淺談行列式的計(jì)算正文

1、數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院畢業(yè)論文 淺談行列式的計(jì)算 宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 羅 霖 指導(dǎo)老師：何艷玲摘 要:行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，懂得如何計(jì)算行列式顯得尤為重要。本文先闡述行列式的基本性質(zhì)，然后介紹各種具體的方法，最后由行列式與其它知識(shí)的聯(lián)系介紹其它幾種方法。通過(guò)這一系列的方法進(jìn)一步提高我們對(duì)行列式的認(rèn)識(shí)，對(duì)我們以后的學(xué)習(xí)帶來(lái)十分有益的幫助。關(guān)鍵詞:行列式；范德蒙行列式；矩陣；特征值；拉普拉斯定理；析因法；輔助行列式法Abstract: Determinant is an basic and important subjec

2、t in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this

3、 series of methods will futher enhance our understanding o the determinat,on our learning will bring very useful help.Keywords: determinant; Vandermonde determinant; Matrix; The characteristic value; Laplace theorem; Factorial method; Auxiliary determinant method 1 前 言行列式在高等代數(shù)課程中的重要性以及在考研中的重要地位使我們有必

4、要對(duì)行列式進(jìn)行較深入的認(rèn)識(shí)，本文對(duì)行列式的計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)歸納。我們可以這樣來(lái)理解行列式，它是在實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）的基礎(chǔ)上定義的一個(gè)獨(dú)立結(jié)構(gòu)。作為行列式本身而言，我們可以發(fā)現(xiàn)它的兩個(gè)基本特征：當(dāng)行列式是一個(gè)三角形行列式（上三角或下三角形行列式，對(duì)角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）時(shí)，計(jì)算將變得十分簡(jiǎn)單，于是將一個(gè)行列式化為三角形行列式便是行列式計(jì)算的一個(gè)基本思想，這也是化三角形法的思想精髓；行列式的另一特征便是它的遞歸性，即一個(gè)行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，于是對(duì)行列式降階從而揭示其內(nèi)部規(guī)律也是我們的一個(gè)基本想法，即遞推法。這兩種方法也經(jīng)常一起使用。而其它方法如：加邊法、降階法、數(shù)學(xué)歸

5、納法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它們衍生出的具體方法。作為特殊的行列式當(dāng)然也有其它方法，如用范德蒙公式計(jì)算某些行列式。上面這些方法是基于行列式這一結(jié)構(gòu)內(nèi)部的，作為行列式與其它知識(shí)的聯(lián)系，特別是多項(xiàng)式、矩陣的密切關(guān)系，我們將得到一些其它的方法，這將在文中一一討論。2 行列式的計(jì)算2.1 化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一般情

6、況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例1 計(jì)算行列式的值：分析:顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第一列開(kāi)始；每一列與它一列中有n-1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開(kāi)始乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第n-1列，一直到第一列乘以-1加到第二列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。解:2.2 按行（列）展開(kāi)法（降階法）設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開(kāi)定理有或 其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開(kāi)法可以將一個(gè)n

7、階行列式化為n個(gè)n-1階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開(kāi)法，可以將n階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開(kāi)并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開(kāi)。例2 計(jì)算20階行列式：分析：這個(gè)行列式中沒(méi)有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行20！*(201)次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無(wú)法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素

8、，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算：解:以上就是計(jì)算行列式最基本的兩種方法，接下來(lái)介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來(lái)。下面是一常用的方法：2.3 遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱(chēng)為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱(chēng)為遞推法。注意：用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒(méi)有的話(huà)，即很難找出遞推關(guān)系式

9、，從而不能使用此方法。例3 證行列式等式：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析：此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱(chēng)“三對(duì)角”行列式。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明:Dn按第1列展開(kāi)，再將展開(kāi)后的第二項(xiàng)中n-1階行列式按第一行展開(kāi)有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或 現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同

10、樣有：因此當(dāng)時(shí)由（1）（2）式可解得：證畢。點(diǎn)評(píng)：雖然我們從一個(gè)行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個(gè)遞推關(guān)系式是否可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，如果不行的話(huà)，就要適當(dāng)?shù)負(fù)Q遞 推關(guān)系式，如本題。2.4 加邊法（升階法）有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱(chēng)為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個(gè)元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或

11、當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時(shí)才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：例4 計(jì)算n 階行列式：分析：我們先把主對(duì)角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2, xn相乘，第二行為x2與x1,x2, xn相乘，第n行為xn與 x1,x2, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2, xn，從而就可考慮此法。解:注意:一定要記住，加邊法最在的特點(diǎn)就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化計(jì)算的效果。2.5 拆行（列）法由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知，將已

12、知行列式拆成若干個(gè)行列式之積，計(jì)算其值，再得原行列式值，此法稱(chēng)為拆行（列）法。由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對(duì)應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時(shí)較容易求得行列式的值。例5 求列行列式的值:設(shè)n階行列式且滿(mǎn)足對(duì)任意數(shù)b，求n階行列式 分析:該行列式的每個(gè)元素都是由兩個(gè)數(shù)的和組成，且其中有一個(gè)數(shù)是b，顯然用拆行（列）法。解: 也為反對(duì)稱(chēng)矩陣又為的元素從而知：2.6 數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給

13、出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來(lái)證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說(shuō)了）例6 證明： 證明：當(dāng)時(shí)，有：結(jié)論顯然成立?，F(xiàn)假定結(jié)論對(duì)小于等于時(shí)成立。即有：將按第1列展開(kāi)，得：故當(dāng)對(duì)時(shí)，等式也成立。得證。接下來(lái)介紹一些特殊的行列式計(jì)算方法，但卻很實(shí)用。2.7 析因法如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x（或某個(gè)參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那么可以將行列式D當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式f(x)，然后對(duì)行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個(gè)常數(shù)因子C，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定

14、義，比較f(x)與g(x)的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出C值，便可求得D=Cg(x) 。那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數(shù)x），若x等于某一數(shù)a1時(shí)，使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得D=0。那么xa1便是一個(gè)一次因式，再找其他的互異數(shù)使得D=0，即得到與D階數(shù)相同的互素一次因式，那么便可用此法。例7 求行列式的值:分析:根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有。但大家認(rèn)真看一下，該行列式Dn+1是一個(gè)n+1次多項(xiàng)式，而這時(shí)我們只找出了n個(gè)一次因式,那么能否用析因法呢？我們?cè)僮屑?xì)看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：，那么我們從第二列開(kāi)始到第n+1列都加到第一列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的

15、次數(shù)就降了一次。從而再考慮析因法。解：令：顯然當(dāng)：時(shí)，又為n次多項(xiàng)式。又中的最高次項(xiàng)為，系數(shù)為1，C=1因此得：點(diǎn)評(píng)：該題顯然用析因法是最簡(jiǎn)便，但大家不要一味地只找使它等于0的數(shù)，而該最多只能有n個(gè)數(shù)使它等于0，而行列式又是n+1階是一個(gè)n+1次多項(xiàng)式，從而我們想到的就是得用行列式的性質(zhì)把行列式的次數(shù)降低一次，使得原n+1次多項(xiàng)式變?yōu)橐粋€(gè)一次多項(xiàng)式和一個(gè)n次多項(xiàng)式的乘積。進(jìn)而便可求得其值。凡事要懂得變通，一道題不可能用一種方法就可以馬上解得。在析因法中，對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，當(dāng)你最多只能找出r個(gè)使其行列式為零時(shí)，就要把它化為一個(gè)nr次多項(xiàng)式與一個(gè)r次多項(xiàng)式的乘積。但一般找出的使其行列式為零的個(gè)數(shù)

16、與行列式的次數(shù)差太多時(shí)，不用本法。2.8 輔助行列式法輔助行列式法應(yīng)用條件：行列式各行（列）和相等，且除對(duì)角線外其余元素都相同。解題程序：1）在行列式D的各元素中加上一個(gè)相同的元素x，使新行列式除主對(duì)角線外，其余元素均為0；2）計(jì)算的主對(duì)角線各元素的代數(shù)余子式;3)例8 求n階行列式的值:解：在的各元素上加上后，則有：又，其余的為零。點(diǎn)評(píng)：若知道輔助行列式法的解題程序，用此法就可輕松地解出此題。但根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，我們也可以用加邊法，把大部分元素化為零，再化為三角形行列式也可輕易解出該行列式。以下幾種方法是利用到公式，所以有的方法在這只簡(jiǎn)單地給出其應(yīng)用，只要記住公式，會(huì)應(yīng)用就行。2.9 利用

17、拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四種特殊情形：1） 2）3） 4）例9 計(jì)算n階行列式：解：2.10 利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例10 計(jì)算n階行列式:顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類(lèi)型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過(guò)（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對(duì)換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得：2.11 利用矩陣行列式公式引理：設(shè)A為型矩

18、陣，B為型矩陣，分別表示n階，m階單位矩陣，則有先引入一個(gè)證明題：設(shè)A，B分別是和矩陣，證明：證明:兩邊取行列式得：又同樣兩邊取行列式有： 得證。那么對(duì)于分別是和矩陣，能否得到：答案是肯定的。證明: 有：又 即得：對(duì)分別為和矩陣，時(shí)，有：則當(dāng)時(shí)，有：引理得證。例11 計(jì)算行列式的值:解: 令矩陣則可得： 其中 那么根據(jù)上面所提到的引理可得：又 可得：2.12 利用方陣特征值與行列式的關(guān)系也以例11為例解: 顯然的個(gè)特征值為。 的個(gè)特征值為。故的特征值為 由矩陣特征值與對(duì)應(yīng)行列式的關(guān)系知：注：的特征值也可由特征值的定義得到。點(diǎn)評(píng)：本題行列式比較特殊，可以用到此方法，對(duì)于其他的行列式，本方法一般不

19、適用，在這僅給出做此方法參考。以上總共給出了計(jì)算行列式的12種方法，其中一些是常見(jiàn)的些是最基本的方法，還有一些是特殊但很實(shí)用的方法。在課外書(shū)中還有其他的一些方法，如：極限法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、差分法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以介紹。本人認(rèn)為只要理解和掌握以上12種方法，不管哪種行列式計(jì)算，都可以迎刃而解。而且一個(gè)題目有時(shí)候要由多種解法并用，或一個(gè)題可由多種方法獨(dú)自解出，這就需看大家的靈活應(yīng)用程度，能否找出一個(gè)最簡(jiǎn)便的方法解出其值。3 致謝：在本次論文設(shè)計(jì)過(guò)程中，何艷玲老師對(duì)該論文從選題，構(gòu)思到最后定稿的各個(gè)環(huán)節(jié)給予細(xì)心指引與教導(dǎo),使我得以最終完成畢業(yè)論文設(shè)計(jì)。在學(xué)習(xí)中,老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹?/p>

20、學(xué)態(tài)度、豐富淵博的知識(shí)、敏銳的學(xué)術(shù)思維、精益求精的工作態(tài)度以及侮人不倦的師者風(fēng)范是我終生學(xué)習(xí)的楷模，導(dǎo)師們的高深精湛的造詣與嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)精神，將永遠(yuǎn)激勵(lì)著我。這幾年中還得到眾多老師的關(guān)心支持和幫助。在此，謹(jǐn)向老師們致以衷心的感謝和崇高的敬意！最后，我要向百忙之中抽時(shí)間對(duì)本文進(jìn)行審閱，評(píng)議和參與本人論文答辯的各位老師表示感謝。參考文獻(xiàn)：1李師正等.高等代數(shù)復(fù)習(xí)解題方法與技巧M.高等教育出版社.20052張禾瑞 郝鈵新.高等代數(shù)M.高等教育出版社.19933許甫華 張賢科.高等代數(shù)解題方法M.清華大學(xué)出版社.20014張永曙.考研數(shù)學(xué)應(yīng)試強(qiáng)化輔導(dǎo)與解題指南M.西北工業(yè)大學(xué)出版社.1999.55張

21、賢科 許甫華.高等代數(shù)學(xué)M. 清華大學(xué)出版社.20006劉學(xué)鵬等.高等代數(shù)復(fù)習(xí)與研究M. 南海出版公司.19957北大數(shù)學(xué)系 王萼芳.高等代數(shù)M.高等教育出版社.2003.98李永樂(lè).研究生入學(xué)考試線性代數(shù)M 北京大學(xué)出版社.20009張敬和等.數(shù)學(xué)二考研題典叢書(shū)M.東北大學(xué)出版社.2004.3influence and the weak. In recent years, diversification of sources of rural middle school teachers, teachers professional qualities and also more uneve

22、n, and many young teachers lack expertise, competition consciousness and ability in the workplace also lead directly to the loss of students, affecting the social reputation of the school, to the construction and management of rural middle school teachers sounds the alarm. Therefore, in a certain se

23、nse, attention to professional growth of young teachers in middle schools in villages and towns, focus on the future development of rural middle school. According to yingde green Tang town middle school Township middle school young teachers professional development research subject research programme, we subject group in objective real, and science actual, and development need of principles, design survey questionnaire, full volume total 69 problem, main content is divided into three a part: first part: basic in