《復數(shù)的概念》教學設計【高中數(shù)學人教A版必修2(新課標)】(總8頁

1、復數(shù)的概念教學設計 教材分析教材通過三個環(huán)節(jié)完成了對實數(shù)系的擴充過程：(1)提出問題(用什么方法解決方程x210在實數(shù)集中無解的問題)，引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生擴充實數(shù)系的欲望；(2)回顧從自然數(shù)集逐步擴充到實數(shù)集的過程和特點(添加新數(shù)，滿足原來的運算律)；(3)類比、設想擴充實數(shù)系的方向及引入新數(shù)i所滿足的條件(使i21成立，滿足原來的運算律)由于學生對數(shù)系擴充的知識并不熟悉，教學中教師需多作引導復數(shù)的概念是復數(shù)這一章的基礎，復數(shù)的有關概念都是圍繞復數(shù)的代數(shù)表示形式展開的虛數(shù)單位、實部、虛部的命名，復數(shù)相等的概念，以及虛數(shù)、純虛數(shù)等概念的理解，教學中可結合具體例子，以促進對復數(shù)實質(zhì)的理解

2、課時分配1課時 教學目標1了解引進復數(shù)的必要性；理解虛數(shù)單位i以及i與實數(shù)的四則運算規(guī)律理解并掌握復數(shù)的有關概念(復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部、復數(shù)相等)2通過問題情境，了解擴充數(shù)系的必要性，感受數(shù)系的擴充過程，體會引入虛數(shù)單位i和復數(shù)形式的合理性，使學生對數(shù)的概念有一個初步的、完整的認識3通過問題情境，體會實際需求與數(shù)學內(nèi)部矛盾在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系 教學重難點重點：復數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復數(shù)的分類(實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù))和復數(shù)相等等概念難點：虛數(shù)單位i的引進及復數(shù)的概念 教學過程請同學們回答以下問題：(1)在自然數(shù)集N中，方程x4

3、0有解嗎？(2)在整數(shù)集Z中，方程3x20有解嗎？(3)在有理數(shù)集Q中，方程x220有解嗎？活動設計：先讓學生獨立思考，然后小組交流，最后師生總結活動成果：問題(1)在自然數(shù)集中，方程x40無解，為此引進負數(shù)，自然數(shù)整數(shù)；問題(2)在整數(shù)集中，方程3x20無解，為此引進分數(shù)，整數(shù)有理數(shù)；問題(3)在有理數(shù)集中，方程x220無解，為此引進無理數(shù)，有理數(shù)實數(shù)數(shù)集的每一次擴充，對數(shù)學本身來說，解決了在原有數(shù)集中某種運算不能實施的矛盾，如分數(shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾提出問題：從自然數(shù)集N擴充到實數(shù)集R經(jīng)歷了幾次擴充？每一次擴充的

4、主要原因是什么？每一次擴充的共同特征是什么？活動設計：先讓學生獨立思考，然后小組討論，師生共同歸納總結活動成果：擴充原因：滿足解決實際問題的需要；滿足數(shù)學自身完善和發(fā)展的需要擴充特征：引入新的數(shù)；原數(shù)集中的運算規(guī)則在新數(shù)集中得到保留和擴展，都滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律設計意圖回顧從自然數(shù)集N擴充到實數(shù)集R的過程，幫助學生認識數(shù)系擴充的主要原因和共同特征 提出問題：方程x210在R上有解嗎？如何對實數(shù)集進行擴充，使方程x210在新的數(shù)集中有解？活動設計：小組討論，類比猜想，設想新數(shù)的引進，師生共同完成學情預測：學生討論可能沒有統(tǒng)一結果，無法描述類比原來不同階段數(shù)系的每一次擴充的特點

5、，在實數(shù)集中方程x210無解，需要引進“新數(shù)”擴充實數(shù)集讓我們設想引入一個新數(shù)i，使i滿足兩個條件：(1)i是方程x210的根，即i21；(2)新數(shù)i與實數(shù)之間滿足加法、乘法的交換律、結合律以及乘法對加法的分配律設計意圖面對新問題的需要，感到擴充實數(shù)集的必要性，通過類比，猜想增添的新數(shù)需滿足的條件 提出問題：同學們設想，實數(shù)a與新數(shù)i相加，實數(shù)b與新數(shù)i相乘，結果如何表達？實數(shù)a與實數(shù)b和新數(shù)i相乘的結果相加，如何表示？活動設計：學生動手操作，嘗試寫出新數(shù)與實數(shù)加法和乘法的運算，然后教師引導，更正不正確的寫法，統(tǒng)一新數(shù)的特點，為引出復數(shù)的概念做鋪墊活動成果：ai，bi，abi.根據(jù)條件(2)，

6、i可以與實數(shù)b相乘，再與實數(shù)a相加由于滿足乘法和加法的交換律，從而都可以把結果寫成abi(a，bR)的形式提出問題：形如abi(a，bR)的數(shù)包括所有實數(shù)嗎？包括你原來沒遇到過的新數(shù)嗎？寫出實數(shù)系經(jīng)過上述擴充后得到的新數(shù)構成的集合C.活動設計：學生思考，可以討論，師生共同總結，得出復數(shù)的概念活動成果：形如abi(a，bR)的數(shù)，包括所有實數(shù)，也包括新數(shù)bi和abi，實數(shù)a和新數(shù)i可以看作是abi(a，bR)這樣數(shù)的特殊形式，即aa0i，i0i.實數(shù)系經(jīng)過上述擴充后，得到的新數(shù)集Cabi|a，bR我們把形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位全體復數(shù)所構成的集合C叫做復數(shù)集，即Ca

7、bi|a，bR復數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式注意：今后不做特殊說明，a，bR，其中a叫做復數(shù)z的實部，b叫做復數(shù)z的虛部設計意圖讓學生自己添加上這些新數(shù)，感受實數(shù)系的擴充過程，認識擴充后新數(shù)的特點，知道復數(shù)的代數(shù)形式及有關概念 提出問題：你認為滿足什么條件，可以說這兩個復數(shù)相等？活動設計：學生討論探究abicdi時，實部和虛部應滿足的條件，教師補充活動結果：若abicdi(其中a，b，c，dR)，則ab且cd，即兩個復數(shù)相等的充要條件是實部和虛部分別相等特別地，abi0a0且b0.設計意圖通過探究討論，讓學生對復數(shù)相等的概念達成共識，并揭示復數(shù)相等

8、的內(nèi)涵，利用兩復數(shù)相等，可以得到關于實數(shù)的方程組，進而得到a，b的值 提出問題：對于復數(shù)zabi，當且僅當a，b滿足什么條件時，z為實數(shù)，為0，為虛數(shù)，為純虛數(shù)？活動設計：學生思考、討論，師生總結活動結果：當且僅當b0時，復數(shù)zabi是實數(shù)；當且僅當ab0時，復數(shù)zabi為0；當且僅當b0時，復數(shù)zabi是虛數(shù)；當且僅當a0且b0時，復數(shù)zabi為純虛數(shù)設計意圖讓學生進一步理解復數(shù)的代數(shù)形式，明確復數(shù)zabi為實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的充要條件 提出問題：實數(shù)系擴充到復數(shù)系后，實數(shù)集R與復數(shù)集C有怎樣的關系？你能類比實數(shù)的分類，對復數(shù)進行合理的分類嗎？試用韋恩圖表示復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集和純虛數(shù)集之

9、間的關系活動設計：小組討論，學生嘗試分類，教師引導歸納活動結果：實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集.復數(shù)zabi可以分類如下：復數(shù)z復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集和純虛數(shù)集之間的關系用圖表示如下：設計意圖讓學生了解數(shù)系擴充后復數(shù)的正確分類及各數(shù)系之間的包含關系 提出問題：任意兩個復數(shù)可以比較大小嗎？若可以，請說明進行比較的方法；若不可以，請說明理由活動設計：讓學生思考，議論后發(fā)言，教師點撥學情預測：學生可能不知所云，無法下結論，也可能類比實數(shù)的大小比較，認為可以比較大小活動結果：若兩個復數(shù)都是實數(shù)，則可以比較大小；否則就不能比較大小因此，一般說來，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較其大小例1請說出下列復數(shù)

10、的實部和虛部，并判斷它們是實數(shù)，虛數(shù)還是純虛數(shù)23i；3i；i；i；0.思路分析：根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式及實部和虛部的概念找出各復數(shù)的實部和虛部，根據(jù)虛數(shù)、純虛數(shù)的概念判斷解：的實部為2，虛部為3，是虛數(shù)；的實部為3，虛部為，是虛數(shù)；的實部為，虛部為1，是虛數(shù)；的實部為，虛部為0，是實數(shù)；的實部為0，虛部為，是純虛數(shù)；的實部0，虛部為0，是實數(shù)點評：復數(shù)abi中，實數(shù)a和b分別叫做復數(shù)的實部和虛部特別注意，b為復數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號叫做復數(shù)的虛部鞏固練習符合下列條件的復數(shù)一定存在嗎？若存在，請舉出例子；若不存在，請說明理由(1)實部為的虛數(shù)；(2)虛部為的虛數(shù)；(3)虛部為的純

11、虛數(shù)；(4)實部為的純虛數(shù)解答：(1)存在且有無數(shù)個，如i等；(2)存在且不唯一，如1i等；(3)存在且唯一，即i；(4)不存在，因為純虛數(shù)的實部為0.例2實數(shù)m取什么數(shù)值時，復數(shù)zm1(m1)i是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)思路分析：因為mR，所以m1，m1都是實數(shù)由復數(shù)zabi是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的取值解：(1)當m10，即m1時，復數(shù)z是實數(shù)；(2)當m10，即m1時，復數(shù)z是虛數(shù)；(3)當m10，且m10，即m1時，復數(shù)z是純虛數(shù)點評：這是一道鞏固復數(shù)概念的題目，首先要在變化中認識復數(shù)代數(shù)形式的結構，正確判斷復數(shù)的實部和虛部；然后依據(jù)復數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條

12、件，用列方程(或不等式)的方法求出相應的m的取值變式練習已知集合M1,2，(a23a1)(a25a6)i，N1,3，若MN3，則實數(shù)a_.提示：由MN3知，3M，即有(a23a1)(a25a6)i3，所以解得a1.例3已知(2x1)iy(3y)i，其中x，yR，求x，y的值思路分析：根據(jù)兩復數(shù)相等的概念，列出關于x與y的方程組，可求得x，y的值解：根據(jù)復數(shù)相等的定義可得，解得x，y4.點評：根據(jù)兩復數(shù)相等的定義求其中參數(shù)值的問題，應首先將復數(shù)轉化為代數(shù)形式，并確定其實部和虛部，然后利用兩復數(shù)相等的充要條件，即實部和虛部分別相等列出相應的方程組，然后解方程組求出參數(shù)的值變練演編1給出實數(shù)1、1和

13、0，你能構成哪些不同的復數(shù)？2已知復數(shù)z(x25x6)(x22x15)i(xR)，需要添加條件：_，即可求實數(shù)x的值答案：1.可以構成不同的復數(shù)有：1i，10i，1i，10i，i，i；2可以添加的條件很多，如z為實數(shù)，z為虛數(shù)，z為純虛數(shù)，z0，z615i等等達標檢測1下列說法正確的是()實數(shù)是復數(shù)；虛數(shù)是復數(shù)；實數(shù)集和虛數(shù)集的交集不是空集；實數(shù)集與虛數(shù)集的并集等于復數(shù)集A B C D2a0是復數(shù)zabi(a，bR)為純虛數(shù)的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件3復數(shù)43aa2i與復數(shù)a24ai相等，則實數(shù)a的值為()A1 B1或4 C4 D0或44以2

14、i的虛部為實部，以i2i2的實部為虛部的復數(shù)是_答案或提示：1.B2.B3C(提示：由兩復數(shù)相等的條件列出關于a的方程組)422i(提示：先確定兩個已知復數(shù)的實部和虛部，注意：i21)可以先給學生12分鐘的時間默寫本節(jié)的主要基礎知識、方法，例題、題目類型、解題規(guī)律等；然后用精練的、精確的語言概括本節(jié)的知識脈絡、思想方法、解題規(guī)律等1內(nèi)容知識：2解題規(guī)律方法：3思想方法：本節(jié)課的教學設計以問題為驅動，通過不斷提出問題，研究問題，解決問題，使學生回顧舊知識獲得新知識，完成數(shù)系的擴充和復數(shù)概念的教學復數(shù)的概念如果單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，本課時將已有知識和新學知識通過問題鏈設

15、計教學，讓學生體驗已學過的數(shù)集的擴充歷史，體會數(shù)集的擴充是生產(chǎn)實踐的需要，也是數(shù)學學科自身發(fā)展的需要；通過小組合作學習，使學生了解數(shù)的發(fā)展過程和規(guī)律，對各種數(shù)集之間的關系有著比較清晰、完整的認識，從而學生更容易積極主動地建構虛數(shù)的概念、復數(shù)的概念、復數(shù)的分類以及兩復數(shù)相等的條件數(shù)的發(fā)展史數(shù)的概念是從實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實等勞動中，由于計數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1,2,3,4等數(shù)以及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構成自然數(shù)集N.隨著生產(chǎn)和科學的發(fā)展，數(shù)的概念也得到發(fā)展為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數(shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進了負數(shù)這樣就把數(shù)集擴充到有理數(shù)集Q.顯然NQ.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負整數(shù)集合并在一起，構成整數(shù)集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數(shù)看作分母為1的分數(shù)，那么有理數(shù)集實際上就是分數(shù)集有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數(shù)表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數(shù)所謂無理數(shù)，就是無限不循環(huán)小數(shù)有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起，構成實數(shù)