函數(shù)的極限與微分

1、26十. 函數(shù)的極限與微分現(xiàn)在定義函數(shù)在點沿的極限 ：給出一個小的標(biāo)準(zhǔn)，存在另一個小的標(biāo)準(zhǔn)，使每當(dāng)小時（即及時）也小（即）注意必先給出一個小的標(biāo)準(zhǔn)，才能找到另一個小的標(biāo)準(zhǔn)如果，我們說沿在上連續(xù)（continuous）設(shè)，如果變動而可以不依賴于，我們說沿在上均勻連續(xù)（uniformly continuous）；如果變動而可以不依賴于，我們說沿在上等度連續(xù)（equi-continuous） 類于序列的極限公式仍成立： 保線性：； 保乘： ； 保除：， 上面代表我們視覺或興趣的范圍如果，我們將略去“沿”；如果，我們以代；如果，我們以代 例：求 解：仿第九節(jié)的例做，得，但得先證（為常數(shù)）及，給出一個小

2、的標(biāo)準(zhǔn)，我們想找另一個小的標(biāo)準(zhǔn)，使每當(dāng)時， ， （1）即 ， （2）即 （3）故取 ，便得預(yù)期的結(jié)果： 極限研討“接近”，但“接近”的具體化要由目的或感覺來決定例如接近一個人要經(jīng)過圍墻或關(guān)卡，都會有近在咫尺，遠在天涯的感覺；近在咫尺，指的是日常用的歐幾里得距離；遠在天涯，指的是實際上的距離同樣，兩人擦身而過，歐幾里得距離曾是零，感覺上的距離卻可以超過千里上面的定義正表示由轉(zhuǎn)為時，與的接近度，需由與的接近度來表示；總可以小于，能否大于，得由變換來決定！ 例：， 在上連續(xù)：給，則 在上不均勻連續(xù)：取或任意任取，我們只須找及，使，且取，則及 在上不等度連續(xù)：取或任意任取，我們只須找，使，且取，則及

3、*警報：本節(jié)下面非計算的部分較深為增強連續(xù)的直覺，我們將證明： 連續(xù)中值定理：設(shè)沿在上各點連續(xù)，（）且 ，（）則存在使，從而（ 證明：設(shè)，并考慮 ，則 依的定義，存在，使，且各因在上連續(xù)， ，從而 反設(shè)取因在上連續(xù)，故存在正實數(shù)，使 取，則，從而 =，與的定義矛盾，故，且證畢 為聯(lián)系序列及函數(shù)的極限，請做習(xí)題：設(shè)，是上的實值函數(shù)，則等價： ； 對所有收斂于的實數(shù)序列，有 ； 對所有收斂于的真正單調(diào)實數(shù)序列，有 習(xí)題：在上定理中，證明： 沿在上有界且均勻連續(xù)（提示：可用開覆蓋定理證明）， 存在使對任意的， 給出函數(shù),例如 , (4)這里,的定義域是，的值域是 回顧函數(shù)的定義,知在上取兩點,則線段

4、叫做的割線(secant)，它的斜率是，（永遠不等于當(dāng)（趨近于0），如果趨近于一個實數(shù)，我們便以來表示這個數(shù)，并叫為在點上的微分（derivative）經(jīng)而斜率為的直線叫在點的切線（tangent）將切線平行移動，使它過原點，得微分形(式)(differential form)： 有時我們用代： 以（4）為例：因 ， 故 ， 從而 （相當(dāng)于） 例：求在的微分形及切線 解：如上得 代，得 = 故在的微分形為經(jīng)，斜率為的切線方程為 ，或 ，或 解畢 注意：如果代表時間，代表一個物體在時的位置，則 是物體從到的平均速度；為物體在的瞬間速度（instantaneous velocity） 微分的觀念由

5、牛頓（Issacc Newton：1642-1727）及萊布尼茲（GottfriedWilhelm von Leibniz：1646-1716）發(fā)明當(dāng)時物理學(xué)，尤其是力學(xué)，發(fā)展得很快，牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律時二十五歲左右，他想開宇宙的門；萊布尼茲二十歲時獲法律博士學(xué)位，他想發(fā)展形上學(xué)至可以計算游子情作者嘆息道，我們的學(xué)者在二十五歲時多半還沒學(xué)完乖請看游子情，特別是淵明部分第七十四回：經(jīng)驗與科學(xué) 在上面“時距”的解析中，如果我們再微分，那么便叫做在點的瞬間(或瞬時）加速度例： 距離： ，（已知）速度： ，加速度： 例：給出 ，求 ， 解： ( (為免時，誤得） = （用 =故 = =一般地，故當(dāng)相

6、當(dāng)小時，因此（及其他的理由），淵明反對用公式來學(xué)開方例：估計解：考慮，并令，則由得 與計算器報出的“四舍五入”數(shù)相同解畢 一般地說，給出冪函數(shù)： ， 當(dāng)時，可用歸納法證 例：給出，則 如果我們能將上面的 “物”或“東西”化，那么，最小的東西便不存在希臘哲人曾經(jīng)相信有最小的東西，并叫它們?yōu)樵?atom)游子情記子青談物：一九一三年波爾（Niels Henrik David Bohr：1885-1962；1922年獲諾貝爾獎）為極小的東西制模，叫它們做原子；但不久，更小的東西陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)，而且至今還不能確定有沒有最小的物質(zhì)觀念上，牛頓視為動態(tài)的小東西，向0逼近；萊布尼茲則可能當(dāng)為靜態(tài)的無限小，為后

7、來的非標(biāo)準(zhǔn)分析（nonstandard analysis）開路一方面，牛頓的微積分可以用來簡化及推廣傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中所面對的某些極限問題；另一方面,游子情里提到的開普勒（Johannes Kepler：1571）及他的老師柏拉希（Brahe Tycho：15461）幾十年觀察所得的三條行星運動規(guī)則也可以用微分、自由落體定律及牛頓第二定律推出來由此知數(shù)學(xué)很受物理影響，這種情況因社會及生物科學(xué)的發(fā)展已有所改變，例如可以代表某工廠生產(chǎn)某物數(shù)量的收益，這樣，便代表點上的“邊際收益”：收益關(guān)于生產(chǎn)數(shù)量的變率(rate of change)讀者應(yīng)在這方面仔細觀察、學(xué)問、學(xué)答 現(xiàn)在我們將介紹微分公式 設(shè) ，存在，

8、為實數(shù)，則在點上， 甲. 線性： , 乙. 合成（連鎖）法則： ， 丙. 積 , 丁. 商 讓我們證明乙：給正實數(shù)，存在正實數(shù)，使 ， 及 ，從而 .證畢 注意：如果存在，則在點連續(xù)：給出收斂于的真正單調(diào)序列，則 ，從而 ，即 證畢為增加微分的幾何感覺，我們證明微分中值定理：設(shè)在沿連續(xù)，且在存在：，則有，使證明：注意是通過兩點的的割線的斜率幾何上，我們要證明里至少有一點，使是在點上切線的斜率，即平行于；直覺上非常明顯，然而證明卻不簡單 特殊情況：所尋的點滿足；它使我們根據(jù)粗圖想到：的值極大或極小，至少在點附近如此不妨設(shè)在內(nèi)不是常數(shù)函數(shù)，否則，因在上連續(xù)，有使,給出在的極小值或極大值：，因，,之

9、一屬于，記作不妨設(shè)： 可設(shè)各大于：由各得又可設(shè)各小于：由各得故 一般情況： 為利用特殊情況，我們考慮 ，并要求，則因在存在，沿在上連續(xù)，且，從而由上面特殊的情況知有，使，即 ，或 證畢習(xí)題：如果在上恒等于零，則存在實數(shù)，使在上恒等于，從而如果在上的微分存在且相等，則有實數(shù)，使 ，（直覺上，“平行”，距離為） 例：給出人口（種口、）的變化率與成正比： ，是常數(shù)由及連鎖法則知 故由前習(xí)題知存在常數(shù)，使 ，即 以表，得 當(dāng)時，以“指數(shù)速度”下降，到一定程度時，必須移民或鼓勵多生；當(dāng)時，以“指數(shù)速度”上升，到一定程度時，必須鼓勵少生或 人口可以改為物，因放射某物質(zhì)而退化；這時，而我們可以用“放射”測出

10、萬物的起源減至部分所需的時間滿足，從而或，即 我們已知以年為單位，碳的，人去世以后碳開始退化；若退化至一般的一半，那么，即已去世 年 設(shè)及是從到內(nèi)的函數(shù)如果 ，我們說在上，(真正地)遞升(increasing) non-decreasing或(真正地)升；如果(真正地)遞升，我們說在上，(真正地)遞降(decreasing) non-increasing)或(真正地)降 命題：設(shè)在區(qū)間上存在，且大（?。┯诹悖瑒t在區(qū)間上真正地升（降） 證明：任取，且，則由微分中值定理知存在，使 ，從而由得 證畢命題：設(shè)在區(qū)間上存在，且 大（小）于零， ，則對 （5） 證明：誘導(dǎo)出在上的函數(shù)： ，在上存在，且 及

11、 故在上真正地升（降），從而取，則由微分中值定理知存在，使： 同理，存在，使 由上二式得 ，即 ， 即 此即我們想證的不等式（5）！證畢注意上面的是在上的表示！又注意通過上作線垂直于軸，則交割線于（5）說在上（下）方如果（5）成立，我們說在上凸（凹）如果上面的不等號全部改為，則可省略形容詞“真正地”，而得凸凹的定義及結(jié)果命題：(逆函數(shù)微分）設(shè)在上連續(xù)及真正地升（降），存在，且，則在上存在，且 證明：不妨設(shè)真正地升，并取，使，則由連續(xù)中值定理知給出內(nèi)收斂于的真正單調(diào)序列，只須證明 存在，且等于 ；不然，則存在正實數(shù)及的子序列，使 （6）因，故存在內(nèi)的序列，使各 ，從而由（6）得 （7）因真正地升

12、（降），真正地升（降），從而由各知存在，使 因在上連續(xù)， ，從而現(xiàn)在（6）中左邊取極限，得 ，矛盾證畢 例：畫的圖，其中 畫： ， 甲.（度升降）正零負(fù)零正真正升極大真正降極小真正升注意上面在的極大(極小)是局部的：存在，使在上， 乙.（度凸凹）負(fù)零正真正凹拐點真正凸 丙.（度身）0246(重根）03216 0截(距)極大拐點極小 丁. 在拐點的切線： ，即 ，即 截：080 戊.在拐點的切線： ， 即 ，即 截：0690可視為量度的改良，使圖象由瘦長轉(zhuǎn)為豐勻例：畫的圖，其中 ，是實數(shù)， ， ， （真正地升） ，表示 時真正地凸，時真正地凹度身：0220注意 即故只需討論兩半面及之一，（叫的右

13、漸近線asymptote） （叫的左漸近線）例：菁青住新房，造新窗，定為長方形，周邊特貴，周長受經(jīng)濟力限制，定為她想窗面積大，以便早上開窗時，陽光能盡快瀉入，讓自己能輕快地挺胸張手呼吸新氣，一天無怨學(xué)問：長與寬各應(yīng)多少？學(xué)答：窗面積 ，其中故 ，從而 ， （真正地凹）度升降：正零負(fù)真正升極大真正降故應(yīng)取 ，即造正方形的窗，面積為 菁青忽然想到圓窗：面積，為半經(jīng)，圓周故 ，“大”于方窗 菁青一時動情，改念造圓窗窗未造，她已在玄想躺在床上向窗外眺望，感覺她與“他”一塊兒坐輪船，游運河，自窗口內(nèi)外眺望岸邊陽光穿林評：愿神州兒女都是這般浪漫，一如先秦時菁青上報，長者拒方、拒圓,斥她漠視傳統(tǒng)她不服,提議

14、窗頂改為半圓： 從而 ， ， ， （真正凹）度升降：正 零負(fù)真正升極大真正降 對應(yīng)的： ；對應(yīng)的：(表示特殊的接近，實用上是允許的 ，大于方窗而小于園窗若開半園窗，則 ， ，小于方窗 長者嘆道：“你總是不肯收性做人，這窗象碑，不吉利在半園下及長方上間加橫杠，就這么決定！”這樣， ，而面積的表示式不變菁青重算，得 ，對應(yīng)的面積略遜于方，留給讀者計算由此可見設(shè)計時，實用、藝術(shù)與傳統(tǒng)，顧此失彼解畢 我們將介紹一大批性質(zhì)良好的函數(shù)-實數(shù)冪級數(shù)（power series）： （各）命題：給出復(fù)數(shù)冪級數(shù) （8） 并設(shè) ，（這里，） （9）則 在上絕對收斂；令，則在上均勻收斂證明： 因 ,從而由柯西收斂判別

15、法則知 絕對收斂取，則存在正整數(shù)，使 ，從而在上，當(dāng)時， 因，均勻收斂于答畢上面的稱為冪級數(shù)（8）的收斂半徑命題：給出實冪級數(shù) ， 其中是收斂半徑，則 ，證明：不妨以換而改由九節(jié)（32）知 ， （10）的收斂半徑相等，故取使，則（10）中的兩級數(shù)在上均勻收斂取，則 ，從而 取，則 ，其中 給正實數(shù)，取及，則 ，從而 ，即 所以 證畢命題：設(shè)，則各 證明：取得逐項微分，再取得用數(shù)學(xué)歸納法繼續(xù)微分及取得各證畢 注意如果，而各，則上級數(shù)為次多項式函數(shù)（polynomial function）易證： 命題：設(shè) ， 則各存在，且 到此，我們知道冪級數(shù)所代表的函數(shù)各階微分存在，且可以為中心唯一地展開當(dāng)然，

16、函數(shù)與冪級數(shù)可以只在一部分區(qū)域相等，例如與在處相等；當(dāng)時，不再收斂，卻安然無恙：總是實數(shù)如果讀者心細，便已在字里行間聞到些氣息：我們曾強調(diào)實數(shù)域的序有“最小上界性質(zhì)”，卻沒有提到怎樣制造實數(shù)域現(xiàn)在我們將描述制造實數(shù)域的藍圖：由自然正整數(shù)集出發(fā)，通過負(fù)數(shù)或環(huán)的概念造整數(shù)環(huán)，然后造分?jǐn)?shù)，并定義加、乘及序于上，使合小學(xué)老師所教：及從制造的辦法至少有二：一是利用秩序，將一分為二：，如果有最大元素或有最小元素，我們便視為；如果無最大元素及無最小元素，那么，我們便得一新實數(shù)；叫做的戴德金（Richard Dedekind：1831-1916）分割；實數(shù)集是所有這些分割所構(gòu)成的集另一是利用距離視為諸所生成的

17、集，其中是內(nèi)的柯西序列，而 是內(nèi)的柯西序列，且當(dāng)收斂于時，我們視，否則我們獲得一個新實數(shù)乍看與是截然不同的怪物，藏擠在有理數(shù)的小縫里，但怪或不怪都無關(guān)緊要，因為我們注重的不是個體而是包括這些個體的集合的結(jié)構(gòu)：適當(dāng)?shù)囟x加、乘及序后，我們便能尋覓到一個一對一的函數(shù)，從一個實數(shù)集到另一個實數(shù)集上，使它保運算及次序：，不辯和，則實數(shù)域唯一地存在當(dāng)我們?nèi)缟蠌母鞂崝?shù)域，便發(fā)現(xiàn)對普羅大眾來說，世界本是剪不斷、理還亂，常見的許多結(jié)果并不容易證明，指數(shù)定律只是其中的一束為面對這洪荒大地，有人寧愿用冪級數(shù)來開講，而將定義為，定義為 ， ， ，其中當(dāng)然，我們?nèi)匀灰鎸ψC明指數(shù)定律等結(jié)果的困難：但由于“已知”與

18、“求證”的命題清晰，每次有所得，都有柳暗花明又一村的感覺，包括發(fā)現(xiàn)，其中例：證明 ， 證明：逐項微分，得 令，則由逆函數(shù)微分公式，得 證畢 學(xué)問： 學(xué)答：時，設(shè)，則 （） （） （連續(xù)） （） 許多極限的結(jié)果都可以通過微分及冪函數(shù)獲得，并擴延至復(fù)數(shù)函數(shù)，成為數(shù)學(xué)王國中的一支學(xué)問： 學(xué)答：由想到微分兩次，從而考慮幾何級數(shù)： ，逐項微分兩次，得 代，得 答畢As of Microsoft Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your Web pages using visual filters and tra

19、nsitions. You can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. By combining filters and transitions with basic scripting,

20、you can create visually engaging and interactive documents.Internet Explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. Click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheProcedural surfaces are colored surfaces that display between the content of an object and the objects background. Procedural surfaces define each pixels RGB color and alpha values dynamically.