全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題詳解復(fù)習(xí)必備

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng) 賽 講 義2007-2009全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解答河南大學(xué)附中目錄 2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1 2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)6 2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)10 2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)212007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)26 2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)322009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，填空題只設(shè)7分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)

2、準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中至少4分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次一、填空（共8小題，每小題7分，共56分）1 若函數(shù)且，則 【答案】【解析】 ，故2 已知直線和圓，點(diǎn)在直線上，為圓上兩點(diǎn)，在中，過圓心，則點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍為 【答案】【解析】 設(shè)，則圓心到直線的距離，由直線與圓相交，得解得3 在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域和，為，是隨變化的區(qū)域，它由不等式所確定，的取值范圍是，則和的公共面積是函數(shù) 【答案】【解析】 由題意知 4 使不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)的值為 【答案】【解

3、析】 設(shè)顯然單調(diào)遞減，則由的最大值，可得5 橢圓上任意兩點(diǎn)，若，則乘積的最小值為 【答案】【解析】 設(shè)，由，在橢圓上，有 得于是當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值6 若方程僅有一個(gè)實(shí)根，那么的取值范圍是 【答案】 或【解析】 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)由求根公式得， 或()當(dāng)時(shí)，由得，所以，同為負(fù)根又由知，所以原方程有一個(gè)解()當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)解()當(dāng)時(shí)，由得，所以，同為正根，且，不合題意，舍去綜上可得或?yàn)樗? 一個(gè)由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個(gè)數(shù)之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)，第一行是前個(gè)正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是 （可以用指數(shù)表示）【答案】【解析】 易知：()該數(shù)表共有10

4、0行；()每一行構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且公差依次為，()為所求 設(shè)第行的第一個(gè)數(shù)為，則=故8 某車站每天，都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為到站時(shí)刻概率一旅客到車站，則它候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為 （精確到分）【答案】 27【解析】 旅客候車的分布列為候車時(shí)間（分）1030507090概率候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為二、解答題1 （本小題滿分14分）設(shè)直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】 由消去化簡(jiǎn)整理得設(shè)，則 4分由消去化簡(jiǎn)整理得設(shè)，則 8分因?yàn)?，所以?/p>

5、此時(shí)由得所以或由上式解得或當(dāng)時(shí)，由和得因是整數(shù)，所以的值為，當(dāng)，由和得因是整數(shù)，所以，于是滿足條件的直線共有9條14分2 （本小題15分）已知，是實(shí)數(shù)，方程有兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，()求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用，表示）；()若，求的前項(xiàng)和【解析】 方法一：()由韋達(dá)定理知，又，所以，整理得令，則所以是公比為的等比數(shù)列數(shù)列的首項(xiàng)為：所以，即所以當(dāng)時(shí)，變?yōu)檎淼?，所以，?shù)列成公差為的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為所以于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為；5分當(dāng)時(shí)， 整理得，所以，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為所以于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為10分()若，則，此時(shí)由第()步的結(jié)果得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，的前項(xiàng)和為以上兩式相減，整理得所以

6、15分方法二：()由韋達(dá)定理知，又，所以，特征方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)由，得， 解得故 5分當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)由，得 ， 解得，故 10分()同方法一3 （本小題滿分15分）求函數(shù)的最大和最小值【解析】 函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)楫?dāng)時(shí)等號(hào)成立故的最小值為5分又由柯西不等式得 所以 10分由柯西不等式等號(hào)成立的條件，得，解得故當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因此的最大值為15分2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（a卷）說明：1評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，10分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔

7、次一、如圖，分別為銳角三角形（）的外接圓上弧、的中點(diǎn)過點(diǎn)作交圓于點(diǎn)，為的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交圓于求證：；在?。ú缓c(diǎn)）上任取一點(diǎn)（，），記，的內(nèi)心分別為，求證：，四點(diǎn)共圓【解析】 連，由于，共圓，故是等腰梯形因此，連，則與交于，因?yàn)?，所以同理于是，故四邊形為平行四邊形因此（同底，等高）又，四點(diǎn)共圓，故，由三角形面積公式于是因?yàn)椋?，同理由得由所證，故又因，有故，從而因此，四點(diǎn)共圓二、求證不等式：，2，【解析】 證明：首先證明一個(gè)不等式：，事實(shí)上，令，則對(duì)，于是，在中取得令，則， 因此又因?yàn)閺亩?三、設(shè)，是給定的兩個(gè)正整數(shù)證明：有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，使得與互素【解析】 證法一：對(duì)任意正整數(shù)，令我們證

8、明設(shè)是的任一素因子，只要證明：p若pk!，則由 及，且p+1k!，知且從而p 證法二：對(duì)任意正整數(shù)，令，我們證明設(shè)是的任一素因子，只要證明：p 若pk!，則由 即不整除上式，故p 若，設(shè)使，但故由 ,及，且p+1k!，知且從而p四、在非負(fù)數(shù)構(gòu)成的數(shù)表 中每行的數(shù)互不相同，前6列中每列的三數(shù)之和為1，均大于如果的前三列構(gòu)成的數(shù)表 滿足下面的性質(zhì)：對(duì)于數(shù)表中的任意一列（，2，9）均存在某個(gè)使得求證：（）最小值，2，3一定自數(shù)表的不同列（）存在數(shù)表中唯一的一列，2，3使得數(shù)表仍然具有性質(zhì)【解析】 （）假設(shè)最小值，2，3不是取自數(shù)表的不同列則存在一列不含任何不妨設(shè)，2，3由于數(shù)表中同一行中的任何兩個(gè)元

9、素都不等，于是，2，3另一方面，由于數(shù)表具有性質(zhì)，在中取，則存在某個(gè)使得矛盾（）由抽屆原理知，中至少有兩個(gè)值取在同一列不妨設(shè)，由前面的結(jié)論知數(shù)表的第一列一定含有某個(gè)，所以只能是同樣，第二列中也必含某個(gè)，2不妨設(shè)于是，即是數(shù)表中的對(duì)角線上數(shù)字 記，令集合顯然且1，2因?yàn)椋怨视谑谴嬖谑沟蔑@然，2，3下面證明數(shù)表 具有性質(zhì)從上面的選法可知，這說明 ，又由滿足性質(zhì)在中取，推得，于是下證對(duì)任意的，存在某個(gè)，2，3使得假若不然，則，3且這與的最大性矛盾因此，數(shù)表滿足性質(zhì)下證唯一性設(shè)有使得數(shù)表 具有性質(zhì)，不失一般性，我們假定 由于，及（），有又由（）知：或者，或者如果成立，由數(shù)表具有性質(zhì)，則 ， ， 由

10、數(shù)表滿足性質(zhì)，則對(duì)于至少存在一個(gè)使得由及和式知，于是只能有類似地，由滿足性質(zhì)及可推得從而2008全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（a卷）說明：1評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中5分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1函數(shù)在上的最小值是 （ c ）a0 b1 c2 d3解 當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)而此方程有解，因

11、此在上的最小值為22設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ d ）a b c d解 因有兩個(gè)實(shí)根 ，故等價(jià)于且，即且，解之得3甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為 （ b ）a. b. c. d. 解法一 依題意知，的所有可能值為2，4，6.設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠啠瑒t該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為 若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響從而有，故解法二 依題意知，的所有可能值為2，4，6.令

12、表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝由獨(dú)立性與互不相容性得， ， ，故4若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個(gè)正方體的體積之和為 （ a ）a. 764 cm3或586 cm3 b. 764 cm3 c. 586 cm3或564 cm3 d. 586 cm3解 設(shè)這三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為，則有，不妨設(shè)，從而，故只能取9，8，7，6若，則，易知，得一組解若，則，但，從而或5若，則無(wú)解，若，則無(wú)解此時(shí)無(wú)解若，則，有唯一解，若，則，此時(shí)，故，但，故，此時(shí)無(wú)解綜上，共有兩組解或體積為cm3或cm35方程組的有理數(shù)解的個(gè)數(shù)為 （ b ）a. 1 b.

13、2 c. 3 d. 4解 若，則解得或若，則由得 由得 將代入得 由得，代入化簡(jiǎn)得.易知無(wú)有理數(shù)根，故，由得，由得，與矛盾，故該方程組共有兩組有理數(shù)解或6設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是 （ c ）a. b. c. d. 解 設(shè)的公比為，則，而 因此，只需求的取值范圍因成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且即有不等式組即解得從而，因此所求的取值范圍是二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，若，則 5 .解 由題意知，由得，因此，8設(shè)的最小值為，則解 ，(1) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值；(2) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值1；(3) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值又或時(shí)，的最

14、小值不能為，故，解得，(舍去)9將24個(gè)志愿者名額分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有 222種解法一 用4條棍子間的空隙代表3個(gè)學(xué)校，而用表示名額如 表示第一、二、三個(gè)學(xué)校分別有4，18，2個(gè)名額若把每個(gè)“”與每個(gè)“”都視為一個(gè)位置，由于左右兩端必須是“”，故不同的分配方法相當(dāng)于個(gè)位置（兩端不在內(nèi)）被2個(gè)“”占領(lǐng)的一種“占位法”“每校至少有一個(gè)名額的分法”相當(dāng)于在24個(gè)“”之間的23個(gè)空隙中選出2個(gè)空隙插入“”，故有種又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種解法二設(shè)分配給

15、3個(gè)學(xué)校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個(gè)名額的分法數(shù)為不定方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，它等于3個(gè)不同元素中取21個(gè)元素的可重組合：又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種綜上知，滿足條件的分配方法共有25331222種10設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則通項(xiàng)=解 ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以11設(shè)是定義在上的函數(shù)，若 ，且對(duì)任意，滿足，則=解法一 由題設(shè)條件知 ，因此有，故 解法二 令，則 ，即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以答12圖112一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球

16、永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 解 如答12圖1，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，記小球半徑為，作平面/平面，與小球相切于點(diǎn)，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心因，故，從而記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2記正四面體的棱長(zhǎng)為，過作于答12圖2 因，有，故小三角形的邊長(zhǎng)小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖2中陰影部分） 又，所以由對(duì)稱性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）答13圖13已知函數(shù)的圖像與直線

17、 有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為，求證： 證 的圖象與直線 的三個(gè)交點(diǎn)如答13圖所示，且在內(nèi)相切，其切點(diǎn)為，5分 由于，所以，即10分因此 15分 20分14解不等式:解法一 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于即 5分分組分解 ， 10分所以， 15分所以，即0成立的事件發(fā)生的概率等于（ d ）a. b. c. d. 解：甲、乙二人每人摸出一個(gè)小球都有9種不同的結(jié)果，故基本事件總數(shù)為92=81個(gè)。由不等式a2b+100得2ba+10，于是，當(dāng)b=1、2、3、4、5時(shí)，每種情形a可取1、2、9中每一個(gè)值，使不等式成立，則共有95=45種；當(dāng)b=6時(shí)，a可取3、4、9中每一個(gè)值，有7種

18、；當(dāng)b=7時(shí)，a可取5、6、7、8、9中每一個(gè)值，有5種；當(dāng)b=8時(shí)，a可取7、8、9中每一個(gè)值，有3種；當(dāng)b=9時(shí)，a只能取9，有1種。于是，所求事件的概率為。4. 設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1。若實(shí)數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則的值等于（ c ）a. b. c. 1d. 1解：令c=，則對(duì)任意的xr，都有f(x)+f(xc)=2，于是取，c=，則對(duì)任意的xr，af(x)+bf(xc)=1，由此得。一般地，由題設(shè)可得，其中且，于是af(x)+bf(xc)=1可化為，即，所以。由已知條件，上式對(duì)任意xr恒成立，故必有，若b=0，則由(1)知a=

19、0，顯然不滿足(3)式，故b0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2k+或c=2k(kz)。當(dāng)c=2k時(shí)，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2k+(kz)，cosc=1。由(1)、(3)知，所以。5. 設(shè)圓o1和圓o2是兩個(gè)定圓，動(dòng)圓p與這兩個(gè)定圓都相切，則圓p的圓心軌跡不可能是（ a ）解：設(shè)圓o1和圓o2的半徑分別是r1、r2，|o1o2|=2c，則一般地，圓p的圓心軌跡是焦點(diǎn)為o1、o2，且離心率分別是和的圓錐曲線（當(dāng)r1=r2時(shí)，o1o2的中垂線是軌跡的一部份，當(dāng)c=0時(shí)，軌跡是兩個(gè)同心圓）。當(dāng)r1=r2且r1+r22c時(shí)，圓p的圓心軌跡如選項(xiàng)b；當(dāng)02c|r1r2|時(shí)，

20、圓p的圓心軌跡如選項(xiàng)c；當(dāng)r1r2且r1+r22c時(shí)，圓p的圓心軌跡如選項(xiàng)d。由于選項(xiàng)a中的橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)不重合，因此圓p的圓心軌跡不可能是選項(xiàng)a。6. 已知a與b是集合1，2，3，100的兩個(gè)子集，滿足：a與b的元素個(gè)數(shù)相同，且為ab空集。若na時(shí)總有2n+2b，則集合ab的元素個(gè)數(shù)最多為（ b ）a. 62b. 66c. 68d. 74解：先證|ab|66，只須證|a|33，為此只須證若a是1，2，49的任一個(gè)34元子集，則必存在na，使得2n+2b。證明如下：將1，2，49分成如下33個(gè)集合：1，4，3，8，5，12，23，48共12個(gè)；2，6，10，22，14，30，18，38共4

21、個(gè)；25，27，29，49共13個(gè)；26，34，42，46共4個(gè)。由于a是1，2，49的34元子集，從而由抽屜原理可知上述33個(gè)集合中至少有一個(gè)2元集合中的數(shù)均屬于a，即存在na，使得2n+2b。如取a=1，3，5，23，2，10，14，18，25，27，29，49，26，34，42，46，b=2n+2|na，則a、b滿足題設(shè)且|ab|66。二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，有四個(gè)定點(diǎn)a(3，0)，b(1，1)，c(0，3)，d(1，3)及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)p，則|pa|+|pb|+|pc|+|pd|的最小值為 。解：如圖，設(shè)ac與bd交于f點(diǎn)，則|pa|+|pc|ac|

22、=|fa|+|fc|，|pb|+|pd|bd|=|fb|+|fd|，因此，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p與f點(diǎn)重合時(shí)，|pa|+|pb|+|pc|+|pd|取到最小值。8. 在abc和aef中，b是ef的中點(diǎn)，ab=ef=1，bc=6，若，則與的夾角的余弦值等于 。解：因?yàn)?，所以，即。因?yàn)?，所以，即。設(shè)與的夾角為，則有，即3cos=2，所以。9. 已知正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)a為球心，為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于 。解：如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)a所在的三個(gè)面上，即面aa1b1b、面abcd和面aa1d1d上；另一類在不過

23、頂點(diǎn)a的三個(gè)面上，即面bb1c1c、面cc1d1d和面a1b1c1d1上。在面aa1b1b上，交線為弧ef且在過球心a的大圓上，因?yàn)椋琣a1=1，則。同理，所以，故弧ef的長(zhǎng)為，而這樣的弧共有三條。在面bb1c1c上，交線為弧fg且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心為b，半徑為，所以弧fg的長(zhǎng)為。這樣的弧也有三條。于是，所得的曲線長(zhǎng)為。10. 已知等差數(shù)列an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)。若a1=d，b1=d2，且是正整數(shù)，則q等于 。解：因?yàn)椋视梢阎獥l件知道：1+q+q2為，其中m為正整數(shù)。令，則。由于q是小于1的正有理數(shù)，所以，即5m13

24、且是某個(gè)有理數(shù)的平方，由此可知。11. 已知函數(shù)，則f(x)的最小值為 。解：實(shí)際上，設(shè)，則g(x)0，g(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且y=g(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)任意，存在，使g(x2)=g(x1)。于是，而f(x)在上是減函數(shù)，所以，即f(x)在上的最小值是。12. 將2個(gè)a和2個(gè)b共4個(gè)字母填在如圖所示的16個(gè)小方格內(nèi)，每個(gè)小方格內(nèi)至多填1個(gè)字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法共有 3960 種（用數(shù)字作答）。解：使2個(gè)a既不同行也不同列的填法有c42a42=72種，同樣，使2個(gè)b既不同行也不同列的填法也有c42a42=72種，故由乘法原理，這樣的填法共有722

25、種，其中不符合要求的有兩種情況：2個(gè)a所在的方格內(nèi)都填有b的情況有72種；2個(gè)a所在的方格內(nèi)僅有1個(gè)方格內(nèi)填有b的情況有c161a92=1672種。所以，符合題設(shè)條件的填法共有722721672=3960種。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13. 設(shè)，求證：當(dāng)正整數(shù)n2時(shí)，an+1an。證明：由于，因此，于是，對(duì)任意的正整數(shù)n2，有，即an+10(1)，(2)，(3)，由此解得。對(duì)求導(dǎo)，得，則，于是直線l1的方程為，即，化簡(jiǎn)后得到直線l1的方程為(4)。同理可求得直線l2的方程為(5)。(4)(5)得，因?yàn)閤1x2，故有(6)。將(2)(3)兩式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)

26、得(7)，其中，代入(7)式得2yp=(32k)xp+2，而xp=2，得yp=42k。又由得，即點(diǎn)p的軌跡為(2，2)，(2，2.5)兩點(diǎn)間的線段（不含端點(diǎn)）。15. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都滿足f(x+2)=f(x)，求證：存在4個(gè)函數(shù)fi(x)(i=1，2，3，4)滿足：（1）對(duì)i=1，2，3，4，fi(x)是偶函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有fi(x+)=fi(x)；（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。證明：記，則f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù)，對(duì)任意的xr，g(x+2)=g(x)

27、，h(x+2)=h(x)。令，其中k為任意整數(shù)。容易驗(yàn)證fi(x)，i=1，2，3，4是偶函數(shù)，且對(duì)任意的xr，fi(x+)=fi(x)，i=1，2，3，4。下證對(duì)任意的xr，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，而，故?duì)任意的xr，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。下證對(duì)任意的xr，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)x=k時(shí)，h(x)=h(k)=h(k2k)=h(k)=h(k)，所以h(x)=h(k)=0，而此時(shí)f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；當(dāng)

28、時(shí)，故，又f4(x)sin2x=0，從而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。于是，對(duì)任意的xr，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。綜上所述，結(jié)論得證。2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題參考答案一、（本題滿分50分）如圖，在銳角abc中，abac，ad是邊bc上的高，p是線段ad內(nèi)一點(diǎn)。過p作peac，垂足為e，作pfab，垂足為f。o1、o2分別是bdf、cde的外心。求證：o1、o2、e、f四點(diǎn)共圓的充要條件為p是abc的垂心。證明：連結(jié)bp、cp、o1o2、eo2、ef、fo1。因?yàn)閜dbc，pfab，故b、d、p、f四點(diǎn)共圓，且bp為該圓的直徑。

29、又因?yàn)閛1是bdf的外心，故o1在bp上且是bp的中點(diǎn)。同理可證c、d、p、e四點(diǎn)共圓，且o2是的cp中點(diǎn)。綜合以上知o1o2bc，所以po2o1=pcb。因?yàn)閍fab=apad=aeac，所以b、c、e、f四點(diǎn)共圓。充分性：設(shè)p是abc的垂心，由于peac，pfab，所以b、o1、p、e四點(diǎn)共線，c、o2、p、f四點(diǎn)共線，fo2o1=fcb=feb=feo1，故o1、o2、e、f四點(diǎn)共圓。必要性：設(shè)o1、o2、e、f四點(diǎn)共圓，故o1o2e+efo1=180。由于po2o1=pcb=acbacp，又因?yàn)閛2是直角cep的斜邊中點(diǎn)，也就是cep的外心，所以po2e=2acp。因?yàn)閛1是直角bfp

30、的斜邊中點(diǎn)，也就是bfp的外心，從而pfo1=90bfo1=90abp。因?yàn)閎、c、e、f四點(diǎn)共圓，所以afe=acb，pfe=90acb。于是，由o1o2e+efo1=180得(acbacp)+2acp+(90abp)+(90acb)=180，即abp=acp。又因?yàn)閍bac，adbc，故bdcd。設(shè)b是點(diǎn)b關(guān)于直線ad的對(duì)稱點(diǎn)，則b在線段dc上且bd=bd。連結(jié)ab、pb。由對(duì)稱性，有abp=abp，從而abp=acp，所以a、p、b、c四點(diǎn)共圓。由此可知pbb=cap=90acb。因?yàn)閜bc=pbb，故pbc+acb=(90acb)+acb=90，故直線bp和ac垂直。由題設(shè)p在邊bc的

31、高上，所以p是abc的垂心。二、（本題滿分50分）如圖，在78的長(zhǎng)方形棋盤的每個(gè)小方格的中心點(diǎn)各放一個(gè)棋子。如果兩個(gè)棋子所在的小方格共邊或共頂點(diǎn)，那么稱這兩個(gè)棋子相連。現(xiàn)從這56個(gè)棋子中取出一些，使得棋盤上剩下的棋子，沒有五個(gè)在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連。問最少取出多少個(gè)棋子才可能滿足要求？并說明理由。解：最少要取出11個(gè)棋子，才可能滿足要求。其原因如下：如果一個(gè)方格在第i行第j列，則記這個(gè)方格為(i，j)。第一步證明若任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，即五個(gè)棋子在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連。用反證法。假設(shè)可取出10個(gè)棋子，使余下的棋子沒有一個(gè)五子連珠。如圖1，

32、在每一行的前五格中必須各取出一個(gè)棋子，后三列的前五格中也必須各取出一個(gè)棋子。這樣，10個(gè)被取出的棋子不會(huì)分布在右下角的陰影部分。同理，由對(duì)稱性，也不會(huì)分布在其他角上的陰影部分。第1、2行必在每行取出一個(gè)，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)這些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)這些方格上至少要取出2個(gè)棋子。在第1、2、3列，每列至少要取出一個(gè)棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在區(qū)域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6

33、)、(5，7)、(5，8)所在區(qū)域內(nèi)至少取出3個(gè)棋子。這樣，在這些區(qū)域內(nèi)至少已取出了10個(gè)棋子。因此，在中心陰影區(qū)域內(nèi)不能取出棋子。由于、這4個(gè)棋子至多被取出2個(gè)，從而，從斜的方向看必有五子連珠了。矛盾。圖1圖2第二步構(gòu)造一種取法，共取走11個(gè)棋子，余下的棋子沒有五子連珠。如圖2，只要取出有標(biāo)號(hào)位置的棋子，則余下的棋子不可能五子連珠。綜上所述，最少要取走11個(gè)棋子，才可能使得余下的棋子沒有五子連珠。三、（本題滿分50分）設(shè)集合p=1，2，3，4，5，對(duì)任意kp和正整數(shù)m，記f(m，k)=，其中a表示不大于a的最大整數(shù)。求證：對(duì)任意正整數(shù)n，存在kp和正整數(shù)m，使得f(m，k)=n。證明：定義集

34、合a=|mn*，kp，其中n*為正整數(shù)集。由于對(duì)任意k、ip且ki，是無(wú)理數(shù)，則對(duì)任意的k1、k2p和正整數(shù)m1、m2，當(dāng)且僅當(dāng)m1=m2，k1=k2。由于a是一個(gè)無(wú)窮集，現(xiàn)將a中的元素按從小到大的順序排成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列。對(duì)于任意的正整數(shù)n，設(shè)此數(shù)列中第n項(xiàng)為。下面確定n與m、k的關(guān)系。若，則。由m1是正整數(shù)可知，對(duì)i=1，2，3，4，5，滿足這個(gè)條件的m1的個(gè)數(shù)為。從而n=f(m，k)。因此對(duì)任意nn*，存在mn*，kp，使得f(m，k)=n。 袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈

35、螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅

36、蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃

37、薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕

38、羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈

39、袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃

40、螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆莆衿裊肅薈螞袁肂蝕羈膀肁莀螀肆肀蒂羆羂聿薅蝿袈聿蚇薁膇膈莇螇肂膇葿薀羈膆蟻螅羄膅莁蚈袀膄蒃襖腿膃薅蚆肅膃蚈袂羈膂莇蚅袇芁蒀袀螃芀薂蚃肂艿莂袈肈羋蒄螁羄芇薆羇袀芇蠆螀膈芆莈薂肄蒞蒁螈羀莄薃薁袆莃芃螆螂莂蒅蕿?zāi)d莁薇襖肇莁蠆蚇羃莀荿袃衿荿蒁蚆膇蒈薄袁肅蕆蚆蚄罿蒆