中考總復(fù)習(xí)一元二次方程分式方程的解法及應(yīng)用 知識講解提高

1、（提高）中考總復(fù)習(xí)：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用一知識講解【考綱要求】1. 理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2. 會解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題, 從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.【知識網(wǎng)絡(luò)】L般形式直接開平方法ITB式分解法根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系II定義分母含有未知數(shù)的芳複分式萬程廠I思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式專程1 -I方法：兩辺同乘以最簡公分母I F據(jù)：等式的墓禾麗-I注爲(wèi)坯須驗稠gBI列分式方程解應(yīng)用題及在其它學(xué)科中的應(yīng)用I【考點梳理】考點一、一元二次方程1. 一元二次方程的定義只含有一

2、個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式為 ax?+bx中c=O（a豐0）.2. 一元二次方程的解法（1）直接開平方法：把方程變成 X2 =m的形式，當(dāng) m0時，方程的解為 x = jm ；當(dāng)m= 0時, 方程的解Xi2 =0 ;當(dāng)m 0時，它的解為-b Jb2 -4acx =2a(4)因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個一次因式積的形式，使每一個因式等 于零，就得到兩個一元一次方程，分別解這兩個方程，就得到原方程的解.要點詮釋：直接開平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一 般方法.判斷一個方程是不是一元

3、二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一兀 二次方程一般形式中 aHO.用公式法和因式分解的方法解方程時要先化成一般形式.用配方法時二次項系數(shù)要化1.用直接開平方的方法時要記得取正、負(fù).易錯知識辨析：(1)(2)(3)(4)3 一元二次方程根的判別式2 一元二次方程根的判別式為A=b -4ac. 0=方程有兩個不相等的實數(shù)根； = 0=方程有兩個相等的實數(shù)根； 0 U方程有實數(shù)根.如果一兀二次方程 ax? +bx +c =0 (a豐0)的兩個根是cx2 =_a4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系Xi、X 2，那么 X 1 + X 2 = 一 , xia要點詮釋：(1) 對有關(guān)一元二

4、次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為(2) 解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分 解法，再考慮用公式法.2(3) 一元二次方程ax +bx+c=O(a工0)的根的判別式正反都成立利用其可以不解方程判定方 程根的情況；根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；解與根有關(guān)的證明題.(4) 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；已 知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；已知方程兩根，求作以方程兩根或其代 數(shù)式為根的一元二次方程.0.考點二、分式方程1.分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的

5、有理方程，叫做分式方程.要點詮釋：(1) 分式方程的三個重要特征：是方程；含有分母；分母里含有未知量.X的方程一一 2二X和(2) 分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含 有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關(guān)于3711=都是分式方程，而關(guān)于 X的方程一x-2 = x和一+ = d都是整式方程.7- 2 2x + lQb c2. 分式方程的解法去分母法，換元法.3. 解分式方程的一般步驟(1) 去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程；(2) 解這個整式方程；(3) 驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最

6、簡公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡公分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗”.要點詮釋：解分式方程時，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程,可使原方程的分母為零，因此必須驗根.增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母 的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù) 的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根.考點三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用1. 應(yīng)

7、用問題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型數(shù)字問題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關(guān)鍵會表示一個兩位數(shù)或三位數(shù)，對于日歷中的數(shù)字問題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律.(2) 體積變化問題關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3) 打折銷售問題其中的幾個關(guān)系式：利潤=售價 -成本價(進(jìn)價)，利潤率= 利潤 X 100% 成本價明確這幾個關(guān)系式是解決這類問題的關(guān)鍵.(4)關(guān)于兩個或多個未知量的問題重點是尋找到多個等量關(guān)系，使能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.行程問題對于相遇問題和追及問題是列方程解應(yīng)用題的重點問題，也是易出錯的問題，一定要分析其中的特點，同向而行一般是追及冋題，相向而行一般是相遇冋題.注意：追

8、及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇 和、差、倍、分問題增長量=原有量X增長率；現(xiàn)有量=原有量+增長量；現(xiàn)有量=原有量-降低量.2. 解應(yīng)用題的步驟(1) 分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2) 設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù);(3) 找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4) 解方程求出題中未知數(shù)的值；(5) 檢驗所求的答數(shù)是否符合題意，并做答.要點詮釋：方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思 想用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示與數(shù)量有關(guān)的語句的數(shù)學(xué)思想.注意：設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相

9、同；未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹 單位；列方程時，兩邊單位要統(tǒng)一；求出解后要雙檢，既檢驗是否適合方程，還要檢驗是否符合題 意.【典型例題】 類型一、一元二次方程1.閱讀材料:為解方程(X2 -1)2-5(x2 -1) + 4=0，我們可以將X2 -1看作一個整體，然后設(shè)X2 -1 = y ,那么原方程可化為2y -5y + 4=0,解得yi =1 ,y2 =4,X2 T =1，二 X2 =2X = 72 ；當(dāng)y =4時,x2-1=4，兒x2=5，兒x = J5，故原方程的解為 人=4i ,x -42，法達(dá)到了解方程的解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程的過程中，利用 目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)

10、思想;【思路點撥】 此題考查了學(xué)生學(xué)以致用的能力，解題的關(guān)鍵是掌握換元思想. 【答案與解析】(1)換元法;(2)設(shè)X2 = y，那么原方程可化為解得 yi =3 ； y2 = 2當(dāng) y =3時，X2 =3; /. x =忑2當(dāng)y = -2時，x =-2不符合題意,所以原方程的解為 人=43, x-Ta .【總結(jié)升華】應(yīng)用換元法解方程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想舉一反三:【高清課程名稱：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用 關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點名稱)：例3】【變式】設(shè)m是實數(shù)，求關(guān)于x的方程【答案】高清ID號：4057542x -mx3x +m+ 2=0 的根.xi=1,x 2=m+2.已知關(guān)于x的一

11、元二次方程ax2 +bx+1 =0(a h0)有兩個相等的實數(shù)根,的值.【思路點撥】 由于這個方程有兩個相等的實數(shù)根，因此=b2-4a=0,可得出a、b之間的關(guān)系,ab2然后將 一化簡后，用含b的代數(shù)式表示a,即可求出這個分式的值.(a-2) +b -4【答案與解析】2- ax +bx +1 = 0(a H 0)有兩個相等的實數(shù)根,2 2= b -4ac =0，即 b -4a =0 .ab2ab2= ab2-2)2林2-4 a2-4a+4 r2-4 a2-4a+b2 0 ,誓a【總結(jié)升華】本題需要綜合運用分式和一元二次方程來解決問題，考查學(xué)生綜合運用多個知識點解決問題的能力，屬于中等難度的試題

12、，具有一定的區(qū)分度.舉一反三:_ _ 一 2【變式】關(guān)于x的一元二次方程x -3x - k =0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍.(2)請選擇一個k的負(fù)整數(shù)值，并求出方程的根.【答案】(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根,()2 _4(-k) 0.9即 4k9，解得，kA9 .4(2)若k是負(fù)整數(shù)，k只能為一1或一2.如果k= 1，原方程為X2 -3x +1=0 .解得，X1 = 3_V5 , x22(如果k= 2,原方程為2x -3x+2= 0,解得，X1 =1 , X2=2 .)類型二、分式方程【思路點撥】把原方程右邊化為代入原方程求解較為簡單【答案與解析】原方程變?yōu)榻?jīng)檢驗,【總結(jié)升華

13、】是原方程的根.,所以最簡公分母為： ,若采用去分母的通常方法， 運算量較大，可采用上面的方法較好舉一反三: 【變式1】解方程: 【答案】原方程化為方程兩邊通分,化簡得是原方程的根.解得 經(jīng)檢驗:【變式2】解方程:31X2 -6x -4 X2 -6x +5X2 -6x +9【答案】=x2 -6x+5,則原方程可化為:31k +4去分母化簡得：20k2 -147k -1116 =0 (k -12)(20k +93) =0二 k=12, I3當(dāng)k =12時，X2 -6x -7 =0(X 7【x +1 )=0解之得:93時，X2 -6X +5 =2020x2 -120x+193 =0解此方程此方程無

14、解.經(jīng)檢驗：X1 = -1, X2 =7是原分式方程的根9320會產(chǎn)生增根?【思路點撥】 先把原方程化為整式方程，使分母為0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案與解析】方程兩邊都乘以，得10整理，得當(dāng)嗨H1時，兀=揪一 1文踝方程產(chǎn)出謝気 那么X4,即2 2或-2若2,貝IJ- = 2 .5=7 曲-12 _）若x = 2,貝U 1 = 2 一肥=6沁一 1綜上所述，當(dāng)欄=7或6吋，原方程產(chǎn)生増根【總結(jié)升華】分式方程的增根,定是使最簡公分母為零的根舉一反三:【變式】當(dāng)m為何值時，方程A. 2Xm一2藍(lán)二會產(chǎn)生增根（）X-3X-3C. 3D. 3m，去分母得x-2x（x-3）二用，將增根X

15、 = 3代入，得m= 3.B. 1【答案】分式方程 一一2蕓X- 3 X-3所以，當(dāng)m= 3時，原分式方程會產(chǎn)生增根.故選C.類型三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用5 .要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨做則要 超過3天.現(xiàn)在甲、乙兩人合作 2天后，再由乙單獨做，正好按期完成 .問規(guī)定日期是多少天？，工作總量為1.【思路點撥】 設(shè)規(guī)定日期是x天，則甲的工作效率為，乙的工作效率為【答案與解析】設(shè)規(guī)定日期為x天 根據(jù)題意，得 解得經(jīng)檢驗是原方程的根答：規(guī)定日期是6天.【總結(jié)升華】工程問題涉及的量有三個，即每天的工作量、工作的天數(shù)、工作的總量.它們之間的基本關(guān)

16、系是: 工作總量=每天的工作量X工作的天數(shù).舉一反三:高清ID號：405754【高清課程名稱：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例4-例51【變式】據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯 塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的 2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵550毫克所需的國槐樹葉的片數(shù)相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量.【答案1設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克，,卄/曰 1000550由題意得=,2x-40 x解得：x=22 ,經(jīng)檢

17、驗：x=22是原分式方程的解，且符合題意.答：一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22毫克.10天完成，廠家需付乙、丙兩隊工程費共9500元，甲、丙兩隊合做 5天完成全部工程的-，廠家需付3甲、丙兩隊工程費共 5500兀.求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由. 【思路點撥】第一問是工程問題，工程問題中有三個量：工作總量，工作效率，工作時間，這三個量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率X工作時間第二問只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊多少錢，并由第一問求出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工作所需的天數(shù)，即可求出在規(guī)定時間內(nèi)單獨完成此項工程哪個隊花錢最少.【答案與解析】設(shè)甲隊單獨做需X天完成，乙隊單獨做需 y天完成，丙隊單獨做需 2天完成，依題意，得10(+-) = 1,y 5(-+-) =X Z JX XX ,得 一 =.6105 X y ?5一X ，得一=，即 z = 30 ,6 Z 30一X，得一=，即 x = 10 ,10 I 10一X亍得廠，即 y = 15 .15經(jīng)檢驗，設(shè)甲隊做一天廠家需付根據(jù)題意，得6（優(yōu)+ b）=8700, 70+0 = 9刊0,二 5Cc+fl） = 5500.x = 10 ,y = 15 , z = 30是原方程組的解.住元，乙隊