數(shù)據包絡分析(DEA)方法87427

1、數(shù)據包絡分析（DEA）方法數(shù)據包絡分析（data envelopment analysis, DEA）是由著名運籌學家 Charnes, Cooper 和 Rhodes 于 1978年提出的，它以相對效率概念為基礎，以凸分析和線性規(guī)劃為工具，計算比較具有相同類型的決策 單元（Decision making unit，DMU）之間的相對效率，依此對評價對象做出評價口。DEA方法一出現(xiàn)，就以其獨特的優(yōu)勢而受到眾多學者的青睞，現(xiàn)已被應用于各個領域的績效評價中2,3。在介紹DEA方法的原理之前，先介紹幾個基本概念：1. 決策單元一個經濟系統(tǒng)或一個生產過程都可以看成是一個單位（或一個部門）在一定可能范圍

2、內，通過投入一定數(shù)量的生產要素并產出一定數(shù)量的產品”的活動。雖然這種活動的具體內容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動取得最大的效益”。由于從 投入”到產出”需要經過一系列決策才能實現(xiàn)，或者說，由于產出”是決策的結果，所以這樣的單位（或部門）被稱為決策單元（DMU）。因此，可以認為，每個DMU（第i 個DMU常記作DMUi）都表現(xiàn)出一定的經濟意義，它的基本特點是具有一定的投入和產出，并且將投入轉化成產出的過程中，努力實現(xiàn)自身的決策目標。在許多情況下，我們對多個同類型的 DMU更感興趣。所謂同類型的DMU，是指具有以下三個特征的DMU集合：具有相同的目標和任務；具有相同的外部環(huán)境；具有相同的

3、投入和產出指標 。2. 生產可能集設某個DMU在一項經濟（生產）活動中有m項投入，寫成向量形式為，山,xm）T ；產出有s項，寫 成向量形式為y =（% ,IH, ys）T。于是我們可以用（x,y）來表示這個DMU的整個生產活動。定義1.稱集合T二（x,y）|產出y能用投入x生產出來為所有可能的生產活動構成的生產可能集。在使用DEA方法時，一般假設生產可能集 T滿足下面四條公理：公理1（平凡公理）:區(qū)*）T, j =1, 2 JH, n。公理2（凸性公理）:集合T為凸集。如果區(qū)y） T, j =1, 2,川，n,且存在 _0滿足: Jj=1 則（；Xj, ； 土“） T。公理3（無效性公理）:

4、若x, y 三T ,?_x, ?乞y,則（X, y） T。,公理4 （錐性公理）:集合T為錐。如果x, yT那么（kx,ky）wT對任意的k .0。 若生產可能集T是所有滿足公理1 , 2,3和4的最小者，則T有如下的唯一表示形式 n n 1T 二 x,y , Xj j _x, v yj j _y, j _0 , j = 1,2 ,川，n 。j仝j仝3. 技術有效與規(guī)模收益（1）技術有效：對于任意的（x, y）T,若不存在y .y ,且（x, y）.二T,則稱（x, y）T為技術有效的生 產活動。（2）規(guī)模收益：將產出和投入的同期相對變化比值k二/丄稱為規(guī)模效益。若k 1，說明規(guī)模收益y x遞

5、增，這時可以考慮增大投入；若k ：1，說明規(guī)模收益遞減，這時可以考慮減小投入；若k=1，說明規(guī) 模收益不變，且稱為規(guī)模有效。（一）DEA方法原理與 CCR模型DEA方法的基本原理是：設有n個決策單元DMUj（j =1,2,川，n），它們的投入，產出向量分別為：Xj =（xj,x2j,Hi,Xmj）T 0,，Yj=（y1j,y2j,l）l,ysj）T A0, j=1川,n。由于在生產過程中各種投入和產出的地位與作用各不相同，因此，要對DMU個投入總體和一個產出總體的生產過程進行評價，必須對它的投入和產出進行綜合”，即把它們看作只有，這樣就需要賦予每個投入和產出恰當?shù)臋嘀?。假設投入、產出= （U1

6、,U2,IH,Us）t，從而就可以獲得如下的定義。的權向量分別為v =（W ,V2,|H, Vm）T和usUTY- J uryrj定義2.稱q =丄=vTXjvj L ViXiji =i根據定義可知，我們總可以選取適當?shù)臋嘞蛄渴沟霉M1。如果想了解某個決策單元，假設為,（j =1,2，川n）為第j個決策單元DMU j的效率評價指數(shù)。DMU。（o 1,2, |l|, n）在這n個決策單元中相對是不是最優(yōu)的，可以考察當u和v盡可能地變化時，乙的最大值究竟為多少？為了測得乙的值，Charnes等人于1978年提出了如下的CCR（三位作者名字首字母縮 寫）模型:7 UrYroMaximize =二7

7、VXi。i 4sUrYrjr 1subject to _i,j 二1,2,川，n,(1)7 VjXji Ur _0,w _0, -r,i.利用 Charnes和 Cooper (1962)提出的分式規(guī)劃的 Charnes-Cooper 變換：t=1/送 :VXo ,斗二tur,(r =1JH,s) r i =tvi,(i =1H,m)變換后我們可以得到如下的線性規(guī)劃模型sMaximize Jyro =乙，r仝msubject to 7 jXio =1,i -Xsm二- yd7. :Xij :SO, j =1,l|,n,r 土i 土J, r -0, r =1,川,s; i =1,|,m.根據線性

8、規(guī)劃的相關基本理論，可知模型的對偶問題表達形式M ini m i z 或nsubj ect t6門圳吒二 o ,oX = 1i, 211, ,mj士nX Yrj j - y r,o r = 1, 2| s ,j 土j _0, j = 1, 211 n,.上述的模型是基于所有決策單元中最優(yōu)”的決策單元作為參照對象，從而求得的相對效率都是小于等于1的。模型(2)或者(3)將被求解n次，每次即得一個決策單元的相對效率。模型(3)的經濟含義是：為了評價DMUo(o，1,2,|l|,n)的績效，可以用一組假想的組合決策單元與其進行比較。模型(3)的第一和第二個約束條件的右端項分別是這個組合決策單元的投入

9、和產出。從而，模型(3)意味著，如果所求出的效率最優(yōu)值小于1，則表明可以找到這樣一個假想的決策單元，它可以用少于被評價決策單元的投入來獲取不少于該單元的產出，即表明被評價的決策單元為非 DEA有效。而當效率值為1時，決策單元為 DEA有 效。有關DEA有效根據松弛變量是否都為零還可以進一步分為弱DEA有效與DEA有效兩類。即通過考察如下模型中的sP =1川m)與Sr (r=1,Hl,s)的值來判別。msMinimize- C s_ Sr )i 4r 4nsubject to % j s- cXo, i T,川，mj 1n yrj，j -Sr = yro , r =1,川，sj 4j,si_,s

10、 _0, -i,j,r.其中；為非阿基米德無窮小量。根據上述模型給出被評價決策單元DMUo (o 1,2,|l|,n)有效性的定義:定義3.若模型(4)的最優(yōu)解滿足-1，則稱DMU0為弱DEA有效。定義4.若模型(4)的最優(yōu)解滿足=1，且有s=0,尋=0成立，貝U稱DMUo為DEA有效。定義5.若模型(4)的最優(yōu)解滿足*701，則稱DMUo為非DEA有效。對于非DEA有效的決策單元，有三種方式可以將決策單元改進為有效決策單元：保持產出不變，減少投入；保持投入不變增大產出；減小投入的同時也增大產出。CCR模型容許DMU在減小投入的同時也增加產出。對于CCR模型，可以通過如下投影的方式將其投向效率

11、前沿面，從而投影所得的點投入產出組合即為DEA有效。* * * *?o 二 HXio - Si Xio -(1 - =o)Xio - Si Xio ,i =1,l|,mgo yro Sr yro, r =1,l 11, S上述投影所得值與原始投入產出值之間的差異即為被評價決策單元欲達到有效應改善的數(shù)值，設投入的變化量為Lxio ,產出的變化量為Lyro :* *hi。=Xi Xo =xg (厲為。一$一)，i =1,，mI yro y?ro - yro (yro Sr ) _ yro , r 二1,S.(二) BCC模型CCR模型是假設生產過程屬于屬于固定規(guī)模收益，即當投入量以等比例增加時，產

12、出量應以等比增加。然而實際的生產過程亦可能屬于規(guī)模報酬遞增或者規(guī)模報酬遞減的狀態(tài)。為了分析決策單元的規(guī)模報酬變化情況，Banker, Charnes與Cooper以生產可能集的四個公理以及Shepard距離函數(shù)為基礎在1984年提出了一個可變規(guī)模收益的模型，后來被稱為BCC的模型5。線性形式的BCC模型可表示為：sMaximize 、 y -u。，r msubject t。 f x。=1,i 仝(5)smv 4yrj、iXj u。遼0, j =1,111, n, r Xi 1.T,r _0, r =1,l(|,s; i =l,|,m.含松弛變量形式的BCC對偶模型msMaximizeSi 工

13、Sr)i Ar 4nsubject to 送州尙 +s_=30, i =1,lH,mj 二n7 yrj j -SrTr。，r =1,川,S(6)j生n.工 /.j =1j生j,sSr -0, _i, j,r其中；為非阿基米德無窮小量。根據BCC模型中的u。的取值大小，Banker和Thrall(1992)提出如下判別方法來判斷模型的規(guī)模收益。定理16.假設含有投入產出組合(x。)的DMUo是有效的，那么下面的條件可以判別模型之下DMU0的規(guī)模收益:(i) 對于投入產出組合(Xo, y。)規(guī)模收益不變當且僅當在某個最優(yōu)解情況下有u。=0 ；(ii) 對于投入產出組合(xo, yo)規(guī)模收益遞增當

14、且僅當在所有最優(yōu)解情況下都有u。： 0 ；(iii) 對于投入產出組合(x。，)規(guī)模收益遞減當且僅當在所有最優(yōu)解情況下都有u0 0。其中u0代表模型(5)中的最優(yōu)解。該定理的證明參見文獻6。CCR模型或者BCC模型計算出來的效率可能存在多個效率值為1的情形，為了進一步區(qū)分這些有效決策單元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以及雙前沿數(shù)據包絡分析模型。下面依次做個簡單 介紹。(三) 超效率模型CCR模型在計算效率值時，經常會出現(xiàn)多個有效的決策單元(效率值為1)的情形，從而使得有效決策單元之間無法進行比較分析。Andersen和Petersen (1993)為了實現(xiàn)決策單元的完全排序，將被評價的

15、決策單元從效率邊界中剔除，以剩余的決策單元為基礎，形成新的效率邊界，計算剔除的決策單元到新的效率邊界的距離。由于剔除的決策單元不被效率邊界所包圍，對于有效的決策單元而言，其計算出來的新效率值就會大于1，而對于無效的決策單元而言，其所得的效率值不變，仍小于1，從而使得全體決策單元可以實現(xiàn)完全排序。由于有效的決策單元效率大于1，從而就有了超效率(Super-efficiency) 的 概念?；贑CR模型的超效率 DEA模型為：Mi ni mize vnsubject to 遲 x 初蘭日x。，i =1,2,|(|,m,j j ：onyrj 門-yr。，r = 1,2, 1( | , S, j 1

16、 j Rj _o, j 尸。.Banker和Chang(2006) 8證實了超效率極易受離群值的影響，因此該方法可以用來檢測數(shù)據集中是否存在 離群值。(四) 交叉效率模型為了解決DEA有效決策單元的排序和比較問題，Sexton等人(1986) 9提出了交叉效率評價的概念 。所謂交叉效率評價就是每個DMU分別確定一組輸入輸出權重，供所有的DMUs評價使用，其中：用DMU自身確定的權重評價自己的效率 ，稱為自我評價效率；用其它DMU確定的權重評價自己的效率 ， 稱為交叉效率或同行評價效率 。以表5 1為例，交叉效率評價的實質是對每個DMU同時進行自評和同行評價，這樣不僅考慮 DMU自評的最好相對效

17、率，而且還考慮了 DMU同行評價給出的交叉效率，利用 自我評價和交叉效率的平均值作為衡量DMU績效的綜合指標，該指標不僅較好地解決了 DMUs間排序和比較問題，而且解決了 CCR模型由于輸入輸出權重不一致性導致的不可比較問題。Sexton等人(1986)通過引入二級目標來確定輸入輸出權重、消除權重的不唯一性。隨后Doyle和Green(1994,1995) 10,11從同行評價的角度解釋了交叉效率的含義，并給出了后來的到廣泛引用的二級目標函數(shù)-攻擊型計算方式和仁慈型計算方式，下面兩個模型依次為攻擊型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型：表5 1交叉效率示意表決策單元交叉效率算術平均值12 n112

18、3n1nj ”1jn j 一2223n1 L nj 4嗆 n j n丸1斗2Hnn Jnjn j -攻擊型交叉效率模型sMinimize urkr 土mSubject to Vki 士n瓦 yrj t 士* 丿n、E Xj =1, 士式丿sm瓦 Urkk 瓦 VXik =0r也i 土(8)sm Urkyrj- J MkXij E0,j =1川,n; j -k, r空i 士Urk -0, r =1,川，s,vik _0, i =1川，m.仁慈型交叉效率模型MaximizeSubject tosi nUrk . yrjr 士 ,壬j鼻 Jf、mnL VkLXij=1,i y# 丿s Urk ykr

19、 1m-氐VXik =0,i =1sm二 Urkyrj二 VikXij =0,j =1川，n;j=k,r 1i出Urk -0, r =1川,s,Vik -0, i =1川，m.然而，至今仍無一個準則來判別什么情況下使用攻擊型或者是仁慈型。為了避免目標函數(shù)選擇上的兩難， Wang和Chin (2010a) 12提出了一種中性交叉效率模型。其模型形式如下所示Maximize、=Mi ni mize r 芒，ll|，sUro yroi _1Vjo Xiosubject to*000sr 丄U ro y rom天 i 1 Vo Xozsrd遷Uro _0,Vio -0,Uroyrj,1, j =1,川

20、，n; j =0,-Vo Xjr =1JH,s,=1,|,m.(10)利用 Charnes-Cooper的變換公式，可得中性交叉效率模型的線性模型Maximize 、.msubject to 送 Vo XT,i 土s7 Ur。ro -二。，r 土smZ Uroyd-Z VoXj 蘭0, j =1,11),n;j Ho,(11)r 土i 1Uro Xo 0, r =1| I, S,Vo -0,i =1,川，m.、.一 0.交叉效率模型還有其他一些改進方式，例如：Liang等人(2008a) 13年提出了 3個可供選擇的二級目標計算方式；Liang等人(2008b) 14將非合作博弈理論與交叉效率

21、評價方法結合起來，提出了博弈交叉效率的概念，并設計了算法求解博弈交叉效率值，同時證明了該博弈交叉效率值即為納什均衡點；Wang和Chin (2010b) 15提出了一些可選擇性交叉效率評價模型 引入有序加權平均算子 (Ordered weighted averagi ng 好，尤其是對不合理的交叉效率評價值賦予較小的權重 趣的讀者可以進一步參閱其他有關交叉效率的相關論文；Wang和Chin(2011) 16在交叉效率的研究中率先operator , OWA)，很好的體現(xiàn)了決策者的各種偏，從而使得最終的評價結果更為科學合理。有興(五) 幾何平均效率模型為了區(qū)分有效決策單元的排序難問題，Wang等

22、人(2007)17于2007提出了悲觀效率模型，并將其與樂觀效率模型相結合，提出了基于幾何平均值的雙前面數(shù)據包絡分析方法。基于悲觀前沿面的數(shù)據包絡分析模型為：sMinimize =v Jr yro,r丄msubject to v、.i Xi。=1,y(12)sm二.ryrj-7 冷溝 _0, j =1,2，川，n,r 1i 1.4i _0, r =1,2, III, s; i =1,2川I, m,其中h和v是非負權重。模型(12)與模型(2)的區(qū)別在于：模型(12)計算所得效率均大于等于1 ,而模型(2)所得的效率值均小于等于 1?；趲缀纹骄档碾p前沿數(shù)據包絡分析方法就是將模型(12)所得的

23、效率與模型(2)所得的效率通過幾何平均的方式加以綜合，即:其中；為綜合后的DMUo (o1,2,|l|, n)的效率值，而&和-分別對應該決策單元在模型與模型(12)下的最優(yōu)效率值。下圖為有效前沿面和無效前沿面的一個演示圖 。圖5-1決策單元的有效和無效前沿面(六) 最優(yōu)決策單元的選擇在實際應用中，決策者有時候關心的是哪個方案或者哪個決策單元是最優(yōu)的，而對于其他單元的排序并不在意。因此，如何利用 DEA模型直接尋求最優(yōu)決策單元成為學者們所感興趣的問題。Amin和Toloo (2007)18提出了一個混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，采用兩步法以期實現(xiàn)尋求最優(yōu)決策單元。然而隨后Amin (2009)19發(fā)現(xiàn)

24、這種兩步法有時會產生兩個或者兩個以上的最優(yōu)決策單元，因此他提出一個非線性混合整數(shù)模型。Foroughi (2011)20發(fā)現(xiàn)Amin的非線性規(guī)劃模型在有些情況下是不可行的。不過Foroughi(2011)的模型存在著一些冗余的約束且對輸入輸出權重給定了保證域，并且該模型易受離群值(outliers)的影響，從而導致所選擇的最優(yōu)決策單元不正確。因此，Wang和Jia ng (2012)21提出了三種混合整數(shù)線性規(guī)劃模型來改進 Foroughi (2011)的模型中所存在的問題。這三種最優(yōu)決策單元選擇的模型分別為：1. 基于不變規(guī)模收益的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型的最優(yōu)決策單元選擇方法mns(nMi n

25、i mize為vi為x“ 八ij-乞ur為Yrjim)r# 丿smSubject touryrj - vixij - I j , j = 1/ , n ,r =1i =1nTj =1,(13)j Tlj 0,0 , j =1廠，n,Ur -, r = 1,，s,(m s)max yrj1Vi, i =1 ,m,(m s) maxxij其中Ij ( jn)是二元變量,且只有一個變量可以取非零值1。如果I。=1 ,那么約束條件smsm送Urj-送VXij Ij對應的DMU o的約束為送-送以。1 ,即允許DMU。的效率值大于1，而 r 2i 上_smsm其余的DMU的約束送uryrj-ZVM蘭Ij

26、與原始的CCR模型的約束相同，也就是送uryrj送山0對于任r -1i Xr -1i 4意的j 1,川,n除了 j =o。因此，只有最有效的決策單元的效率值會大于1，而其余決策單元的效率均小于等于1。權重約束沿用(Sueyoshi, 1999 22)提出的松弛變量模型中的形式 ，該約束形式在實際應用中 被廣泛采用，即 ur _(1/(m s)maxyrj) (r =1|,s);v _(1/(m s)maxx,j)對于任意的(i=1,|,m).2. 基于投入導向的BCC模型的混合整數(shù)線性規(guī)劃最優(yōu)決策單元選擇方法模型(13)是基于不變規(guī)模收益下的最優(yōu)決策單元的選擇方法。該方法可以拓展到可變規(guī)模收益

27、的情形如下所示，該模型的形式是基于投入導向的BCC模型下的形式m廣n、sr nMinimize Z Vi遲Xj_nv0ur瓦yrji 二2)r ljmJsmSubject to y Ur yrj 7“ Vi XjV0 乞 I j , j =1, n ,r =1i =1n(14)I j - 1 ,j雄Ij0,1, j =1廠，n,Ur,r = 1, ,s ,(m s)maxyrjVi,i =1, m,(m s) maxXijVo無符號限制.3. 基于產出導向的BCC模型的混合整數(shù)線性規(guī)劃最優(yōu)決策單元選擇方法同理可得，基于產出導向的可變規(guī)模收益的BCC形式下的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型如下mr ns廣n

28、Mi ni mizeZ VizXij-乞urz yrji 4lj4Jr 二jsmSubject toZ ur yrj+ u0 -瓦 ViXij 0, j=1,nr 二n送Ij=15j = 1廠，n ,j 4I j-0,1 , j =1, ,n , nu(15)UrVi,r = 1, ,s ,(m s) maxyrj,i =1, m,(m s) maxxiju0 is free in sign,s其中約束條件v ur yrj u0 _ 0 (j =1,，n )是為了保證全體產出是非負的，因為負的產出沒有意義。r丑(七) 舉例說明F面用3個例子來說明DEA方法的應用。例1 :假設現(xiàn)有七個被評價的決

29、策單元，投入、產出項各有一項，投入項為X,產出項為Y,輸入如下表所示。此時七個決策單元的相對位置如圖5 2所示。在CCR模型下，連接原點與點 B的射線構成前沿面，如圖中所示，其余的點均位于該前沿面的下方。表5 2七個決策單元的投入、產出數(shù)據DMUXYEfficie ncyA210.5000BCDEFG386510731.000060.750020.333340.800060.60004.50.6429產出圖5 2七個決策單元的分布及其在生產前沿面上的投影從圖2中可以看出，只有決策單元 B位于生產前沿面上，而其他所有決策單元均位于該生產前沿面的下 方，即A, C, D, E, F, G均為非DE

30、A有效，從表52最后一列的效率值大小也很容易得到確認。為了使非DEA有效決策單元為 DEA有效，可依圖中箭頭所示的方向將非DEA有效的決策單元往前沿面上投影。A,C, D, F, G均為減小投入而保持產出不變；而E給出了三種投影方式(減小投入產出不變；保持投入不變增大產出；或者同時減小投入和增大產出)。例2:五個先進制造技術的甄別,數(shù)據來源于 Wang和Chin(2009) 23。表5 3五個先進制造技術的數(shù)據及其樂觀、悲觀以及幾何平均值決策單元投入產出XiX2Y樂觀效率值悲觀效率值幾何平均值A4072101.00001.60001.2469B32121050.56391.00000.7509

31、C52203041.00001.73711.3180D35132000.98381.74151.3089E3281500.85801.42861.1071對于每-個決策單兀而言，可通過求解模型(2) 和 (12)獲得全體DMUs的樂觀和悲觀效率,結果如上表所示。下面簡單介紹一下求解過程和技術實現(xiàn)。以第一個決策單元的 CCR效率(即樂觀效率)為例，將數(shù)據代入模型（2）即得模型（16）,顯然這是個較為復雜的線性規(guī)劃模型，需要借助軟件計算才會更為簡便。因此本書分別給出了 Lin go以及Matlab下的CCR模型的編程。Lingo的編程一次也只能計算一個（見下面程序后的計算說明），而Maltab程序

32、相對而言更為簡便，其可以很快地計算出所有決策單元的效率。此例中通過軟件計算所得，在樂觀效率下，所得效率為 表53的第五列所示，全體單元的優(yōu)序關系為：C=ADEB。，決策單元A與C均為DEA有效，而B, D, E為非DEA有效。在悲觀模型下，所得的效率 值為表5 3的第六列所示，決策單元B為DEA無效，而其他單元均為非DEA無效，其優(yōu)序順序為：DCAEB。由此可見，在樂觀前沿面和在悲觀前沿面下的排序存在著一定的差異。表5 3的最后一列的值為樂觀和悲觀效率的幾何平均值，顯然Wang等人（2007）提出的該幾何平均值較好的綜合了樂觀和悲觀前面的兩部分信息，從而五個單元合理的排序為：CDAEB 。Ma

33、ximize p =210 斗40| +7吐=1,210 葉（40商+72）蘭0,105甘（32+12越）蘭0,（16）subject to & 304 耳（52耳+20=T(j);sum (DMU:P*S)=1;END可得5個決在上述程序中，P的值(1 0 0 0 0)分別替換為 (0 1 0 0 0), (0 0 1 0 0), (0 0 0 1 0), (0 0 0 0 1), 策單元的最優(yōu)效率值依次為1.0000，0.5639，1.0000，0.9838，0.8580。例2的Matlab程序實現(xiàn)：clear all;X= 403252353271220138;Y= 2101053042

34、00150;n=size(X,1);m=size(X,1);s=size(Y,1);A=-X Y;b=zeros (n ,1); LB=zeros(m+s,1);UB=;for i=1: n;F=zeros(1,m) -Y(:,i);Aeq=X(:,i) zeros(1,s);beq=1;w(:,i)=li nprog(F,A,b,Aeq,beq, LB,UB);E(i,i)=Y(:,i)*w(m+1:m+s,i);endwEomega=w(1:m,:)mu=w(m+1:m+s,:)EE=diag(E)運行上述Matlab程序，即可得全體 DMUs的CCR效率值。例3.現(xiàn)有14家國際航空公司，

35、數(shù)據來源于Tofallis(1997) 24。已知投入有三項，產出有兩項，分別為：N :飛機容量噸公里X2 :營業(yè)費用X3：其他資產(預定系統(tǒng)，便利性以及流動資產)y :每公里乘客數(shù)y2：非客運收益表5 414家航空公司的數(shù)據產出投入DMUX2X3y2157233239200326677697258954225455730815393240999560626712405512664135657499321364734156355183188078323604513619080803232729501157274603345723602211296981209767796474523632001

36、96587334135812650412971056541878191619277972111255980983310419253398125728248122542775498213471517922485313325431422793987441451225281404表5 5CCR效率及其非有效決策單兀的改進DMU jCCR效率.投入產出X1jX2jX3jy1jy2j10.8684-753-916-2640020.3379-3903-2940-40323569030.9475-1265-502-329073140.9581-569-1235-13500510000060.9766-447

37、-402-770810710000080.8588-1709-957-20080090.9477-344-175-1392001010000011100000121000001310000014100000利用CCR模型以及將非有效 DMU改進為有效DMU的投影公式，可得表5 5的結果。從表中可知， 決策單元5, 7, 10, 11，12, 13, 14為DEA有效，而其它單元為非 DEA有效。對于非有效決策單元，例如 對第一家航空公司而言，它的第一項投入應減少753，第二項投入應減少 916，第三項投入應減少 264，同時保持產出不變，這時該航空公司可達 DEA有效。DMU 4，DMU 8和

38、DMU 9與DMU 1類似也均需減少該 三項投入。而對DMU2而言，其前三項投入應分別減少3903，2940和4032，第一項產出需增加 3569，第二項產出保持不變可達有效。而DMU 3和DMU 6在減少三項投入的同時，還需要增加第二項產出才會有效。利用攻擊型交叉效率模型，我們可得如下表（表5 6）所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。從表中可以看出第 5家航空公司的相對效率為 0.7983，為所有航空公司中最優(yōu)，其次是第11家航空 公司，其交叉效率值為0.7742。而第2家航空公司的交叉效率值為0.1652，為14家航空公司中最差。利用仁慈型交叉效率模型，我們可得如下表（表5 7）所

39、示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。從表中可以看出第11家航空公司的相對效率為0.9193，為所有航空公司中最優(yōu)，其次是第13家航空公司，其交叉效率值為 0.9190。而第2家航空公司的交叉效率值為0.1894，為14家航空公司中最差。此結果與攻擊型交叉效率模型所得的結果又較大的差異，然而至今仍無一個準則可以清晰的告訴決策者何時該選擇攻擊型模型或者是仁慈型模型。因此均對不同的決策問題，選擇的模型的不同，所得結果可能出入較大。為此，學者們提出了一些改進模型，例如Wang和Chin(2010a)的中性交叉效率模型，以及Liang等人(2008a)的博弈交叉效率模型都可以較好的避免這個問題。表

40、5 6攻擊型交叉效率值表目標DMU平均排序DMU1 2345678910111213交叉14效率1 0.86840.45010.62250.86840.44180.47260.76790.78810.70310.4158 0.3390 0.7043 0.4711 0.4726 0.5990122 0.17190.33790.04720.17190.02240.02470.27700.27240.28080.2465 0.1152 0.2789 0.0417 0.0247 0.1652143 0.88260.19420.94750.88260.65660.68980.64680.68330.62

41、250.2559 0.1968 0.6261 0.7422 0.6898 0.6226114 0.95810.42590.70340.95810.66830.6973 0.7629 0.7850 0.6991 0.4027 0.4739 0.70160.49370.69730.673475 0.96530.36581.00000.96531.00001.0000 0.7011 0.7359 0.7778 0.5272 0.6382 0.78190.71811.00000.798316 0.88180.11080.95630.88180.96320.9766 0.5745 0.6084 0.50

42、99 0.1376 0.1703 0.51410.67660.97660.638597 0.92110.77810.47730.92110.31080.3382 1.0000 1.0000 0.8395 0.5416 0.4000 0.83830.36580.33820.647888 0.7813 0.6114 0.5162 0.7813 0.2683 0.2924 0.8415 0.8588 0.8208 0.5703 0.3011 0.8194 0.4418 0.2924 0.5855 139 0.7855 0.7278 0.5075 0.7855 0.2455 0.2677 0.8881

43、 0.9072 0.9477 0.7501 0.3528 0.9452 0.4537 0.2677 0.6309 1010 0.78210.63540.65200.78210.33370.35640.76500.79441.00001.00000.49421.00000.58710.3564 0.6813611 1.00001.00000.42871.00000.42020.44181.00001.00001.00000.81071.00001.00000.29610.4418 0.7742212 0.94620.63360.75000.94620.40850.43950.90820.9395

44、0.99980.76470.42441.00000.63980.4395 0.7314513 1.00000.42561.00001.00000.41830.45550.95111.00001.00000.58550.21291.00001.00000.4555 0.7503314 1.00000.22771.00001.00000.98061.00000.69190.72750.64780.27470.32990.65210.70971.0000 0.73164仁慈型交叉效率值表口+一平均排目標DMUDMU 交叉序1 234567891011121314 效率1 0.86840.45010.

45、62250.86840.84920.47260.81080.7881 0.7031 0.7512 0.8684 0.7713 0.8684 0.8684 0.7543122 0.17190.33790.04720.17190.17350.02470.24790.2724 0.2808 0.2058 0.1719 0.2025 0.1719 0.1719 0.1894143 0.88260.19420.94750.88260.88440.68980.72320.6833 0.6225 0.7846 0.8826 0.8072 0.8826 0.8826 0.767894 0.95810.4259

46、0.70340.95810.94130.69730.82280.7850 0.6991 0.8112 0.9581 0.8341 0.9581 0.9581 0.822265 0.96530.36581.00000.96531.00001.00000.77040.7359 0.7778 1.0000 0.9653 1.0000 0.9653 0.9653 0.891236 0.88180.11080.95630.88180.87800.97660.66150.6084 0.5099 0.7176 0.8818 0.7478 0.8818 0.8818 0.7554117 0.92110.778

47、10.47730.92110.87950.33821.00001.0000 0.8395 0.7808 0.9211 0.8012 0.9211 0.9211 0.821478 0.78130.61140.51620.78130.77020.29240.84580.8588 0.8208 0.7532 0.7813 0.7631 0.7813 0.7813 0.7242139 0.78550.72780.50750.78550.78890.26770.87820.9072 0.9477 0.8375 0.7855 0.8369 0.7855 0.7855 0.75901010 0.78210.

48、63540.65200.78210.82500.35640.77800.7944 1.0000 1.0000 0.7821 0.9719 0.7821 0.7821 0.7803811 1.00001.00000.42871.00001.00000.44181.00001.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9193112 0.94620.63360.75000.94620.96020.43950.93620.93950.99981.00000.94621.00000.94620.94620.8850413 1.00000.42561.00001.00001.00000.45551.00001.00001.00000.98431.00001.00001.00001.00000.919