數(shù)值分析第六章學(xué)習(xí)小結(jié)

1、第六章學(xué)習(xí)小結(jié)姓名：張亞杰班級：機(jī)械1505 班學(xué)號： S20150232一、 本章學(xué)習(xí)體會1、在工程實(shí)際中經(jīng)常會遇到一些原函數(shù)難于表出，或者原函數(shù)的表達(dá)式過于復(fù)雜，或者被積函數(shù)以離散的數(shù)值給出，這時本科時學(xué)的牛頓萊布尼茨公式就無法計(jì)算了，本章是基于上述情況給出一個近似求解定積分的計(jì)算方法。2、數(shù)值積分的基本思想是：用簡單函數(shù) P (x) 近似代替被積函數(shù)，然后建立多項(xiàng)式的積分公式，這樣就將積分求值問題轉(zhuǎn)換為了被積函數(shù)數(shù)值的計(jì)算，避開了牛頓萊布尼茨公式需要尋求原函數(shù)的困難。3、數(shù)值積分是數(shù)值逼近的一個重要內(nèi)容，也是插值函數(shù)的一個直接應(yīng)用。4、本章重點(diǎn)是牛頓科特斯求積公式和高斯型求積公式。二、知

2、識構(gòu)圖：求積公式.代數(shù)精度bn一般形式f ( x)dxAk f ( xk ) a x0 x1 Lxn b xk 求積節(jié)點(diǎn) Ak 求積系數(shù)ak 0（ 1）定義如果求積公式 (6.1)當(dāng) f(x)為任何次數(shù)不高于 m 的多項(xiàng)式時都成為等式 ,而當(dāng) f(x)為某個m+1 次多項(xiàng)式時 (6.1) 不能成為等式 ,則稱求積公式 (6.1)具有 m 次代數(shù)精度 .（ 2）判斷方法： 如果求積公式中當(dāng) f(x)為2,L , xm,f(x)為 xm 1時不能成為等式 ,則求積公式 (6.1)1, x, x時都成為等式而當(dāng)具有 m 次代數(shù)精度利用前面的拉格朗日插值公式知識，求積公式中Ak 通過插值基函數(shù)lk (

3、x) 積分求插值型求積牛頓 -科特斯公式出。兩個定理 : 1、 n+1 個節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n 次代數(shù)度2、 n+1 個節(jié)點(diǎn)的求積公式如果至少具有n 次代數(shù)度 ,則它是插值型求積公式。又 稱 等 距 節(jié) 點(diǎn) 的 求 積 公 式 （ 將 區(qū) 間n等 分 ， 步 長h相 等 ）。 形 式 ：bnn knn( 1)(t j )dt 。2、n=1 時是f ( x) (b a )ck(n ) f ( xk ) 其中 Ck( n)ak 0k!( n k)! n 0j 0jk梯形公式n=2 時為拋物線公式。 n=3 時為 Simpon3/8 公式 n=4 時為 Cotes 公式。3、理解并掌握以上

4、四個公式的代數(shù)精度和截?cái)嗾`差。牛頓 -科特斯求積公式當(dāng) n 大于 8時具有不穩(wěn)定性，因此不可能通過提高階數(shù)的方法提高精度，通過將區(qū)間等分，再在每個區(qū)間上用低階公式，這種方稱為復(fù)合復(fù)化求積法求積法。 1、復(fù)化梯形公式一般公式和截?cái)嗾`差，復(fù)化梯形公式收斂具有數(shù)值穩(wěn)定性。 2、復(fù)化 Simpon 公式的一般形式和截?cái)嗾`差，復(fù)化Simpon 公式收斂且具數(shù)有數(shù)值穩(wěn)定性。 3、缺點(diǎn)：當(dāng)精度比較高時計(jì)算量大，為達(dá)到所要求的精度，一值般無法選擇合適的步長。積分bn(x) f (x)dxAk f ( xk ) 這 種 帶權(quán) 積 分 公 式 如果 具 有 2n 1 次 代 數(shù) 精 度， 節(jié) 點(diǎn)定a高k 1義xk

5、( k 0,1,., n) 為高斯點(diǎn)，相應(yīng)的公式為高斯型求積公式。優(yōu)點(diǎn)：使用節(jié)點(diǎn)少精度高斯一般形式：1n) 區(qū)間為 -1,1, 高斯點(diǎn)f ( x ) dxA k f ( x k型高斯 -勒讓德求積公式1k1為勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)求.高斯 -拉蓋爾求積公式積nAk f (xk ) ，區(qū)間為 0,一般形式x，高斯點(diǎn)為e f (x)dx01k拉蓋爾多項(xiàng)式的零點(diǎn)公式高斯 -埃米爾特求積公式高斯 -切比雪夫求積公式一般形式：e x2nAk f ( xk ) ，區(qū)間為, ，高斯f (x)dxk1點(diǎn)為埃米爾特多項(xiàng)式零點(diǎn)。一般形式：1f ( x) dxAk f (xk ) 其中 xk cos2( nk ) 1

6、,n11 x2k 12nAk, k1,2,L , n ，高斯點(diǎn)為切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)。n三、思考題1、牛頓科特斯求積和高斯求積節(jié)點(diǎn)分布有何不同？對同樣數(shù)目的節(jié)點(diǎn)，兩種求法哪種更精確？為什么？答：牛頓科特斯求積時，將積分區(qū)間n 等分，求積節(jié)點(diǎn)是 n 1個等距節(jié)點(diǎn)，高斯求積公式的節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)，一般是不等距點(diǎn)。對于同樣數(shù)目的節(jié)點(diǎn)，高斯型求積公式是代數(shù)精度最高的求積公式，更精確些。2、什么是高斯型求積公式？它的求積節(jié)點(diǎn)是如何確定的？它的代數(shù)精度是多少？為何稱它是具有最高代數(shù)精度的求積公式？答：對于 n 個求積節(jié)點(diǎn)，若求積公式具有2n1次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)的求積公式為高斯型求積公式。插值型求積公式的節(jié)點(diǎn) ax0 x1xn 1 b 是高斯點(diǎn)的充分必要條件是這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式 ITn 的多項(xiàng)式 p(x) 帶權(quán)b0與任何次數(shù)不超過( x) 正交，即p( x) n ( x) (x)dxa高斯型求積公式的代數(shù)精度是2n1， n 個求積節(jié)點(diǎn)的求積公式的代數(shù)精度最高為2n 1次。四、測驗(yàn)題如果 f (x)0 ，證明用梯形公式計(jì)算積分 Ibf (x) 所得的結(jié)果比準(zhǔn)確值I 大，并說明幾何a意義。解：采用梯形公式計(jì)算