平行線等分線段定理、三角形中位線定、理梯形中位線定理

1、文件 sxcbk0078.doc科目 數(shù)學(xué)關(guān)鍵詞 初二/幾何/中位線/例題標題 平行線等分線段定理、三角形中位線定、理梯形中位線定理內(nèi)容平行線等分線段定理、三角形中位線定、理梯形中位線定理【內(nèi)容綜述】1. 三角形中位線性質(zhì)定理，梯形中位線性質(zhì)定理，是三角形、梯形的重要性質(zhì)。特別是三角形中位線，是繼三角形的角平分線、中線、高線后的又一條重要線段。因此在研究三角形問題中，三角形中位線是常常需要添加的輔助線。2. 在復(fù)雜圖形中，通過觀察圖形，聯(lián)系已知條件，聯(lián)想并構(gòu)造平行線等分線段定理、三角形中位線定理及梯形中位線定理的基本圖形。定理與基本圖形的對應(yīng)關(guān)系，是我們正確聯(lián)想，添加輔助線，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡

2、單問題，將不熟悉問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，形成思路的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?！纠}分析】例1：如圖，MN分別是平形四邊形ABCD中AB、CD的中點，CM交BD于E，AN交BD于F，求證：BE=EF=FD 思路：觀察圖形，若要證在同一條直線上的三條線段相等，聯(lián)想相關(guān)的定理，顯然是需要構(gòu)成“平行線等分線段定理的”基本圖形，由于M. N分別是AB、CD的中點，因此有AM=MB，DN=NC，若有ANMC，則可構(gòu)造出一組平行線，從而使問題得證。這樣，推證ANMC成為解決問題的關(guān)鍵。由于ABCD是平行四邊形，因此有AB/=CD，由于M,N分別是AB、CD的中點，因此NC/=AM，從而可推證出AN/CM。這樣我們分別過D，B兩

3、點作AN的平行線，則“平行線等分線段定理”的基本圖形構(gòu)成使思路形成。思路二：若我們沒有想到“平行線等分線段定理”，而在平行四邊形ABCD中，觀察到M，N點分別是DEC及AFB的CD、AB邊的中點，這時，我們自然聯(lián)想“平行線等分線段定理推論”的基本圖形，只需要推證出F點是DE的中點，E點是FB的中點，顯然，不論是聯(lián)想“平行線等分線段定理”的基本圖形，還是“平行線等分線段定理推論”的基本圖形，其共性特點，即解決問題的關(guān)鍵，都需要推證出AN/MC，兩種思路但根據(jù)已知條件，推證AN/MC的方法是一樣的。證明一：分別過D、B兩點GD/AN，BH/AN 四邊形ABCD是平行四邊形，CD/=AB.又M、N分

4、別是AB、CD的中點，AM/=NC，四邊形AMCN是平行四邊形，AN/MC.GD/AN/MC/BH.BE=EF=FD（一組平行線在一條直線上截得的線段相等，在其它直線上截得的線段邊相等。）證明二：四邊形ABCD是平行四邊形，AB/=CD，又M、N分別是AB、CD的中點，AM/=NC，四邊形AMCN是平行四邊形。AN/CM。NF/CE，ME/AF。F點是DE的中點，E點是BF的中點。（經(jīng)過三角形一邊的中點，與另一邊平行的直線必平分第三邊。）FE=FD，BE=FE 即 BE=EF=FD。說明：平行線等分線段定理及推論常需要與平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)綜合應(yīng)用。特別需要注意的是運用平行線等分線

5、段定理的推論是說明中點的。因此，在推證中“點X是中點”這一步是絕不可省略不寫的。例2：如圖，梯形ABCD中，AD/BC，BCAD，E、F分別是AD、BC的中點，C=54，B=36，求證：EF=（BC-AD）思路一：要推證梯形上底，下底中點連線等于兩底差的一半，我們不能將AD移到BC上，因此需將梯形通過作平行線轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，由于BF=FC=BC，AE=ED=AD，因此過E點分別作EM/AB，EN/DC，交BC于M、N.于是可知，MF=BC-AD，F(xiàn)N=BC-AD 顯然應(yīng)該有MF=FN，而結(jié)論需推證EF=MF=FN 因而可聯(lián)想“一邊的中線，等于這邊一半”的基本圖形應(yīng)該是RT，若MEN是

6、直角三角形，則問題得以解決。因而推證MEN是直角三角形，成為解決問題的關(guān)鍵。由于B=36，C=54，顯然，B+C=90，由于EM/AB，EN/CD，因此有1=36， ，從而轉(zhuǎn)化為，從而可推證出，思路形成再利用直角三角形斜邊中線，等于斜邊的一半，推證出結(jié)論。思路二：若我們觀察圖形，根據(jù)已知條件聯(lián)想圖形性質(zhì)時，從，敏感到互余的性質(zhì)，會自然聯(lián)想到直角三角形，因而我們可通過延長梯形兩腰轉(zhuǎn)化為直角三角形。由于AD/BC，顯然ADM與BCM都是直角三角形。由于E是AD中點，因此ME=AD 又由于F是BC中點，因此，MF=BC，但這樣研究問題就出現(xiàn)，M、E、F是否在同一條直線上的問題，顯然，若M、E、F在同

7、一條直線上，則MF-ME=EF，可使問題得證。因此推證M、E、F在同一條直線上，是解決問題的關(guān)鍵。假設(shè)MF與AD交于E點，由于AD/BC，ME=AE， ，MF=BF， ，因而，因此，從而說明E、E點重合，則可推證M、E、F三點共線，由此可得到EF=（BC-AD）的結(jié)論。證明一：過E點分別作EM/AB，EN/DC且分別交BC于M、N點。ABCD是梯形，且AD/BC，四邊形ABME、ENCD是平行四邊形。AE=ED,AE=BM=ED=NC。又BF=FC，MF=BF-BM，F(xiàn)N=FC-NC，MF=FN 又，。，證明二：分別延長BA、CD交于M，連結(jié)ME。連結(jié)MF且設(shè)MF交AD于E 。在RTBMC中，

8、F是BC中點，。 。在RTAMD中，E是AD中點，ME=，。 與E重合，M、E、F點在同一條直線上。EF=MF-ME=即EF=（BC-AD）說明：此題是利用梯形常添加的輔助線，平移腰或延長兩腰交于一點，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形。梯形兩腰中點的連線等于兩底和的一半。而此題是兩底中點連線等于兩底差的一半。無論是哪種思路，都需要用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得以實現(xiàn)結(jié)論。例3：等腰梯形的對角線互相垂直，求證：梯形的中位線與梯形的高相等。已知：如圖，等腰梯形AB/CD，且AD=BC，對角線AC、BD交于O點且BD垂直AC于O， CE是梯形的高，MN是梯形中位線，求證：MN=CE。思路：由于梯形的

9、中位線等于兩底和的一半，因此若要證梯形的高CE等于中位線MN，只需要證CE等于兩底和的一半。由于BD垂直于AC，且BD=AC，因此聯(lián)想把等腰梯形的兩條對角線集中到一個三角形中，從C點作BD的平行線交AB的延長線于F，這樣構(gòu)成一個等腰直角三角形。且同時將DC平移到AB所在的直線上，使得AF=AB+DC，由此，可利用等腰直角三角形斜邊的高是斜邊中線的性質(zhì)，推證出CE=，從而推證出MN=CE，使問題得以解決。證明：過C點作CF/BD交AB的延長線于F。梯形ABCD是等腰梯形，AB/CD，CF/BD 四邊形DBFC是平行四邊形。DC=BF BD=AC AC=CF。 BDAC，CFAC。ACF是等腰直角

10、三角形。 AB+BF=AB+DC CE=（AB+DC） 又MN是梯形ABCD的中位線，MN=（AB+DC） MN=CE說明：此題利用梯形常添加的輔助線，作對角線的平行線，由等腰梯形對角線相等且互相垂直的條件，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和等腰直角三角形。利用兩底和的一半作為等線段的代換，將梯形的高與中位線的等量關(guān)系勾通?！灸芰τ?xùn)練】1. 等腰梯形中，上底等于一腰，下底等于另一腰的2倍，若梯形的周長為45cm，那么它的中位線長為 。2. 如圖一，已知梯形ABCD中，AD/BC，AD=AB=DC，BDCD，則C= 度。3. 已知，如圖二，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位線，BD交EF于P，已知EP

11、：PF=1：2，AD=7cm，則BC= cm。4. 已知：如圖三，ABC中，過C點作A的平分線的垂線，垂足為E，過E點作AB的平行線交BC于F。求證：F為BC的中點。5. 已知：如圖四，過ABC的BC邊的中點M作直線平行于A的平行線AT而交直線AB、AC于EF 求證：BE=CF=（AB+AC）6. 已知，如圖五，在ABC中，D是BC邊上的中點，E是AD邊上的中點，BE延長線交AC于F，且AD=BC，F(xiàn)BC=DAC。 求證：BF=4AF7. 如圖，P、Q、R、S分別是四邊形ABCD中AB、BC、CD、DA邊中點，求答案與提示：1.提示：如圖，設(shè)AD=X，AB=AD=DC=X BC=2AD=2X

12、5X=45，X=9。 故AD=9，BC=18EF=（AD+BC）=。260提示：在等腰梯形ABCD中，AD/BC， AB=AD，又 314cm.提示：EF是梯形ABCD的中位線，EF/AD/BC P是BD的中點.EP= EP：PF=1：2 4證明一：延長CE交AB于GAD是BAC的平分線， 又AE=AE，CEAD， AEGAEC，GE=CE。又EF/BG。F是BC中點。證明二：延長FE交AC于G， FG/AB，則 AG=EG AG=CG F是BC中點。5證明：過M點分別作MD/AC，MN/AB，交AB于D，交AC于N, M是BC中點，D、N分別為AB、AC中點。DM/=AN/=NC， MN/=AD/=DB AT/MF， ， 又 BE=DE+ CF=2AN+AF=2DE+AE 即 CF=DE+ 又 BE=CF=6證明：取CF的中點M，連結(jié)DM。D、E分別是BC、AD的中點， DE= BC=AD BD=DE 又 DM是BCF的中位線， DM/= EF/DM F點是AM的中點，EF是ADM的中位線。DM=2EF=2AF BF=2DM=4AF7證明：連結(jié)AC、BD分別交PS、QR、SR、PQ于E、F、G、H點分別過AC、BD