帶根號(hào)的函數(shù)最值問(wèn)題

1、-精選文檔 -帶根號(hào)的函數(shù)最值問(wèn)題數(shù)學(xué)中， 求函數(shù)最值本身是一塊很難很重要的內(nèi)容。當(dāng)函數(shù)解析式中出現(xiàn)根號(hào)的時(shí)候，難度會(huì)加大。這里，就高中范圍內(nèi)出現(xiàn)的帶根號(hào)的函數(shù)最值問(wèn)題小小地總結(jié)一下。1. 單調(diào)性一致情況yx2x1（x 1,2 ）分析：這個(gè)函數(shù)，分成兩部分。x 是增的，2x1 也是增的。這個(gè)函數(shù)yx2x1 在定義域上單調(diào)增于是，最大值最小值就在端點(diǎn)時(shí)取到。ymin 13, ymax252. 單調(diào)性不一致的根號(hào)中一次項(xiàng)情況y x1 x (x 0,1)分析：?jiǎn)握{(diào)性不一致，首先考慮換元法令1x =t(t0,1),x=1-t 2ymax3 , ymin 143根號(hào)中出現(xiàn)二次項(xiàng)情況y xx2 1 （ x

2、-1,1 ）分析：?jiǎn)握{(diào)性很難判斷。這時(shí)候首先考慮換元法方法一 ：三角換元可編輯-精選文檔 -我們知道，三角函數(shù) cos 、 sin 的范圍本身就是 -1,1 ，代入以后可以一可以用三角公式進(jìn)行運(yùn)算，開(kāi)闊思路，二則去掉根號(hào)，簡(jiǎn)化運(yùn)算。設(shè) x= cos,這里為了確定范圍，不失一般性，設(shè)0, ,利用 1-cos2=sin 2,去掉根號(hào)很方便。y xx21cossin2 sin()4值域就是 1,2方法二： 移項(xiàng)平方這是我們自初中以來(lái)所謂的去根號(hào)的最“喜歡”的方法。但有時(shí)候，它是那么的吃力不討好。yxx21yxx21兩邊平方y(tǒng)22xyx2x21注意到這里平方的條件是 yx2x 22 yxy210由于

3、x 存在，判別式大于等于 0V 4 y2 8( y21)84 y20y2,2但要注意到，yx，于是有y-1y1,2方法三： 求導(dǎo)求導(dǎo)屬于暴力流，但是往往是在你絕望的時(shí)候唯一能抓的稻草。本文大部分題目可以用求導(dǎo)解決?？删庉?精選文檔 -yxx21y 1xx21令 y0解得 x 1,2 ，不過(guò)這個(gè)過(guò)程頗為艱辛2于是易得y1,24. 雙根號(hào)明顯數(shù)形結(jié)合的情況yx21( x4)216 求最小值分析： 明顯可以看作兩點(diǎn)間距離公式類型。這類題難度不大。但要注意，當(dāng)括號(hào)內(nèi)平方是展開(kāi)狀況的時(shí)候，要學(xué)會(huì)主動(dòng)去配方發(fā)現(xiàn)?？醋鼽c(diǎn)（ x,0 ）到點(diǎn)（ 0,1 ）和 (4,4) 兩點(diǎn)距離之和如圖，在AC 線段上顯然最小

4、。即取x=1 時(shí)，有ymin5可編輯-精選文檔 -5. 涉及圓錐曲線定義情況(x5)2y2( x5)2y26分析：這類題就是很典型的圓錐曲線定義x2y2y 的范圍就很清晰這里，雙曲線1的右半支，即為題設(shè)。那么這里916y(,)題目也可以考x 的范圍，那就是3,)6. 較難的圓錐曲線思路。yxx24x3分析：導(dǎo)數(shù)自然可以嘗試， 換元法是有些不方便。這里介紹一種圓錐曲線數(shù)形結(jié)合的解法，我們這里把坐標(biāo)系看作橫軸 x 軸，縱軸p 軸 ,，至于 y 就看作常數(shù)。yxx24x3看成兩個(gè)曲線的交點(diǎn)第一個(gè)曲線是p=xy ，第二條曲線是p=x24x3第一條曲線就是斜率為-1 的，縱截距為y 的一條直線第二條曲線

5、，進(jìn)行一定化簡(jiǎn)px24x3p2x24x3p2( x 2) 21即 (x2) 2p21可編輯-精選文檔 -這事實(shí)上就是一條雙曲線，只是中心是（2 ， 0 ）那我們把漸近線也畫出來(lái)。這里漸近線的斜率也是-1 ，那么對(duì)于直線p=xy ,結(jié)合圖像可知，縱截距y 的范圍是1,2)3,)7. 三個(gè)根號(hào)構(gòu)造向量情況y(2a)2(1 b) 2(32a)2(23b)2(3a)2(32b) 2 求最小值可編輯-精選文檔 -注意到 2a,32a,3a 的和是定值 81 b,23b,32b 的和為 6那么，看作 (2a,1b),(32a,23b),(3a,32b)三個(gè)向量，（或者是點(diǎn)），畫個(gè)草圖最小值即為108. 三

6、個(gè)根號(hào)內(nèi)部一次單調(diào)性不一致情況yx2713xx分析：這是一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題。難度頗大。首先，最大值是可以用柯西不等式求得,我們考慮消去x，并且取到等號(hào)y2( x 27 3(13 x) 2x)(111)32y11ymax11,當(dāng)且僅當(dāng) x=9 時(shí)取等號(hào)可編輯-精選文檔 -求最小值的歷程比較痛苦，求導(dǎo)似乎可以一試這里考慮將后面兩個(gè)根號(hào)合并yx2713xxyx27132x(13 x)x=0時(shí)兩個(gè)根號(hào)同時(shí)取到最小值ymin3 3139. 總結(jié)解決該類帶根號(hào)的函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，一般是按以下順序考慮（1 ）。單調(diào)性（2 ）。數(shù)形結(jié)合（3 ）。換元（包括三角換元）（4 ）。求導(dǎo)（5 ）。移項(xiàng)平方判別式（少用！ ）（6 ）。創(chuàng)新思路：分母有理化