奧數(shù)幾何三角形五大模型帶解析

1、fq 18 三角形五大模型 本講復(fù)習(xí)以前所學(xué)過的有關(guān)平面幾何方面的知識(shí), 旨在提高學(xué)生對(duì)該部分知 識(shí)的綜合運(yùn)用能力 重點(diǎn)模型重溫 AB 一、等積模型 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； 兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比; C D 兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如右圖Si :S2 a:b 夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖SACD SBCD ； 反之，如果SaacdSa bcd，則可知直線4 平行于CD . 等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四 邊形）； 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； 兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的

2、底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等, 面積比等于它們的高之比. 、等分點(diǎn)結(jié)論（“鳥頭定理”） 2 11 如圖三角形AED占三角形ABC面積的-X-=- 三、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”) Si : S2=S 4 : S3 或者 Si XS3=S 2 XS4 AO : OC= (S1+S2) : ( S4+S3) 梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”) Si : S3=a 2 : b2 Si : S3 : S2 : S4= a2 : b2 : ab : ab ; S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為(a+b ) 2 模型四：相似三角形性質(zhì) 如何判斷相似 (1) 相似的基本概念： 兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊城比例，對(duì)應(yīng)角相等。 (

3、2) 判斷相似的方法： 兩個(gè)三角形若有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等則這兩個(gè)三角形相似； 兩個(gè)三角形若有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例， 且這兩組對(duì)應(yīng)邊所夾的角相等則兩個(gè) 三角形相似。 ABC Si : S2=a 2 : A2 模型五：燕尾定理 SBG : SGC = SBGE: SA3EC= BE: EC; SBGA : SBGC = SGF: SA3FC = AF: FC; SGC : SBCG = SDG : SQGB = AD : DB ; 【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】 1模型一與其他知識(shí)混雜的各種復(fù)雜變形 2.在紛繁復(fù)雜的圖形中如何辨識(shí)“鳥頭” 【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】 1. 三角形面積等高成比 2. “鳥頭定理” D 【習(xí)題精講】

4、 【例1】（難度等級(jí)丿 如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn) E、F、G分別 是長(zhǎng)方形ABCD邊上的中點(diǎn)，H為AD邊上的任意一點(diǎn)，求陰影 部分的面積 【例2】（難度等級(jí)丿 如右圖，ABFE和 CDEF都是矩形，AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng) 是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米. 【例3】（難度等級(jí)丿 如圖，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別為 AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形 EBF的面積是多少平方厘米？ 【例4】（難度等級(jí)丿 如圖，在面積為 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng) CF交AB邊于E,求三角形AEF和三角形CDF的面積之和。

5、 【例5（難度等級(jí)丿 如右圖BE= BC, CD= AC,那么三角形AED的面積是三角形 ABC面積的幾分之幾? G 【例6】（難度等級(jí)丿 如圖所示，四邊形 ABCD與 AEGF都是平行四邊形，請(qǐng)你證明 它們的面積相等. 【例7 （難度等級(jí)丿 如圖，在長(zhǎng)方形 ABCD中, Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果 AB=24厘米，BC=8厘米, 求三角形ZCY的面積. 【例8（難度等級(jí) 如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米，EF和BC平行, 的面積是7平方厘米，求 EG的長(zhǎng)。 H A G E 【例10】（難度等級(jí)丿 如圖已知四邊形 ABCD和CEFG都是正方形，且正方形 ABCD的邊 長(zhǎng)為10厘米

6、，那么圖中陰影三角形 BFD的面積為多少平方厘米 ？ 【例11】（難度等級(jí)丿 如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被切成 8塊，其中三塊的面積分別為 12，23, 32,則圖中陰影部分的面 積為？ 【例12 （難度等級(jí)丿 如圖，平行四邊形 ABCD周長(zhǎng)為75厘米，以BC為底時(shí)高是14厘米；以CD為底時(shí)高是16 厘米。求平行四邊形 ABCD的面積。 【例13】（難度等級(jí)探） 如右圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米， ABE ADF與四邊形 AECF的面積彼此相等，求三角形 AEF的面積. 【例14】（難度等級(jí)探） 如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部 分，BD=DC=4 BE=3, AE=6甲部分面積是

7、乙部分面積的幾分之 幾？ D F 【例15】（難度等級(jí)M） B 某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對(duì)角線AC BD分成四個(gè)部分， AOB面積為1平方 千米， BOC面積為2平方千米， COD的面積為3平方千米，公園陸地的面積是 6.92 平方千米，求人工湖的面積是多少平方千米？ 【例16 （難度等級(jí)丿 圖中是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問：陰影部分的面積 是多少平方厘米？ 莊g【作業(yè) 1.如圖，三角形 ABC中，DC 2BD , CE 3AE，三角形 ADE的面積是20平方厘米，三角形 ABC的面積是多少？ 2. 如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積 分別是13, 3

8、5 , 49那么圖中陰影部分的面積是多少? 3. 右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的, 求三角形ABC的面積。 小正方形的邊長(zhǎng)是 4. 如圖，平行四邊形 ABCD BE=AB CF=2CB GD=3DC HA=4AD平行四邊形ABCD的面積是2，求平行四邊 形ABCD與四邊形EFGH的面積比. 1 5. 如圖，在厶ABC中，延長(zhǎng)BD=AB CE=BC, F是AC的中點(diǎn)， 2 若厶ABC的面積是2，則 DEF的面積是多少？ E 【例1】（難度等級(jí)丿 如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn) E、F、G分別是長(zhǎng)方形 ABCD邊上的中點(diǎn)，H 為AD邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積. 【分析與解】

9、如右圖，連接BH、HC，由E、F、G分別為AB、BC、 CD 三邊的中點(diǎn)有 AE=EB、BF=FC、CG= CD. 因此S仁S2，S3= S4，S5= S6,而陰影部分面積 = S2+ S3+ S6，空白部分面積=S1+ S4+ S5.所以陰影部 分面積與空白部分面積相等，均為長(zhǎng)方形的一半，即陰 影部分面積為28. 【例2】（難度等級(jí)丿 如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3 厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米. 上排4個(gè)陰影三角形的高都等于 BF，底邊之和恰好為 AB，他們 1 的面積之和為-BF AB ;下排4個(gè)三角形的高都等于 CF，底邊之和恰好為 CD

10、，他們的 2 面積 1 之和為 -CF 2 CD 1BF AB CF 2 2 1 CF AB.所以陰影部分面積為： 2 11 AB BC AB 3 46（平方厘米）. 22 【例3】（難度等級(jí)丿 如圖，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別為 AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形 EBF的面積是多少平方厘米？ 【分析與解】 1 首先，S ABC - BC AD 24平方厘米，而F是AC中點(diǎn)， 2 所以S ABF 1 S ABC .又E是AB中點(diǎn)，所以SeBF S aBF 2 2 -S ABC 6平方厘米 4 【例4】（難度等級(jí)丿 如圖，在面積為 1的三角形 ABC中，DC=3BD,

11、F是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng) CF交AB邊于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面積之和。 【分析與解】 連接DE,于是三角形AEF的面積=三角形EFD的面積，所求被轉(zhuǎn)化為三角形 EDC的面積。 因?yàn)镕是AD中點(diǎn)，所以三角形 AEC的面積和三角形 EDC的面積相等，設(shè) S BDE為1 份， 則SAEC=SEDC為3份 因此SABC 一共7份, 13 每份面積為所以S EDC占3份為一。 77 D 【分析與解】 【例5（難度等級(jí)丿 如右圖BE= BC, CD= AC,那么三角形 AED的面積是三角形 ABC面積的幾分之幾? 【分析與解 上圖中，三角形 AEC與三角形ABC的高相等，而BE= （ BC，于

12、是EC= A BC, Saec Sabc 又由于三角形 AED 與三角形AEC的高相等，而CD= 1 AC,于是 4 3 AD= AC, 4 Saed Saec 所以，三角形AED 三角形ABC的面積 3 的面積=X三角形aec的面積= 4 1 =X三角形ABC的面積 2 【例6 （難度等級(jí)丿 如圖所示，四邊形 ABCD與 AEGF都是平行四邊形, 們的面積相等. 【分析與解 連接BE 顯然有S abe 1S ABCD , 2 S abe 1S Aegf 2 所以Sabcd SaEGF 【例7 （難度等級(jí)探） 如圖，在長(zhǎng)方形 ABCD中, Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果 求三角形ZCY的

13、面積. 【分析與解 Sabcd AB BC 192平方厘米 因?yàn)閅是BD中點(diǎn)，Z是DY中點(diǎn)，所以 1 11 1 11 S zcy 匚（匚 S cdb ）二【匚（二 Sabcd ） - Sabcd 24 2 22 2 28 AB=24厘米，BC=8厘米, C 【例8（難度等級(jí) 如圖，正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為4厘米，EF和BC平行，ECH 的面積是7平方厘米，求 EG的長(zhǎng)。 【分析與解 11 -XEGXAE + XEGXEB = 7 平方厘米 22 1 即XEGXAB=7平方厘米；EG=3.5厘米 2 【例10 （難度等級(jí)丿 如圖已知四邊形 ABCD和CEFG都是正方形，且正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為

14、10厘米，那么圖中陰影三角形 BFD的面積為多少 平方厘米？ 【分析與解 連接CF 由ABCD和CEFG都是正方形有 BDC DCF 45 所以BD PCF . 由平行線間距離相等知三角形BDF和三角形BDC同底等高 所以S BFD 1 S BCD SabCD50 2 【例11 （難度等級(jí)丿 如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被切成 8塊，其中三塊的面積分別為12, 23, 32,則圖中陰影部分的面 積為？ 【分析與解 如右圖，已知 a+b+x=23+a+32+12+b 所以 x=23+32+12 x=67. 【例12 （難度等級(jí) 如圖，平行四邊形 ABCD周長(zhǎng)為75厘米，以BC為底時(shí)高是14厘米；以CD為底時(shí)

15、高是16 厘米。求平行四邊形 ABCD的面積。 【分析與解 BC X14=CD X16 , BC: CD=16 : 14 , 757516 BC+CD= , BC= X=20 2216 14 ABCD面積=14 X20=280 （平方厘米） 【例13 （難度等級(jí)丿 如右圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為6厘米， ABE ADF與四邊 形AECF的面積彼此相等，求三角形 AEF的面積. 【分析與解 邊形 AECF的面積與厶ABE、MDF 的面積都等于正方形面積 因?yàn)锳BE、mDF與四邊形AECF的面積彼此相等，所以四 的三分之一，也就是: S四邊形 AECF S ABEADF 在ABE中，因?yàn)?AB

16、= 6.所以BE= 4，同理 DF = 4，因此 CE= CF = 2 , ZECF 的面積為 2 X2 -2 = 2 . 所以S AEFS四邊形AECF SECF =12 2=10 （平方厘米） 【例14 （難度等級(jí)探） 如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分） BE=3, AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾? 【分析與解】 由BD DC BD=DC 亠 1 有 BDBC ; 由BE 3, AE 6，有 BE 1 AB.由鳥頭定理 2 3 1 1 1 5亠 1 有S甲 S ABC ABC， S& S ABC S甲 S ABC，故S甲 S乙. 3 2 6 6 5 【例15】（難度等級(jí)丿

17、 B 某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對(duì)角線AG BD分成四個(gè)部分， AOB面積為1平方千米， BOG面積為2平方千米， COD的面 積為3平方千米，公園陸地的面積是 6.92平方千米，求人工湖的 面積是多少平方千米？ 【分析與解】 由任意四邊形的蝴蝶定理有S AOB S COD S AOD S bog 所以S aod 1 3 21.5平方千米，故公園總面積為 1 3 2 1.57.5平方千米，人工湖面積為 7.5 6.92 0.58平方千米 【例16 （難度等級(jí)丿 圖中是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問：陰影部分的面積 是多少平方厘米？ 【分析與解 1 100 ABF的面積為3x , S abf 20 10 100即 x，那么正萬形 2 3 內(nèi)空白部分的面積為 4x 400 3 所以原題中陰影部分面積為 20 20 400 800 （平方厘米）. 3 3 設(shè)AEG的面積為x，顯然AEBG ABFG AFCG的面積均為 x，則 DC 如下圖所示，為了方便所敘，將某些點(diǎn)標(biāo)上字母，并連接BG 頁V【作業(yè)】 1.如圖，三角形 ABC中，DC 2BD, CE 3AE,三角形 ADE的面積是20平方厘米，三角形 ABC的面積是多少？ C 【答案】120 2.