導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用整知識體系構(gòu)建(理)

1、個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用整章知識體系構(gòu)建（理）導(dǎo)數(shù)地實(shí)際背景導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)地幾何意義導(dǎo)函數(shù)基本求四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)導(dǎo)公式求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則求簡單函數(shù)地導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用判斷函數(shù)求函數(shù)地求函數(shù)地定積分及其簡地單調(diào)性極大(小)值最大(小 )值單應(yīng)用思想、方法、技巧提煉及能力提升一. 主干知識整合1.了解導(dǎo)數(shù)概念地某些實(shí)際背景（如瞬時速度，加速度、光滑曲線切線地斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處地導(dǎo)數(shù)地定義和導(dǎo)數(shù)地幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)地概念 .b5E2RGbCAP2、熟記基本導(dǎo)數(shù)公式： xm(m 為有理數(shù) )、 sinx、cosx、ex、ax、lnx 、logax 地導(dǎo)數(shù)；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商地

2、求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)地求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)地導(dǎo)數(shù) .p1EanqFDPw3、理解可導(dǎo)函數(shù)地單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)地關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值地必要條件和充分條件 (導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號 )；會求一些實(shí)際問題 (一般指單峰函數(shù) )地最大值和最小值 .DXDiTa9E3d有關(guān)導(dǎo)數(shù)地內(nèi)容，在 2000 年開始地新課程試卷命題時，其考試要求都是很基本地，以后逐漸加深， 考查地基本原則是重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)地概念和計(jì)算， 力求結(jié)合應(yīng)用問題，不過多地涉及理論探討和嚴(yán)格地邏輯證明 .本部分地要求一般有三個層次：第一層次是主要考查導(dǎo)數(shù)地概念， 求導(dǎo)地公式和求導(dǎo)法則； 第二層次是導(dǎo)數(shù)地簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)地極值、單調(diào)

3、區(qū)間、證明函數(shù)地增減性等；第三層次是綜合考查， 包括解決應(yīng)用問題， 將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)地單調(diào)性等有機(jī)地結(jié)合在一起， 設(shè)計(jì)綜合題， 通過將新課程內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容相結(jié)合，加強(qiáng)了能力考查力度， 使試題具有更廣泛地實(shí)際意義， 更體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題地方法，這類問題用傳統(tǒng)教材是無法解決地 .RTCrpUDGiT1/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)二 . 常用地?cái)?shù)學(xué)思想1. 函數(shù)與方程思想； 2. 導(dǎo)數(shù)思想； 3. 數(shù)形結(jié)合思想 .三. 方法、技巧提煉1. 定義法: 根據(jù)導(dǎo)數(shù)地定義，將所求問題轉(zhuǎn)化為可用導(dǎo)數(shù)定義來解決.2. 導(dǎo)數(shù)幾何意義法；3. 導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)地單調(diào)區(qū)間

4、（討論函數(shù)地單調(diào)性）；4. 導(dǎo)數(shù)法證明不等式；5. 導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)地極值、最值；6. 導(dǎo)數(shù)法解決實(shí)際問題四 . 案例探究, 內(nèi)化整合例 1 (2006 年德州市統(tǒng)考 )已知函數(shù) f(x)=x 3 +3ax2+3(a+2)x+1 既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù) a 地取值范圍是 .5PCzVD7HxA思路分析： 考查導(dǎo)數(shù)地運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)知識求函數(shù)地極值等基本知識和分析問題、解決問題地能力 .2，令，則2解： f(x)=3x+6ax+3a+6f(x)=0 x +2ax+a+2=0又 f(x)既有極大值又有極小值 f (x)=0必有兩解，即 =4a2-4a-80解得 a-1 或 a2.錦囊妙計(jì)： 本題通

5、過求函數(shù)地導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來探究，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化地解題思想與解題策略.jLBHrnAILg【舉一反三】已知 f(x)=x 3+3ax2+3(a+2)x+1，試討論函數(shù) y=f(x)地單調(diào)性提示： 按分O，=O ，O 三種情況分別就a 地不同取值進(jìn)行討論.例 2 設(shè)函數(shù) f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dR)地圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且x=1 時， f(x)取極小值 - 2 .xHAQX74J0X3(1)求 a、b、c、d 地值；(2)當(dāng) x-1,1 時，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)地切線互相垂直？試證明你地結(jié)論；4(3)若 x1,x2-1,1

6、時，求證： |f(x 1)-f(x2)| .3【考查目地】2/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)本題主要考查導(dǎo)數(shù)地幾何意義、導(dǎo)數(shù)地基本性質(zhì)和應(yīng)用、絕對值不等式以及綜合推理能力.解(1) 函數(shù) f(x) 圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，對任意實(shí)數(shù)x，都有 f(-x)=- f(x). -ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即 bx2-2d=0 恒成立 . b=0,d=0,即 f(x)=ax32+cx. f(x)=3ax+c. x=1 時,f(x)取極小值 - 2 .f (1)=0且 f(1)=- 2 ,33即 3a+c=0 且 a+c=- 2 .解得 a= 1 ,c=-1.33(2)證明：當(dāng)

7、x-1,1 時，圖象上不存在這樣地兩點(diǎn)使結(jié)論成立，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn) A(x 11 、B(x2 2)，使得過這兩點(diǎn)地切線互相垂直，,y )+yLDAYtRyKfE2，知兩點(diǎn)處地切線斜率分別為1122則由 f(x)=x22-1,-1k=x-1,k =x且 (x12-1)(x22-1)=-1.(*) x1、x 2-1,1, x12-10，x22-102-1)(x20，這與 (*) 相矛盾，故假設(shè)不成立 . (x12 -1)2(3)證明： f (x)=x-1,由 f (x)=0,得 x=1.當(dāng) x(-，-1)或（ 1，+）時， f(x)0;當(dāng) x(-1，1)時， f(x)0. f(x)在 -1,1

8、上是減函數(shù)，且 f max(x)=f(-1)= 2 , fmin(x)=f(1)= - 2 .Zzz6ZB2Ltk332在 -1,1上， |f(x)| .3224于是 x1,x2 -1,1 時， |f(x1)-f(x2)| |f(x1)|+|f(x2)| +=.4故 x1,x2-1,1 時 ,|f(x1)-f(x2)| .3錦囊妙計(jì)： 若 x0 點(diǎn)是 y= f(x) 地極值點(diǎn)，則f(x 0)=0, 反之不一定成立；在討論存在性問題時常用反證法；利用導(dǎo)數(shù)得到y(tǒng)= f(x)在 -1,1 上遞減是解第(3) 問地關(guān)鍵 .例 3 已知平面向量 a =( 3 ,-1). b =( 1 ,3).22(1)

9、證明 a b ；(2)若存在不同時為零地實(shí)數(shù)k 和 t，使 x = a +(t2-3) b ， y =-k a +t b ， x y ，試求函數(shù)關(guān)系式 k=f(t)；(3)據(jù) (2)地結(jié)論，討論關(guān)于t 地方程 f(t)-k=0 地解地情況 .【考查目地】3/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)本題考查向量地性質(zhì)與計(jì)算、 函數(shù)地導(dǎo)數(shù)與函數(shù)地圖象、 函數(shù)地圖象與方程根地個數(shù)間地關(guān)系以及綜合應(yīng)用能力.解(1) a b = 3 1 +(-1)3 =0 a b .22(2) x y ， x y =0即 a +(t2-3) b (-k a +t b )=0.22整理后得 - k a +t-k(t2-3) a b+

10、 (t2-3) b =02 2 a b =0， a =4， b =1，上式化為 - 4k+t(t2-3)=0，即 k= 1 t(t2-3)(3)討論方程 141t(t 2-3)-k=0 地解地情況，可以看作曲線f(t)=t(t2-3)與直線44y=k 地交點(diǎn)個數(shù) .dvzfvkwMI1于是 f(t)=1 (t2-1)=3 t(t+1)(t-1).44令 f(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.當(dāng) t 變化時， f(t)、f(t) 地變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當(dāng) t=-1 時， f(t)有極大值， f(t)極大值 = 1

11、. 2當(dāng) t=-1 時， f(t)有極小值， f(t)極小值 =- 1 . 212函數(shù) f(t)=t(t -3)地圖象如圖 1321 所示，可觀察出：(1)當(dāng) k 1 或 k- 1 時,方程 f(t)-k=0 有且只有一解；22(2)當(dāng) k= 1 或 k=- 1 時,方程 f(t)-k=0 有兩解；2 2(3) 當(dāng)- 1 k 1 時,方程 f(t)-k=0 有三解 .22錦囊妙計(jì)： 導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用為函數(shù)地作圖提供了新途徑.例 4.已知函數(shù) f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函數(shù) f(x) 地最大值；(2)設(shè) 0ab,證明： 0g(a)+g(b)-2g( ab )(b-a)l

12、n2.2【考查目地】4/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)本題主要考查導(dǎo)數(shù)地基本性質(zhì)和應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式知識以及綜合推理論證地能力 .解： (1)函數(shù) f(x) 地定義域?yàn)?(-1，+)， f(x)=1-1.1x令 f(x)=0，解得 x=0.當(dāng)-1x 0 時， f (x)0;當(dāng) x0 時， f(x) 0.又 f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時， f(x) 取得最大值 ,最大值為 0.（2）證法一： g(a)+g(b)-2g( ab )=alna+blnb-(a+b)ln ab2=aln 2a2b2b lna bab由（ 1）結(jié)論知 ln(1+x)-x-1，且 x0)由題設(shè) 0ab，得

13、 ba0,1a b02a2b因此 ln 2aln(1 ba )ba ， ln 2bln(1 a b)a b ，a b2a2aa b2b2ba ln 2ab ln2bba a b0 .a ba b22又 2a a b ，ab2ba ln2ab ln2ba ln abb ln2b(ba) ln 2b(ba)ln 2 .abab2baba b綜上 0()()2 ( ab)(b)ln 2.g ag bg2a證法二： g( x)x ln x, g ( x)ln x1.設(shè) F (x)g(a)g( x)2 g( a x ) ，則ax2axF ( x)g ( x)2g() ln xln.22當(dāng) 0xa 時，

14、F ( x)0，因此 F(x) 在 (a,) 上為增函數(shù) .從而，當(dāng) x=a 時， F(x)有極小值 F(a).F (a)0, ba,F (b) 0即 0g( a)g(b)2g ( a b) .a x2設(shè)G( x)F ( x)(xa)ln2，則()lnxlnln2lnxln(a)xGx2當(dāng) x0 時， G ( x)0，因此 G ( x)在 (0,+) 上為減函數(shù) .5/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)G (a)0, ba, G (b)0,即ab()( )2 () (ba)ln 2 ，綜上，原不等式得證 .g ag bg2【舉一反三】1證明：當(dāng) x0 時，有 xx3sin xx62（07 杭州市模擬

15、）已知數(shù)列 a n 各項(xiàng)均為正數(shù)， Sn 為其前 n 項(xiàng)和，對于任意地 n N* ，都有 4Snn2=(a +1)(1)求數(shù)列 a n 地通項(xiàng)公式；(2)若 2ntSn 對于任意地 nN* 成立，求實(shí)數(shù) t 地最大值 .思路分析： 利用 Snn-1 n2)易得n，從而n2 則問（ 2）轉(zhuǎn)化為-S=a (na =2n-1S =nnnt 22恒成立，故只需求出數(shù)列 bn22地最小項(xiàng)，有以下求法： rqyn14ZNXInn法一：研究數(shù)列 b n 地單調(diào)性 .法二：數(shù)列作為一類特殊地函數(shù)，欲求2nn2 地最小項(xiàng)可先研究連續(xù)函數(shù)2x2xx( x ln 22)，易得 x2為函數(shù) y2xy2 ( x 0)

16、地單調(diào)性，求導(dǎo)得 yx4ln 2x2x地極小值也是最小值點(diǎn)，又22223 而 b323b4，故ln eln 2ln，所以 32eln 2t b38EmxvxOtOco9n（注：不能直接對 y22 (n N *) 求導(dǎo)，為什么？）n錦囊妙計(jì)： 導(dǎo)數(shù)地引進(jìn)為不等式地證明，甚至為研究數(shù)列地性質(zhì)提供了新途徑，充分地體現(xiàn)了數(shù)列作為一類特殊函數(shù)其本質(zhì)所在.SixE2yXPq5特別提示： 例 2、例 3 、例 4 充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些如函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式、數(shù)列等問題地方法，這類問題用傳統(tǒng)教材無法解決；此外，例4 還說明了一點(diǎn)：欲用導(dǎo)數(shù)，得先構(gòu)造函數(shù).6ewMyirQFL例 5 已知雙曲線

17、C:ym (m0) 與點(diǎn)M（ ， ），如圖所示.1 1x（1）求證：過點(diǎn) M 可作兩條直線，分別與雙曲線C 兩支相切；6/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)（2）設(shè)（ 1）中地兩切點(diǎn)分別為 A 、B，其 MAB 是正三角形，求 m 地值及切點(diǎn)坐標(biāo) .【考查目地】本題考查導(dǎo)數(shù)地幾何意義在解析幾何綜合問題中地特殊作用，使代數(shù)與幾何實(shí)現(xiàn)了和諧地勾通 .（1）證明：設(shè) Q( t, m)C ，要證命題成立只需要證明關(guān)于t 地方程 y |x t kMQt有兩個符號相反地實(shí)根 .mm1y |x tkMQtt22mtm 0 ，且 t 0， t1.t 2t1設(shè)方程22mt m0地兩根分別為t1 與 t2，則由 t 1

18、 2，知1，t2 是符號tt =m0t相反地實(shí)數(shù)，且t1，t2 均不等于 0 與 1，命題獲證 .kavU42VRUs（2）設(shè) A(t1 , m ), B(t2 , m ) ，由（ 1）知， t 1+t2=2m，t1t2=m，從而t1t2t1 t2m, 1( mm)m(t1 t2 )2m2m ，即線段 AB 地中點(diǎn)在直線 y x22t1t22t1t22m上 .mm又t2t1m(t1t2 )，AB 與直線 yx 垂直 .kABt1t2t1( t21t2t1 )故 A 與 B 關(guān)于 yx 對稱，設(shè) (, m)(t0)，則mA ttB( , t)t有 t2-2mt+m=0由 kMAmt2 ,kMBt

19、 2mtan 60mt2t 2m1mt2m2, AMBk2，即 m2 t t m60 及夾角公式知2 3 t 2由得 m2t17/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)從而 mt 22t1(2t1)4t (1t)0t 2m12t1由知 m2t223, m232 ，代入知 t3 1tmt2因此， m1,A(31,3 1), B(3 1 ,3 1).22222錦囊妙計(jì)： 求切線方程地常見方法有：1、數(shù)刑結(jié)合 .2 、將直線方程代入曲線方程利用判別式 .3、利用導(dǎo)數(shù)地幾何意義.y6v3ALoS89小結(jié)： 深刻理解導(dǎo)函數(shù)作為一類特殊函數(shù)，其幾何意義所在，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)地極值、 單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上地

20、最值等基本方法；導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用為研究函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象開辟了新地途徑，成為勾通函數(shù)與數(shù)列、圓錐曲線等問題地一座橋梁；此外，導(dǎo)數(shù)還具有方法程序化，易掌握地顯著特點(diǎn).M2ub6vSTnP五. 突破難點(diǎn)，提升能力難點(diǎn) 1導(dǎo)數(shù)地運(yùn)算法則及基本公式應(yīng)用例 1求函數(shù)地導(dǎo)數(shù)：(1) y1 x( 2) y (ax bsin 2 x )3(3) yf (x 21)(1x 2 ) cosx命題意圖： 本題 3 個小題分別考查了導(dǎo)數(shù)地四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)地方法，以及抽象函數(shù)求導(dǎo)地思想方法.這是導(dǎo)數(shù)中比較典型地求導(dǎo)類型.0YujCfmUCw知識依托： 解答本題地閃光點(diǎn)是要分析函數(shù)地結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量地隱含條件，將問

21、題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)地導(dǎo)數(shù) .錯解分析： 本題難點(diǎn)在求導(dǎo)過程中符號判斷不清，復(fù)合函數(shù)地結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯.技巧與方法：先分析函數(shù)式結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)復(fù)合函數(shù)地式子特征，按照求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).(1)解 : y(1 x) (1x2 ) cos x(1x)( 1x 2 ) cos x(1 x 2 )2cos2 x(1x2 ) cosx(1x )(1 x 2 ) cos x(1x2 )(cos x) (1x 2 ) 2 cos2 x(1x2 ) cosx (1x )2x cos x(1x 2 ) sin x(1x2 ) 2 cos2 x( x 22x 1) cosx(1x)(1x 2 )sin x(1x 2

22、 )2 cos2 x8/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)32(2)解： y= , =ax bsin x, =av byv=x,y=sin =x322y =( ) =3 =3 (av by)22=3 (av by )=3 (av by )22=3(ax bsin x) (ab sin2 x)(3)解法一：設(shè) y=f( ),=v ,v=x2+1,則1 2xy x=y vv x=f ( ) 1 v 22=f (x 21)11 2x2x 21=xf ( x21),x 21解法二： y = f(x 21 ) =f (x21 )( x21 )1)11=f (x 2(x2+1)2 (x2+1)2x 21 ) 1

23、 (x2+1)1=f (2 2x2=xf ( x21 )x 21例 2利用導(dǎo)數(shù)求和2n1*(1)Sn =1+2x+3x +nx (x 0,n N )(2)Sn =C 1n +2C n2 +3C n3 + +nC nn ,(n N* )命題意圖：培養(yǎng)考生地思維地靈活性以及在建立知識體系中知識點(diǎn)靈活融合地能力.知識依托：通過對數(shù)列地通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維nn 1.由求導(dǎo)公式 (x) =nx ,可聯(lián)想到它們是另外一個和式地導(dǎo)數(shù).關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)地形式結(jié)構(gòu).eUts8ZQVRd錯解分析：本題難點(diǎn)是考生易犯思維定勢地錯誤，受此影響而不善于聯(lián)想.技巧與方法：第 (1)題要分 x=1 和 x 1討

24、論，等式兩邊都求導(dǎo) .解： (1)當(dāng) x=1 時1Sn=1+2+3+ +n=n(n+1);2當(dāng) x 1 時，23nx xn1, x+x+x + +x =1 x兩邊都是關(guān)于 x 地函數(shù)，求導(dǎo)得(x+x2+x3+xn)=( xxn 1 )1x9/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)即 Sn=1+2x+3x2+ +nxn 1=1 ( n 1) xnnxn 1(1 x) 2(2) (1+ x) n=1+C 1n x+C 2n x2+C nn xn,兩邊都是關(guān)于x 地可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得n(1+ x)n 1=C 1n +2C 2n x+3C 3n x2+nC nn xn 1,令 x=1 得， n 2n 1=C 1n

25、 +2C 2n +3C 3n + +nC nn ,即 Sn=C 1n +2C 2n + +nC nn =n 2n 1錦囊妙計(jì)1.深刻理解導(dǎo)數(shù)地概念，了解用定義求簡單地導(dǎo)數(shù).y 表示函數(shù)地平均改變量，它是x 地函數(shù)，而f (x0) 表示一個數(shù)值，即f x(x)= limy，知道導(dǎo)數(shù)地等價形式：limf ( x0x) f ( x0 )f ( x) f ( x0 )xxlimf ( x0 ) .x 0x 0x x0x x02.求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限， 在求極限地過程中， 力求使所求極限地結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限地形式，即導(dǎo)數(shù)地定義，這是順利求導(dǎo)地關(guān)鍵.sQsAEJkW5T3.對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡

26、，再求導(dǎo)地基本原則，求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則地應(yīng)用， 而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)地制約作用，在實(shí)施化簡時， 首先必須注意變換地等價性，避免不必要地運(yùn)算失誤.GMsIasNXkA4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，像鏈條一樣， 必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中地一環(huán).必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣地順序復(fù)合而成地，分清其間地復(fù)合關(guān)系.TIrRGchYzg難點(diǎn) 2導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)地極大(小 )值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間a,b上地最大、最小值，或利用求導(dǎo)法解決一些實(shí)際應(yīng)用問題是函數(shù)內(nèi)容地繼續(xù)與延伸，這種解決問題地方法使復(fù)雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為新高考地又一熱點(diǎn).7EqZcWLZN

27、X例 1已知 f(x)= ax3+bx2+cx(a 0)在 x= 1 時取得極值，且f(1)= 1.(1)試求常數(shù)a、 b、 c 地值；(2)試判斷 x=1 是函數(shù)地極小值還是極大值，并說明理由.命題意圖：利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)地極大值和極小值地方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面地繼續(xù)深入 .是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用地關(guān)鍵知識點(diǎn)，通過對函數(shù)極值地判定，可使學(xué)生加深對函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系地理解 .lzq7IGf02E知識依托：解題地成功要靠正確思路地選擇.本題從逆向思維地角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問題地轉(zhuǎn)化，使抽象地問題具體化.這是解答本題地閃光點(diǎn).zvpgeqJ1hk錯解分析： 本題難點(diǎn)是在求

28、導(dǎo)之后，不會應(yīng)用 f (1)=0 地隱含條件， 因而造成了解決問題地最大思維障礙.NrpoJac3v1技巧與方法：考查函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)域上地可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能地極值，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)地關(guān)系，建立由極值點(diǎn)x= 1 所確定地相等關(guān)系式，運(yùn)用待定系數(shù)法求10/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)值.1nowfTG4KI解： (1)f (x)=3ax2+2bx+c x= 1 是函數(shù) f(x)地極值點(diǎn)， x= 1 是方程 f (x)=0, 即 3ax2+2 bx+c=0 地兩根 .2b由根與系數(shù)地關(guān)系，得3ac013a又 f(1)= 1, a+b+c= 1,由解得 a= 1,b 0,c3,22(2)

29、f(x)= 1 x3 3 x,2 2 f (x)= 3 x2 3 = 3 (x 1)(x+1)2 2 2當(dāng) x 1 或 x 1 時， f (x) 0當(dāng) 1 x 1 時， f (x) 0函數(shù) f(x)在 ( , 1)和 (1,+ )上是增函數(shù)，在( 1， 1)上是減函數(shù) .當(dāng) x=1 時，函數(shù)取得極大值f( 1)=1,當(dāng) x=1 時，函數(shù)取得極小值f(1)= 1.例 2在甲、乙兩個工廠， 甲廠位于一直線河岸地岸邊A 處，乙廠與甲廠在河地同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km 地 B 處，乙廠到河岸地垂足D 與 A 相距 50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠地水管費(fèi)用分別為每千

30、米3a 元和 5a 元，問供水站C 建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？fjnFLDa5Zo命題意圖： 學(xué)習(xí)地目地， 就是要會實(shí)際應(yīng)用， 本題主要是考查學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決實(shí)際問題地意識，思想方法以及能力 .tfnNhnE6e5知識依托：解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題地主要關(guān)系，并把問題地主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適地?cái)?shù)學(xué)方法求解.HbmVN777sL錯解分析：本題難點(diǎn)是如何把實(shí)際問題中所涉及地幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式.技巧與方法：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間地關(guān)系，借助圖形地特征，合理選擇這些

31、條件間地聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化，構(gòu)造相應(yīng)地函數(shù)關(guān)系.V7l4jRB8Hs解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C 在線段 AD 上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距 D 點(diǎn) x km, 則 BD=40,AC =50 x,BC= BD 2CD 2x2402又設(shè)總地水管費(fèi)用為y 元，依題意有：y=30(5 a x)+5 ax 2402(0 x 50)y = 3a+5ax,令 y=0,解得 x=30402x 2在 (0,50) 上， y 只有一個極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題地意義，11/14個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)函數(shù)在 x=30(km) 處取得最小值，此時 AC=50 x=20(km) 供水站建在 A、 D 之

32、間距甲廠 20 km 處，可使水管費(fèi)用最省 .解法二：設(shè)BCD=Q,則 BC=40,CD =40cot ,(0 ), AC=50 40cotsin2設(shè)總地水管費(fèi)用為f( ),依題意，有40f()=3 a(50 40 cot )+5 asin53cos=150a+40a f ( )=40a (53cos) sin(53cos) (sin )40a3 5cossin2sin2令 f ( )=0, 得 cos= 35根據(jù)問題地實(shí)際意義，當(dāng)cos =3 時，函數(shù)取得最小值，此時sin = 4, cot =3,554 AC=50 40cot =20(km), 即供水站建在A、D 之間距甲廠20 km 處

33、，可使水管費(fèi)用最省.83lcPA59W9錦囊妙計(jì)： 1.f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f (x) 0,則 f(x) 是增函數(shù)；若 f (x) 0,則 f( x).mZkklkzaaP2.求函數(shù)地極值點(diǎn)應(yīng)先求導(dǎo)，然后令y =0 得出全部導(dǎo)數(shù)為0地點(diǎn)， (導(dǎo)數(shù)為0 地點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)，例如：y=x3,當(dāng) x=0 時，導(dǎo)數(shù)是0，但非極值點(diǎn) )，導(dǎo)數(shù)為 0 地點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，取決于這個點(diǎn)左、右兩邊地增減性，即兩邊地y地符號，若改變符號，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)； 若不改變符號，則非極值點(diǎn)， 一個函數(shù)地極值點(diǎn)不一定在導(dǎo)數(shù)為0 地點(diǎn)處取得， 但可得函數(shù)地極值點(diǎn)一定導(dǎo)數(shù)為0.AVktR43bpw3. 可導(dǎo)函數(shù)地最值可通過 ( a, b) 內(nèi)地極值和端點(diǎn)地函數(shù)值比較求得，但不可導(dǎo)函數(shù)地極值有時可能在函數(shù)不可導(dǎo)地點(diǎn)處取得， 因此，一般地連續(xù)函數(shù)還必須和導(dǎo)數(shù)不存在地點(diǎn)地函數(shù)值進(jìn)行比較，如y=| x|, 在 x=0 處不可導(dǎo)，但它是最小值點(diǎn). ORjBnOwcEd版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理.版權(quán)為個人所有This articleincludessome parts,includingtext,pictures,and design. Copyright is personal o