人教版八年級上冊數(shù)學PPT課件 第14章 整式的乘法與因式分解14.2.2完全平方公式

1、 八年級數(shù)學八年級數(shù)學上上 新課標新課標 人人 學習新知學習新知 檢測反饋檢測反饋 第十四章第十四章 整式的乘法與因式分解整式的乘法與因式分解 高菲同學做作業(yè)時,把一滴墨水滴 在一道數(shù)學題上,題目變成了x2 x+1,看 不清x前面的數(shù)字是什么,只知道這個二 次三項式能寫成一個整式的平方,急得她 抓耳撓腮,你能幫助她嗎? 學學 習習 新新 知知 計算(x+a)(x+b). 一、公式的推導 解:(x+a)(x+b) =x2+bx+ax+ab =x2+(a+b)x+ab 1.在(x+a)(x+b)中,若a=b,那么上述 式子將會成為怎樣的式子?計算結(jié) 果是什么? 變?yōu)?x+a)(x+a),計算結(jié)果是

2、 x 2+2ax+a2,即(a+b)2=a2+2ab+b2. 2.這個公式的左邊和右邊各有什么特點? 3.(a+b)2 =a 2 +b 2對嗎?為什么? 兩數(shù)和的平方,結(jié)果應(yīng)該是三項式. 4.你會用(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 計算(a-b)2嗎? 將“-b”看作一個數(shù),將(a-b)2化為 a+(-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2. (a-b)2=a2 -2ab+b2 5.你能用圖形驗證:(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2, (a-b)2=a 2 -2ab+b 2嗎? 在左圖中,大正方形的面積是(a+b)2,它由兩個 小正方形和兩個相同的長方形組成

3、,兩個小正方形 的面積分別是a 2,b 2,長方形的面積是ab.所以有等式 (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2. a+b a+b a b a b a-b a-b a a b b a+b a+b a b a b = (a+b) 2 = a2 + 2ab + + b2+ a-b a-b a a b b = (a-b) 2 =a2 - 2ab - + b2+ 6.比較(a+b)2=a 2+2ab+b 2及(a-b)2 =a 2 -2ab+b 2這兩個公式.它們有什么不同?有 什么聯(lián)系? (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 兩數(shù)和的平方,等于它們的平方和加上 這兩數(shù)積的2倍. (1)運用完

4、全平方公式的關(guān) 鍵在于明確公式的特征:公式的 左邊是兩數(shù)和(或差)的平方,公 式的右邊是一個三項式,是左 邊兩數(shù)的平方和加上(或減去) 左邊兩數(shù)積的2倍. (2)公式中字母的含義:公式中 字母a和b可以是具體的數(shù),也可以 是整式(單項式或多項式).利用 完全平方公式計算多項式的乘法, 最容易漏寫2ab項,實際運算中要 特別注意.完全平方公式與平方 差公式聯(lián)合使用,要嚴格分清公式 的各自特點,以防混淆. (3)逆用完全平方公式為: a2 +2ab+b2=(a+b)2 , a2-2ab+b2=(a-b)2,把三項式 寫成了積的形式,這是后面要 學習的因式分解. 例例1 運用完全平方公式計算運用完全

5、平方公式計算. (1)(4m+n)2; 2 1 (2) 2 y 解解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2(4m)n+n2 =16m2 +8mn+n2. 2 2 2 2 1 (2) 2 11 2 22 1 . 4 y yy yy 例2 運用完全平方公式計算. (1)1022 ;(2)992 . (2)992=(100-1)2 =1002 -21001+12 =10000-200+1=9801. (1)1022=(100+2)2 =1002 +21002+22 =10000+400+4=10404. 現(xiàn)有下圖所示三種規(guī)格的卡片各若干張現(xiàn)有下圖所示三種規(guī)格的卡片各若干張, ,請請 你根據(jù)二次三項式

6、你根據(jù)二次三項式a2 +2ab+b2, ,選取相應(yīng)種類選取相應(yīng)種類 和數(shù)量的卡片和數(shù)量的卡片, ,嘗試拼成一個正方形嘗試拼成一個正方形, ,并討并討 論該正方形的代數(shù)意義論該正方形的代數(shù)意義. . (a+b)2與(-a-b)2相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相 等嗎?(a-b)2與a 2-b 2相等嗎?為什么? 運用乘法公式計算,有時要在式子中添 括號,在第二章中,我們學過去括號法則,即 a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b-c. 反過來,就得到添括號法 則:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c). 添添括號時括號時, ,如果括號前面是正號如果括號前面是正號,

7、,括括 到括號里的各項都不變符號到括號里的各項都不變符號; ;如果括號如果括號 前面是負號前面是負號, ,括到括號里的各項都改變括到括號里的各項都改變 符號符號. . 說明 (1)添括號法則與去括號法則是一致 的,添括號正確與否,可用去括號進行 檢驗. (2)添括號時,如果括號前面是負號,那 么括到括號里的各項都改變符號,不 能只改變部分項的符號. 知識拓展 解解:(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=x+(2y-3)x-(2y-3) =x2 -(2y-3)2=x2-(4y2 -12y+9)=x2-4y2+12y-9. (2)(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+

8、c2 =a2 +2ab+b2 +2ac+2bc+c2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc. 例3.運用乘法公式計算. (1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)2. 一些本來不是二項式的式子的平方 也可以利用完全平方公式來計算,關(guān)鍵是 使其轉(zhuǎn)化為二項式的平方,如計算 (a+b+c)2,可以把這個代數(shù)式轉(zhuǎn)化為 a+(b+c)2或(a+b)+c2,把b+c或a+b看 做是一個整體(一個字母),也可以把這個 式子轉(zhuǎn)化為(a+c)+b2.實際操作時要看 怎樣做最有利于計算. 完全平方公式是進行整式乘法的重要 工具,它的結(jié)構(gòu)形式具有對稱性,兩個公式都 叫做完全平方公式,

9、前面的一個叫做和的完 全平方公式,后面的一個叫做差的完全平方 公式.判斷一個式子能不能用完全平方公式 展開,主要看它的結(jié)構(gòu)形式是否符合公式要 求,習慣上把(ab)2 中的a叫做前項,b叫做后 項,記憶時巧記為“首平方,末平方,首末兩倍 中間放”. 知識小結(jié) 2.添括號 添括號時,如果括號前面是正號, 括到括號里的各項都不變符號;如果括 號前面是負號,括到括號里的各項都改 變符號. 應(yīng)用時,主要關(guān)注兩點:一是關(guān)注括 號前面的符號是正號還是負號;二是對 照添括號前和后符號該不該改變. 3.運用完全平方公式還應(yīng)注意以下幾點運用完全平方公式還應(yīng)注意以下幾點: 切勿把完全平方公式與公式切勿把完全平方公式

10、與公式(ab)2 =a2b2 相混淆相混淆,或隨意寫成或隨意寫成(a+b)2 =a2 +b2; 切勿把切勿把“乘積項乘積項”2ab中的中的2丟掉丟掉; 計算時計算時,要先觀察題目特點要先觀察題目特點,看是否符合看是否符合 公式的條件公式的條件,若不符合若不符合,應(yīng)先變形為符合公應(yīng)先變形為符合公 式的形式式的形式,再利用公式進行計算再利用公式進行計算,若不能變?nèi)舨荒茏?為符合公式的形式為符合公式的形式,則應(yīng)運用乘法法則則應(yīng)運用乘法法則進進 行行計算計算. 1.下列計算正確的是() A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.

11、(-x+y)2=x2-2xy+y2 檢測反饋檢測反饋 解析:A.(x+y)2=x2+2xy+y2,故本選項錯誤; B.(x-y)2=x2-2xy+y2,故本選項錯誤; C.(x+2y)(x-2y)=x2- 4y2,故本選項錯誤; D.(-x+y)2=(x-y)2=x2-2xy+y2,故本選項正確. D D2.在下列各式中,與(a-b)2一定相等的是 () A.a2+2ab+b2 B.a2-b2 C.a2+b2 D.a2-2ab+b2 解析:(a-b)2=a2-2ab+b2. 3.(x+y+z)2=()2+2y()+y2,兩個括 號內(nèi)應(yīng)填 () A.x+yB.y+z C.x+zD.x+y+z 解

12、析:(x+y+z)2=(x+z)2+2y(x+z) +y2. C 4.計算. (1)(a+6)2; (2)(b-5)2; (3)(-2a+5)2; (4)(ab+1)(ab-1); (5)(2a-3b)(3b+2a); (6)(-2b-5)(2b-5); (7)(2a+5b)2; (8)(4a-3b)2; (9)(-2a-1)2. 解析: (1)(7)(9) 根據(jù)和的完全 平方公式可得 答案;(2)(3)(8) 根據(jù)差的平方 等于平方和減 積的二倍可得 答案;(4)(5)(6) 根據(jù)平方差公 式可得答案. 解: (1)原式=a2+12a+36. (2)原式=b2-10b+25. (3)原式=4a2-20a+25. (4)原式=(ab)2-1=a2b2-1. (5)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (6)原式=(-5)2-(2b)2=25