (ASA) ( 3) CE=DF， (ASA) ( 4) C= D， (ASA) C B A E F D AC=BD A=B C=D AC=BD A=B AEC=BFD 課堂練習課堂練習 27上課教育 1、如右圖：已知，ABE=CBD, BCE=DBA,

13、EC=AD 求證：AB=BE,BC=DB 2、如右圖：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC， EO=OF 求證：AEB DFC 變式練習： 28上課教育 全等三角形的判定（三）全等三角形的判定（三） AAS（角角邊定理）（角角邊定理） 29上課教育 定理的引入: 如圖在ABC和DEF中，A=D， B=E ，BC=EF，ABC與DEF全等 嗎？ A B C D E F 證明：證明：A+B+C=180 D+E+F=180 又又A=D B=E C=F C=F BC=EF B=E ABCABCDEF (ASA)DEF (ASA) 30上課教育 A B C D E F 如圖所示，如圖

14、所示， ABC DEF,那么那么 角角邊定理得證。角角邊定理得證。 三角形的判定定理三三角形的判定定理三 在兩個三角形中，在兩個三角形中， 如果有二個角和任意一如果有二個角和任意一 條邊相等，那么這兩個條邊相等，那么這兩個 三角形全等。三角形全等。 A=D B=E BC=EF ABC DEF (AAS) 31上課教育 例題講解：例題講解： 例例1.已知：點已知：點D在在AB上，點上，點E在在AC上，上，BE和和CD相交于相交于 點點O，AD=AE，B=C。 求證：求證：BD=CE 證明證明 ：在：在ADC和和AEB中中 A=A（公共角）（公共角） AD=AE（已知）（已知） C=B（已知）（已

15、知） ACD ABE（AAS） AB=AC （全等三角形的對應邊相等）（全等三角形的對應邊相等） 又又 AD=AE （ 已知）已知） BD=CE D B E A O C 32上課教育 鞏固練習鞏固練習 如圖，如圖，1=2，D=C 求證：求證：AC=AD 證明：在證明：在_和和_中中 _ （ ） _ （ ） _ （公共邊）（公共邊） _ _（ ） _（全等三角形對應邊相等（全等三角形對應邊相等） C A D B 1 2 ABDABC 1=2 D=C AB=AB ABD ABC AC=AD 已知已知 已知已知 AAS 33上課教育 全等三角形的判定（四） SSS（邊邊邊定理） 34上課教育 定理的

16、引入: A BC D 已知：AC=DE AB=DF BC=FE 求證：ABC DFE E 思考 F 35上課教育 定理的引入: A B C D 已知：AC=DC AB=DB 求證：ABC DBC 證明：連接AD， AC=DC CAD= CDA 同理， BAD= BDA BAC= BDC AC=DC A= D AB=DB ABC DBC（SAS） 36上課教育 A C D B 如圖所示， ABC DBC ，那么 邊邊邊定理得證。 在兩個三角形中，在兩個三角形中， 如果有三條邊相等，如果有三條邊相等， 那么這兩個三角形全那么這兩個三角形全 等。等。 三角形的判定定理四三角形的判定定理四 AC=DC

17、 AB=DB BC=BC ABC DBC（SSS） 37上課教育 例1：如圖，已知AB=CD，BC=DA。 說出下列判斷成立的理由： （1）ABC CDA （2）B=D A B C D 解（1）在ABC和CDA中 AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA（公共邊） ABC CDA（SSS） （2） ABC CDA B=D（全等三角形的對應角相等） 38上課教育 練習1 如圖，已知點B、E、C、F在同一條直線 上，ABDE，ACDF，BECF。求證：A D。 證明：BECF（已知） 即 BCEF在ABC和DEF中 ABDE（已知） ACBF（已知） BCEF（已證） ABC DEF（S

18、SS） AD(全等三角形對應角相等） F A B EC D 小結(jié)：欲證角相等，轉(zhuǎn)化為 證三角形全等。 BE+EC=CF+EC 39上課教育 例2，如圖，已知ABCD，ADCB，求證：BD 證明：連結(jié)連結(jié)AC, ABCD（已知） ACAC（公共邊） BCAD（已知） ABC CDA（SSS） BD（全等三角形對應角相等） A B C D 在ABC和 ADC中 40上課教育 問：此題添加輔助線，若連結(jié)BD行嗎？ 在原有條件下，還能推出什么結(jié)論？ 答：ABCADC，ABCD，ADBC A B C D 小結(jié)：四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形小結(jié)：四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形 問題解決。問題解決。 41上課教育 對應對

19、應 相等相等 的元的元 素素 兩邊一角兩邊一角兩角一邊兩角一邊 三角三角 三邊三邊 兩邊及其兩邊及其 夾角夾角 兩邊及其兩邊及其 中一邊的中一邊的 對角對角 兩角及其兩角及其 夾邊夾邊 兩角及其兩角及其 中一角的中一角的 對邊對邊 三角形三角形 是否全是否全 等等 一定一定 （SAS） 不一定不一定 一定一定 (ASA) 一定一定 (AAS) 不一定不一定 一定一定 (SSS) 歸納：二個三角形全等的判定方法 42上課教育 五、綜合練習題五、綜合練習題 全等三角形的應用全等三角形的應用 43上課教育 ：利用全等三角形證明線段（或角）相等利用全等三角形證明線段（或角）相等 例1：如圖，直線AC、

20、 BD交于點O，OA=OC OB=OD 直線EF過點O且 分別交AB、 CD于E、F O F E D C B A 求證：OE=OF 在AOB和COD中 OB=OD AOB=COD OA=OC AOB COD （SAS） B=D （全等三角形的對應角相等） 在BOE和DOF中 B=D OB=OD BOE=COF BOE DOF （ASA） OE=OF （全等三角形的對應邊相等） 證明 44上課教育 AB=DC AC=DB BC=CB 證明證明：在在ABC和和DCB中中 如圖：如圖：AB=DC，AC=DB 求證：求證：ABO=DCO ABCDCB （SSS） A=D (全等三角形的對應角相等全等三

21、角形的對應角相等) 在在AOB和和DOC中中 A=D AOB=DOC AB=CD AOB DOC （AAS） ABO=DCO （全等三角形的對應角相等）（全等三角形的對應角相等） O C D B A 45上課教育 鞏固練習：鞏固練習： 如圖：如圖：ACBC ADBD ，AD=BC CEAB DFAB，垂足分別為，垂足分別為E、F，求證：，求證：CE=DF FE D C BA 分析：分析： 由已知可推出由已知可推出ABC BAD 要證要證CE=DF，需證，需證ACE ADF，所缺條件可由，所缺條件可由 ABC BAD推出推出 46上課教育 二：利用全等三角形證明線的垂直關(guān)系二：利用全等三角形證明線的垂直關(guān)系 4 3 2 1 G E