小學奧數(shù)——乘法原理與加法原理

1、乘法原理與加法原理在日常生活中常常會遇到這樣一些問題， 就是在做一件事時， 要分幾步才能完成， 而在完成每一步時，又有幾種不同的方法， 要知道完成這件事一共有多少種方法， 就用我們將討論的乘法原理來解決例如某人要從北京到大連拿一份資料， 之后再到天津開會 其中，他從北京到大連可以乘長途汽車、火車或飛機，而他從大連到天津卻只想乘船那么，他從北京經(jīng)大連到天津共有多少種不同的走法？分析這個問題發(fā)現(xiàn)，某人從北京到天津要分兩步走第一步是從北京到大連，可以有三種走法，即：第二步是從大連到天津，只選擇乘船這一種走法，所以他從北京到天津共有下面的三種走法：3 1=3如果此人到大連后，可以乘船或飛機到天津，那么

2、他從北京到天津則有以下的走法：共有六種走法，注意到32=6在上面討論問題的過程中， 我們把所有可能的辦法一一列舉出來 這種方法叫窮舉法 窮舉法對于討論方法數(shù)不太多的問題是很有效的在上面的例子中， 完成一件事要分兩個步驟 由窮舉法得到的結(jié)論看到， 用第一步所有的可能方法數(shù)乘以第二步所有的可能方法數(shù)，就是完成這件事所有的方法數(shù)一般地，如果完成一件事需要?個步驟，其中，做第一步有 ?1 種不同的方法，做第二步有 ?2 種不同的方法， ，做第 ?步有 ?種不同的方法， 那么，完成這件事一共有?= ?1?2?種不同的方法這就是乘法原理例 1. 某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一

3、種，共有多少種不同的買法？補充說明：由例題可以看出， 乘法原理運用的范圍是： 這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成；每個步驟各有若干種不同的方法來完成這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題例 2.右圖中有 7 個點和十條線段， 一只甲蟲要從 A 點沿著線段爬到 B 點，要求任何線段和點不得重復(fù)經(jīng)過問：這只甲蟲最多有幾種不同的走法？例 3.書架上有 6 本不同的外語書， 4 本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少種不同的取法？例 4. 王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報名參加學校運動會的跳遠、跳高、 100 米跑、 200 米跑四項中的一項比賽，問：報名的結(jié)果會出現(xiàn)多少種不同的情形？

4、例 5.由數(shù)字 0、1、2、3 組成三位數(shù)，問：可組成多少個不相等的三位數(shù)？可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析 在確定由 0、1、2、3 組成的三位數(shù)的過程中，應(yīng)該一位一位地去確定所以，每個問題都可以看成是分三個步驟來完成要求組成不相等的三位數(shù)所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取0，故有 3 種不同的取法；十位上，可以在四個數(shù)字中任取一個，有4 種不同的取法；個位上，也有4 種不同的取法 .要求組成的三位數(shù)中沒有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能取0，有 3 種不同的取法；十位上，由于百位已在 1、2、3 中取走一個，故只剩下0 和其余兩個數(shù)字，故有3 種取法；個位上，由于百位和十位已各取走一個數(shù)字

5、，故只能在剩下的兩個數(shù)字中取，有2 種取法例 6.由數(shù)字 1、2、3、4、5、6 共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？分析 要組成四位數(shù)，需一位一位地確定各個數(shù)位上的數(shù)字，即分四步完成，由于要求組成的數(shù)是奇數(shù)，故個位上只有能取 1、3、5 中的一個，有 3 種不同的取法；十位上，可以從余下的五個數(shù)字中取一個，有 5 種取法；百位上有 4 種取法；千位上有 3 種取法，故可由乘法原理解決例 7.右圖中共有 16 個方格，要把 A、B、C、D 四個不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個棋子問：共有多少種不同的放法？分析 由于四個棋子要一個一個地放入方格內(nèi) 故可看成是分四步完成這件事 第一

6、步放棋子 A，A 可以放在 16 個方格中的任意一個中，故有 16 種不同的放法；第二步放棋子 B，由于 A 已放定，那么放 A 的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也不能放 B，故還剩下 9 個方格可以放 B， B 有 9 種放法；第三步放 C，再去掉 B 所在的行和列的方格，還剩下四個方格可以放 C，C 有 4 種放法；最后一步放 D，再去掉 C 所在的行和列的方格，只剩下一個方格可以放D， D 有 1 種放法，本題要由乘法原理解決例 8.現(xiàn)有一角的人民幣 4 張，貳角的人民幣 2 張，壹元的人民幣 3 張，如果從中至少取一張，至多取 9 張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？分析 要從三種面值的

7、人民幣中任取幾張，構(gòu)成一個錢數(shù)，需一步一步地來做如先取一角的，再取貳角的，最后取壹元的但注意到，取 2 張一角的人民幣和取 1 張貳角的人民幣，得到的錢數(shù)是相同的這就會產(chǎn)生重復(fù)， 如何解決這一問題呢？我們可以把壹角的人民幣 4 張和貳角的人民幣 2 張統(tǒng)一起來考慮即從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種分析知，共可以組成從壹角到捌角間的任何一種面值，共 8 種情況（即取兩張壹角的人民幣與取一張貳角的人民幣是一種情況；取 4 張壹角的人民幣與取 2 張貳角的人民幣是一種情況 ）這樣一來，可以把它們看成是 8 張壹角的人民幣整個問題就變成了從 8 張壹角的人民幣和 3 張壹元的人民幣中分別取

8、錢這樣，第一步，從 8 張壹角的人民幣中?。坏诙?，從 3 張壹元的人民幣中取共 4 種取法，即 0、1、2、3但要注意，要求“至少取一張” .生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決例如 某人從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有 4 趟長途汽車從北京到天津那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個問題發(fā)現(xiàn)，此人去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有 5 種走法，如果乘長途汽車，有 4 種走法上面

9、的每一種走法都可以從北京到天津，故共有 5+4=9 種不同的走法在上面的問題中， 完成一件事有兩大類不同的方法 在具體做的時候， 只要采用一類中的一種方法就可以完成 并且兩大類方法是互無影響的， 那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)一般地，如果完成一件事有?類方法，第一類方法中有?1 種不同做法，第二類方法中有?2種不同做法，第 ?類方法中有 ?種不同的做法，則完成這件事共有種?= ?1 + ?2 + ?+ ?不同的方法這就是加法原理例 1. 學校組織讀書活動，要求每個同學讀一本書小明到圖書館借書時，圖書館有不同的外語書 150 本，不同的科技書 200 本，不同的

10、小說 100 本那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？例 2.一個口袋內(nèi)裝有 3 個小球，另一個口袋內(nèi)裝有 8 個小球，所有這些小球顏色各不相同問：從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？補充說明：由本題應(yīng)注意加法原理和乘法原理的區(qū)別及使用范圍的不同， 乘法原理中，做完一件事要分成若干個步驟，一步接一步地去做才能完成這件事； 加法原理中，做完一件事可以有幾類方法，每一類方法中的一種做法都可以完成這件事事實上，往往有許多事情是有幾大類方法來做的， 而每一類方法又要由幾步來完成， 這就要熟悉加法原理和乘法原理的內(nèi)容，綜合使用這兩個原理例 3.

11、如右圖，從甲地到乙地有 4 條路可走，從乙地到丙地有 2 條路可走，從甲地到丙地有 3 條路可走那么，從甲地到丙地共有多少種走法？分析 從甲地到丙地共有兩大類不同的走法第一類，由甲地途經(jīng)乙地到丙地第二類，由甲地直接到丙地例 4.如下頁圖，一只小甲蟲要從 A 點出發(fā)沿著線段爬到 B 點，要求任何點和線段不可重復(fù)經(jīng)過問：這只甲蟲有多少種不同的走法？分析 從 A 點 到 B 點有兩類走法，一類是從 A 點先經(jīng)過 C 點到 B 點，一類是從 A 點先經(jīng)過 D 點到 B 點兩類中的每一種具體走法都要分兩步完成，所以每一類中，都要用乘法原理，而最后計算從 A 到 B 的全部走法時，只要用加法原理求和即可例

12、 5.有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？分析 要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮例 6.從 1 到 500 的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4 的自然數(shù)有多少個？分析 從 1 到 500 的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含4 的有 8 個，它們是 1、2、3、5、6、7、8、9；要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理要確定一個三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個

13、位數(shù)，應(yīng)用乘法原理補充說明：這道題也可以這樣想： 把一位數(shù)看成是前面有兩個0 的三位數(shù)，如：把 1 看成是 001把兩位數(shù)看成是前面有一個0 的三位數(shù)如：把11 看成 011那么所有的從1 到 500 的自然數(shù)都可以看成是“三位數(shù)”，除去 500 外，考慮不含有4 的這樣的“三位數(shù)” 百位上，有 0、 1、 2、 3 這四種選法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、 9 這九種選法；個位上，也有九種選法所以，除500外，有 4 9 9=324 個不含 4 的“三位數(shù)”注意到，這里面有一個數(shù)是000，應(yīng)該去掉而500 還沒有算進去，應(yīng)該加進去所以，從 1 到 500 中，不含 4 的自然數(shù)

14、仍有324 個這是一種特殊的思考問題的方法，注意到當我們對“三位數(shù)”重新給予規(guī)定之后，問題很簡捷地得到解決例 7.如圖，要從 A 點沿線段走到 B，要求每一步都是向右、 向上或者向斜上方 問有多少種不同的走法？分析 觀察下頁左圖，注意到，從A 到 B 要一直向右、向上，那么，經(jīng)過下頁右圖中 C、D、E、F 四點中的某一點的路線一定不再經(jīng)過其他的點也就是說從A 到 B點的路線共分為四類，它們是分別經(jīng)過C、D、E、F 的路線自我檢測1.某罪犯要從甲地途經(jīng)乙地和丙地逃到丁地，現(xiàn)在知道從甲地到乙地有3 條路可以走，從乙地到丙地有2 條路可以走，從丙地到丁地有4 條路可以走問，罪犯共有多少種逃走的方法？

15、2. 如右圖，在三條平行線上分別有一個點，四個點，三個點（且不在同一條直線上的三個點不共線）在每條直線上各取一個點，可以畫出一個三角形問：一共可以畫出多少個這樣的三角形？3. 在自然數(shù)中，用兩位數(shù)做被減數(shù)，用一位數(shù)做減數(shù)共可以組成多少個不同的減法算式？4. 一個籃球隊，五名隊員 A 、B、C、 D、 E，由于某種原因， C 不能做中鋒，而其余四人可以分配到五個位置的任何一個上問：共有多少種不同的站位方法？5. 由數(shù)字 1、 2、 3、4、5、6、 7、 8 可組成多少個三位數(shù)？三位偶數(shù)？沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？百位為8 的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？百位為8 的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？6.某市的電話號碼是六位數(shù)的，首位不能是0，其余各位數(shù)上可以是0 9 中的任何一個，并且不同位上的數(shù)字可以重復(fù)那么，這個城市最多可容納多少部電話機？1. 如右圖，從甲地到乙