2020-2021學年高中數(shù)學 第三章 三角恒等變換單元素養(yǎng)評價新人教A版必修4

1、2020-2021學年高中數(shù)學 第三章 三角恒等變換單元素養(yǎng)評價新人教a版必修42020-2021學年高中數(shù)學 第三章 三角恒等變換單元素養(yǎng)評價新人教a版必修4年級：姓名：單元素養(yǎng)評價(三)(第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.函數(shù)y=2cos2+1的最小正周期是()a.4b.2c.d.【解析】選b.因為y=2cos2+1=+2=cos x+2,所以函數(shù)的最小正周期t=2.2.(2020長春高一檢測)已知sin =,cos =,則tan等于()a.2- b.2+c.-2 d.(-2)【解析】選c.因為sin =,cos =,所以tan =-2.3.若3sin x

2、-cos x=2sin(x+),(-,),則等于()a.-b.c.d.-【解析】選a.3sin x-cos x=2=2sin.又(-,),所以=-.4.(2020紹興高一檢測)已知角的頂點在坐標原點o,始邊與x軸的非負半軸重合,將的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(3,4),則tan =()a.-7b.-c.d.7【解析】選a.根據(jù)題意tan=,tan=,所以tan =-7.5.(2019全國卷)函數(shù)f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零點個數(shù)為()a.2b.3c.4d.5【解析】選b.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos

3、 x)=0,則sin x=0或cos x=1,又x0,2,所以x=0,2,共三個零點.6.若(0,),且cos +sin =-,則cos 2=()a.b.-c.-d.【解析】選a.因為cos +sin =-,(0,),所以sin 2=-,cos 0,且,所以2,所以cos 2=.7.=()a.b.-c.-1d.1【解析】選b.原式=-=-=-=-.8.(2020珠海高一檢測)在abc中,已知tan=sin c,則abc的形狀為()a.正三角形b.等腰三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形【解析】選c.在abc中,tan=sin c=sin(a+b)=2sincos,所以2cos2=1,所以co

4、s(a+b)=0,從而a+b=,即abc為直角三角形.9.已知0,點p(1,4)為角的終邊上一點,且sin sin+cos cos=,則角=()a.b.c.d.【解析】選d.因為p(1,4),所以|op|=7(o為坐標原點),所以sin =,cos =.又sin cos -cos sin =,所以sin(-)=.因為0,所以0-,所以cos(-)=,所以sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=-=.因為0,所以=.10.已知0,又sin =,cos(+)=-,則sin 等于()a.0b.0或c.d.【解析】選c.因為0且sin =,cos(+)=-,所以cos =

5、,+0,故sin =.11.(2020廣州高一檢測)已知函數(shù)f(x)=sin,若方程f(x)=的解為x1,x2(0x1x2),則sin(x1-x2)=()a.-b.-c.-d.-【解題指南】由已知可得x2=-x1,結(jié)合x1x2求出x1的范圍,再由sin(x1-x2)=sin=-cos求解即可.【解析】選d.因為方程f(x)=的解為x1,x2(0x1x2),所以=,所以x2=-x1,所以sin(x1-x2)=sin=-cos.因為x1x2,x2=-x1,所以0x1,所以2x1-,所以由f(x1)=sin=,得cos=,所以sin(x1-x2)=-.12.已知不等式f(x)=3sincos+cos

6、2-m0對于任意的-x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()a.mb.mc.m-d.-m【解析】選a.f(x)=3sincos+cos2-m=sin+cos-m,=sin-m0,所以msin,因為-x,所以-+,所以-sin,所以m.二、填空題(每小題5分,共20分)13.若函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2x+m在區(qū)間上的最大值為6,則m=.【解析】f(x)=sin 2x+2cos2x+m=sin 2x+1+cos 2x+m=2sin+m+1,因為0x,所以2x+.所以當2x+=,即x=時,f(x)max=2+m+1=6,所以m=3.答案:314.tan+tan+tantan+的值是.【解析】

7、因為tan=tan=,所以=tan+tan+tan-tan.答案:15.(2020臨汾高一檢測)若sin +2cos =-(0),則cos=.【解析】由sin +2cos =-(0)可知,為鈍角,又sin2+cos2=1,可得sin =,cos =-,所以sin 2=2sin cos =-,cos 2=cos2-sin2=-,所以cos=cos 2cos -sin 2sin=.答案:16.關(guān)于函數(shù)f(x)=cos+cos,則下列命題:y=f(x)的最大值為;y=f(x)的最小正周期是;y=f(x)在區(qū)間上是減函數(shù);將函數(shù)y=cos 2x的圖象向右平移個單位后,將與已知函數(shù)的圖象重合.其中正確命

8、題的序號是.【解析】f(x)=cos+cos=cos+sin=cos-sin=cos=cos,所以y=f(x)的最大值為,最小正周期為,故、正確.又當x時,2x-0,所以y=f(x)在上是減函數(shù),故正確.由得y=cos 2=cos,故正確.答案:三、解答題(共70分)17.(10分)(1)求值:.(2)已知sin +2cos =0,求的值.【解析】(1)原式=2+.(2)由sin +2cos =0,得sin =-2cos ,又cos 0,則tan =-2,所以=.18.(12分)已知sinsin=,且,求tan 4的值.【解析】因為sin=sin=cos,則已知條件可化為sincos=,即si

9、n=,所以sin=,所以cos 2=.因為,所以2(,2),從而sin 2=-=-,所以tan 2=-2,故tan 4=-=.19.(12分)(2020晉中高一檢測)設(shè)向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x.(1)若|a|=|b|,求x的值.(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ab,求f(x)的最大值.【解析】(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x,從而sin x=,所以x=.(2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x

10、+=sin+,又x,所以當x=時,sin取得最大值為1,所以f(x)的最大值為.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x)-.(1)若0,且sin =,求f()的值.(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】方法一:(1)因為0,sin =,所以cos =.所以f()=-=.(2)因為f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin,所以t=.由2k-2x+2k+,kz,得k-xk+,kz.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,kz.方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin

11、 2x+cos 2x=sin.(1)因為0,sin =,所以=.從而f()=sin=sin =.(2)t=.由2k-2x+2k+,kz,得k-xk+,kz.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,kz.21. (12分)如圖所示,已知的終邊所在直線上的一點p的坐標為(-3,4),的終邊在第一象限且與單位圓的交點q的縱坐標為.(1)求tan(2-)的值.(2)若,0,求+.【解析】(1)由三角函數(shù)的定義知tan =-,所以tan 2=.又由三角函數(shù)線知sin =.因為為第一象限角,所以tan =,所以tan(2-)=.(2)因為cos =-,0,所以+.因為sin(+)=sin cos +cos sin =-=.又因為+,所以+=.22.(12分)如圖,四邊形abcd是邊長為10的正方形,以點a為圓心,9為半徑畫弧,分別交ab、ad于點e,f,p為上一動點,過點p分別作pmbc,pncd,垂足分別為m,n,求矩形pmcn的面積的最小值.【解析】連接pa,設(shè)pae=,如圖所示.設(shè)矩形pmcn的面積為s,延長np交ab于點h,則pm=hb=ab