有效質(zhì)量近似

1、附錄： 有效質(zhì)量近似 (effective mass approximation ):理想晶體能帶理論中的單電子態(tài)滿足方程2 2Hoa(k,F)= |-可 +Vc(r) a(k,r)= Ea(kWa(k,r)2m一(239)本征波函數(shù)可表述為布洛赫波a k,r 二 exp(ik r)ua(k,r)(2310)其中下標(biāo)a標(biāo)記所屬的能帶。該態(tài)的能量為 Ea k ，可在帶頂處展開(kāi)為Ea k 二 E*其中 m 為有效質(zhì)量,* * *2mx 2my 2mz 2呻 丄 1 Ea k m*2 ki2(2311)(2.3-12)Ea k是k空間的周期函數(shù)，可展開(kāi)為Fourier 級(jí)數(shù):(2.3-13)Ea(k

2、)=送 Eam exp i Rm kmIT其中Rm為正格矢把Ea k中的k換成算符-，構(gòu)造了一個(gè)算符4Ea 汀八 EamexP Rmm它作用在布洛赫波函數(shù)上得Ea -ra k,7 八 Eamexp Ram=EEam 1Rmv +1 :Rm2a k,rmIL 42 H4 *=EEam ak,rRm）=zEam exp iRm k a k,rm4m二 Eak ak, r(2.3-14 )上式中利用了泰勒展開(kāi)-a k4 r k1飛人呻呼2 7廠a K r1 2 也即，exp Rm人是平移算符，它把a(bǔ) k, r變?yōu)椋籯,r Rm?？梢?jiàn)a k,r是算符Ea -廣的屬于本征值Ea k的本征函數(shù)當(dāng)晶體中存在

3、缺陷時(shí)，周期勢(shì)VC受擾動(dòng)，變?yōu)閂/ U，薛定諤方程變?yōu)镠 0 U 二 E（2.3-15）方程的解 可按Ho的本征函數(shù)-布洛赫函數(shù)展開(kāi)為波包:* = zCa ka k,（236）a,k將它代入薛定諤方程（2.3-15），得瓦 Ca（k）（H + U %（k,r）=瓦 Ca（ kEa（ k）+U蔦（k,r）a,ka, k *八 Ca k Ea 十 U a k,r = Ea,k（2317） 對(duì)典型的淺雜質(zhì)能級(jí)，可作如下 近似：首先，假定波包中只包含導(dǎo)帶的波函數(shù)。例如對(duì)半導(dǎo)體中的施主，當(dāng)導(dǎo)帶電子束縛在缺陷上的束縛能比 帶隙Eg小得多（比如Ll%Eg），波函數(shù)的展開(kāi)式的取和可只限于 一個(gè)帶（這里為導(dǎo)帶）

4、，其它帶的能量差得較遠(yuǎn)，對(duì)波函數(shù)的貢 獻(xiàn)較小。再考慮到 算符Ea -h U不依賴(lài)于k，可提出取和號(hào)，方程變?yōu)镋a（-嚴(yán)）+U彈 Ca（kWa（kF）= Ea（-r ）+uy = E*k(2318)第二，考慮到電子波函數(shù)展布的范圍比晶格常數(shù)大得多，*晶格可視為均勻的連續(xù)介質(zhì)， 可用介電常數(shù)來(lái)反映它對(duì)電子與缺陷相互作用的影響。于是，帶一個(gè)單位正電荷的施主雜質(zhì)與電子的庫(kù)侖相互作用(2.3-19)4 r 0r*同樣由于電子波函數(shù)展布的空間范圍大， 這樣的狀態(tài)在k空間 的范圍將明顯小于布里淵區(qū)， 也即它的展開(kāi)式將只包含k空間能帶極值附近小范圍內(nèi)的布洛赫波。對(duì)各向同性，拋物線型的導(dǎo)帶底(k=0),取和只對(duì)

5、小的k值就足夠。而布洛赫函數(shù)中，具有晶格周期性的因子 Ua k,r，在k = 0附4 444近：蟲(chóng) k,r ua 0,r 八 0,r作了這些近似后，被陷阱束縛的電子的 這種淺能級(jí)的波函數(shù)變?yōu)椋篿 c k ua 0, r exp ik rk(2.3-20) =iS c(k )exp(ik r ) ”(0,r )三 F (r W (0,r)I k一上式定義了波函數(shù)的輪廓函數(shù)FF r 八 c k exp ik rk算符Ea -八 作用在這樣的波函數(shù)上，得：Ea -h F r 0,r 八 Emexp Rm F r 0,rm八 EmF r Rm0,r RmmH4二 0,r Em expA F rm=0,

6、r Ea -h F r(2.3-21)利用上式，薛定諤方程變成：Ea(-浮)+U F(rl(0；)“(0；)Ea(-iW )+UF(?)=E = E 0,r F r(2.3-22)二邊約掉因子o,r，方程即變?yōu)?Ea -hU F r 二 EF r(2.3-23 )原先方程中的 是空間快變化的函數(shù)， 現(xiàn)在的新方程是關(guān)于慢變化的輪廓函數(shù)F的方程。如果導(dǎo)帶底具有各向同性的拋物線型結(jié)構(gòu),上述算子在導(dǎo)帶底附近可近似為:_Ear UEc匚2*2m(2324)于是方程（2.3-23）變?yōu)?,22mF r = E牛 0rEc F r(2325)這一方程形式上與熟知的氫原子的薛定諤方程完全一致, 類(lèi)氫模型。這一近似因而也稱(chēng)之為“類(lèi)氫”是對(duì)波函數(shù)展開(kāi)式的輪廓函數(shù)而言的。上述方程的解可以套用氫原子的薛定諤方程的解來(lái)得到。本征能為:E E：jn2 32e4m*2 z制21n2 2m a02(2326)也可寫(xiě)出相應(yīng)的本征波函數(shù)。例如基態(tài)輪廓函數(shù):F ?二 dexp - 質(zhì) I* Ia。(2327)其中a。f0mme ma。? a。匸,a。=0.053nm為氫原子玻