2019-2020學年高中人教A版數(shù)學選修2-2學案：2.1.2　演繹推理 含解析

1、祝學子學業(yè)有成，取得好成績2。1。2演繹推理q在生活中,我們常常會遇到這樣一些判斷：人生病要吃藥，小明生病了，因此，小明要吃藥；摩擦生熱,冬天雙手互相摩擦，手就不冷了;任意四邊形的內(nèi)角和為360，梯形是四邊形，因此梯形的內(nèi)角和是360，這些推理都是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的，與前一節(jié)所學的合情推理不同，這屬于另一種推理-演繹推理x1演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理2演繹推理與合情推理的主要區(qū)別與聯(lián)系(1)合情推理與演繹推理的主要區(qū)別：歸納和類比都是常用的合情推理,從推理形式上看,歸納是由部分

2、到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理;而演繹推理是由一般到特殊的推理從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確,有待于進一步的證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確（2）就數(shù)學而言，演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程,但數(shù)學結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理因此，我們不僅要學會證明，更要學會猜想3三段論(1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括:大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷.其一般推理形式為大前提：m是p.小前提：s是m.結(jié)論:s是p。(2）利用集合知識說明“三段論”:若

3、集合m的所有元素都具有性質(zhì)p,s是m的一個子集，那么s中所有元素也都具有性質(zhì)p.4其他演繹推理形式（1）假言推理：“若pq,p真，則q真”（2)關(guān)系推理：“若arb，brc,則arc”r表示一種傳遞性關(guān)系，如ab，bcac，ab,bcac等注：假言推理、關(guān)系推理在新課標中未給定義，但這種推理形式是經(jīng)常見到的,為表述記憶方便，我們也一塊給出，以供學生擴展知識面（3）完全歸納推理是把所有可能的情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則y1關(guān)于下面推理結(jié)論的錯誤：“因為對數(shù)函數(shù)ylogax是增函數(shù)（大前提），又ylogx是對數(shù)函數(shù)(小前提），所以ylogx是增函數(shù)（結(jié)論)”下列說法正確的是(a）a大前提錯誤導致結(jié)

4、論錯誤b小前提錯誤導致結(jié)論錯誤c推理形式錯誤導致結(jié)論錯誤d大前提和小前提都錯誤導致結(jié)論錯誤解析大前提錯誤,因為對數(shù)函數(shù)ylogax(0a1)是減函數(shù)，故選a2“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù),故某奇數(shù)是3的倍數(shù)上述推理是(a）a完全正確b推理形式不正確c錯誤，因為大小前提不一致d錯誤,因為大前提錯誤3給出下列結(jié)論：演繹推理的特征為，前提為真時,結(jié)論一定為真演繹推理的特征為,前提為真時，結(jié)論可能為真由合情推理得到的結(jié)論一定為真演繹推理和合情推理都可以用于證明合情推理不能用于證明，演繹推理可用于證明其中正確結(jié)論的序號為.h命題方向1三段論推理模式的理解與應用典例1將下列演繹推理改寫為三

5、段論推理的形式，并注明大前提、小前提、結(jié)論(1）函數(shù)f（x)x4的圖象關(guān)于y軸對稱;(2)所有的奇數(shù)都不能被4整除，所以23不能被4整除;（3）通項公式為an3n1的數(shù)列an是等差數(shù)列思路分析分析各個命題，明確它們的大前提、小前提、結(jié)論，若有省略，則應補齊，然后再改寫為三段論模式解析（1)所有偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，大前提函數(shù)f（x）x4是偶函數(shù)，小前提所以函數(shù)f（x)x4的圖象關(guān)于y軸對稱結(jié)論（2）所有的奇數(shù)都不能被4整除，大前提23是奇數(shù)，小前提所以23不能被4整除結(jié)論(3）在數(shù)列an中，如果當n2時,anan1為同一個常數(shù)，那么an為等差數(shù)列,大前提通項公式為an3n1的數(shù)列an中，當

6、n2時,anan13n13（n1）13為常數(shù)，小前提所以通項公式為an3n1的數(shù)列an是等差數(shù)列結(jié)論規(guī)律總結(jié)用三段論寫演繹推理的過程時,關(guān)鍵是明確其中的大前提、小前提、結(jié)論，其中大前提是指一般性的原理，一般都是省略不寫的；小前提指出了一種特殊情況，有時也是省略的，大小前提結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系,得到結(jié)論跟蹤練習1將下列演繹推理改寫為三段論推理的形式，并注明大前提、小前提、結(jié)論（1）直角三角形的內(nèi)角和等于180;（2）三角函數(shù)是周期函數(shù),ytanx是三角函數(shù),所以ytanx是周期函數(shù);(3）在數(shù)列an中,an34n，則數(shù)列an是等比數(shù)列解析(1）因為所有三角形的內(nèi)角和都等于

7、180，大前提直角三角形是三角形，小前提所以直角三角形的內(nèi)角和等于180。結(jié)論（2)因為所有三角函數(shù)都是周期函數(shù)，大前提ytanx是三角函數(shù)，小前提所以ytanx是周期函數(shù)結(jié)論(3）如果在數(shù)列an中，q(q是與n無關(guān)的常數(shù)），那么an是等比數(shù)列，大前提數(shù)列an當an34n時，4，小前提所以數(shù)列an是等比數(shù)列結(jié)論命題方向2演繹推理在幾何證明中的應用典例2已知平面平面，直線l,la,如圖所示,求證：l.思路分析本題可由線面垂直的定義證明l.解析在平面內(nèi)任取一條直線b,平面是經(jīng)過點a與直線b的平面設a.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行，大前提，且a,b，小前提所以ab。結(jié)論如

8、果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，大前提l，a，小前提所以la.結(jié)論如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它也與另一條垂直，大前提ab，且la，小前提所以lb。結(jié)論如果一條直線和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直，大前提因為lb，且直線b是平面內(nèi)的任意一條直線，小前提所以l.結(jié)論規(guī)律總結(jié)在幾何推理過程中，多數(shù)情況采用的都是三段論推理模式，其中大前提通常是：兩個三角形全等、相似的判定定理，線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理,面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理等，因此都可以省略不寫.跟蹤練習2用三段論證明，并指出每一步推理的大前提和

9、小前提如圖所示，在銳角abc中，adbc，beac，d，e是垂足證明：ab的中點m到d、e的距離相等證明(1）有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,大前提在abc中，adbc，即adb90，小前提abd是直角三角形結(jié)論同理，aeb也是直角三角形（2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，大前提而m是rtabd斜邊ab的中點，dm是斜邊上的中線，小前提dmab結(jié)論同理，emabdmem。x用三段論證明代數(shù)題典例3（2019菏澤高二檢測)已知a，函數(shù)f(x）ax,若實數(shù)m，n滿足f（m）f(n），則m，n的大小關(guān)系是mn.解析當0a0,f（x）是r上的偶函數(shù)(1)求a的值；(2)證明：f（x）在（

10、0，)上為增函數(shù)解析(1)因為f(x)是r上的偶函數(shù)，所以對一切xr，都有f（x）f(x），即aex，整理得(a)(ex）0對一切xr恒成立因ex不恒為0,故a0，所以a1。又a0，所以a1。（2)任取x1，x2(0，）且x1x2.則f（x1）f（x2)ex1ex2（ex2ex1)（1)ex1（ex2x11）.因為x10，x20且x11，1ex2+x10，所以f(x1)f（x2)0，即f（x1）f（x2)，故f（x）在（0，）上是增函數(shù)y三段論推理中大（小）前提錯誤致誤典例4如圖，已知s為abc所在平面外一點，sa平面abc，平面sab平面sbc求證：abbc錯因分析在立體幾何中，線面平行、垂

11、直等位置關(guān)系的證明基本都是演繹推理三段論的過程，而這是一個難點，也是易錯點，其中主要的錯誤在于搞錯大前提，有時甚至隨意編造有關(guān)定理作為大前提，從而導致錯誤正解證明：如圖，過點a作直線aesb于點e，因為平面sab平面sbc，且交線為sb,所以ae平面sbc又bc平面sbc，所以bcae.因為sa平面abc，所以sabc又aesaa，所以bc平面sab所以bcab，即abbc點評演繹推理的主要形式是由大前提、小前提、結(jié)論構(gòu)成的三段論,它是一種必然性推理，其前提與結(jié)論之間有蘊涵關(guān)系因而，只有演繹推理的前提是真實的，推理形式是正確的,結(jié)論才是真實的，錯誤的前提必定導致錯誤的結(jié)論k1“四邊形abcd為矩形，四邊形abcd的對角線相等”，以上推理省略的大前提為（b）a正方形都是對角線相等的四邊形b矩形都是對角線相等的四邊形c等腰梯形都是對角線相等的四邊形d矩形都是對邊平行且相等的四邊形2（2019秦州區(qū)校級三模）下面是一段演繹推理：如果直線平行于平面，則這條直線平行于平面內(nèi)的所有直線；已知直線b平面,直線a平面;所以直線b直線a，在這個推理中（d)a大前提正確，結(jié)論錯誤b小前提與結(jié)論都是錯誤的c大、小前提正確，只有結(jié)論錯誤d大前提錯誤，結(jié)論錯誤解析直線平行