3、高三一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念與性質(zhì)

1、函數(shù)的概念【知識(shí)要點(diǎn)】一、函數(shù)的概念：1、定義：（y 2 =2 x、y =2 x2、y =| x |、| y | =x都是函數(shù)嗎？）2、函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)法則、值域；3、圖像特征：在函數(shù)的定義域內(nèi)作垂直于x軸的直線，它與函數(shù)圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)；4、 表示方法：解析法、圖像法、列表法等；5、 函數(shù)的運(yùn)算：函數(shù)的和與積（關(guān)鍵：定義域求交集）。 二、定義域（集合或區(qū)間表示）：1、分式y(tǒng) =f ( x)g ( x)：分母g ( x) 0；2、偶次根式y(tǒng) =2 nf ( x )（n n*）：被開方數(shù)f ( x ) 0；3、零次冪y = f ( x )0：底數(shù)f ( x ) 0；4、對數(shù)y =l

2、og f ( x ) a（a 0且a 1）：真數(shù)f ( x ) 0；5、正切y =tan f ( x )：f ( x ) k +2， k z；此外，要注意實(shí)際問題中的背景意義。 【例題解析】1、判斷下列函數(shù)是否是同一函數(shù)？（1）y =5x5與y =x2；（否）（2）y =ln ex與y =eln x；（否）（3）y =( x -1)( x +3) x +3與y =x -1；（否） （4） y =x 0 與y =1x 0；（是）（5）y =x +3x -3與y =x +3x -3；（否） （6）y =lg x2與y =2 lg x；（否）（7）f ( x ) =2 x 2 -1與g (t ) =

3、2t 2 -1；（是） （8）y =cos x與y =cos | x |。（是）2、求下列函數(shù)的定義域：（1）y =1 -x 2 lg(| x | -x)； （ 1 1 -1, - u-, 0 ） 2 2 第1頁（共40頁）2220（2）y =log( x +1)(5 -4 x )； （( -1, 0) u(0, log 5)4）（3）y =log0.5x -1x +5+(2 x -3)0； （ 1,3 3 u, +）2 2 （4）y =lglog ( x -3 -2)。 （(7, 12)）123、已知函數(shù)f ( x )的定義域?yàn)?, 3，則函數(shù)f (2 x -1)的定義域?yàn)?, 2；【變式

4、1】已知f ( x )的定義域?yàn)?, 1 ，則 f ( x2-5)的定義域?yàn)? 6, - 5 u 5, 6；【變式 2】已知f ( x )的定義域?yàn)?, 1，則f x 2 +x lg 的定義域?yàn)?5, -2 u1, 4。4、已知f (2 x -1) =4 x +3 ，求 f ( x )的解析式。 （f ( x) =2 x +5）【變式 1】已知f (3 x +2) =6 x2+2 x +1 ，求 f ( x )的解析式。（f ( x ) =2 7 x 2 -2 x +3 3）【變式 2】已知函數(shù)f ( x )的定義域?yàn)?0, +)，且滿足fx -1 1 =x + +3x x，求函數(shù)f ( x

5、)的解析式。（f ( x ) =x 2 +5，x (0, +)）5、（1）已知f ( x) =x +2 ， g ( x ) =3 -xx +2，則f ( x) g( x) =3 -x ，x ( -2, 3；（2）已知f ( x )的定義域?yàn)?, 3，則f ( x ) = f ( x +1) + f ( x -1)的定義域?yàn)?, 2；（3）設(shè)x +1, x 0 f ( x ) =, x =0，則f f f ( -1) = +1；0, x 1 81，且1f ( x ) = ，則 x = 43 ；（5）設(shè) f ( x ) =x 2, x 0 2 cos x, 0 x 0恒成立，則d=4 -4 a 0

6、 2 -x, x 0 時(shí)， f g ( x ) = f ( x -1) =x2-2 x -1；當(dāng) x 0 -4 x +2, x 0；g f ( x ) =g ( x -2) =x 2 -3, x 2 4 -x 2 , - 2 x 2。8、設(shè)函數(shù)f ( x )的定義域?yàn)? -,0) u (0, +)，且滿足f ( x) +2 f1 =3x ，求 f ( x) x 的解析式?！窘狻吭趂 ( x) +2 f1 =3x x 1中用 替代 xx，得：f1 +2f ( x ) = x 3x，聯(lián)立和，解得：f ( x ) =2x-x （ x 0 ）?！咀兪健恳阎猣 ( x )滿足m f (2 x -3) +

7、n f (3 -2 x) =2 x，其中m、n為常數(shù)，| m | | n |，求函數(shù)f ( x )的解析式。第3頁（共40頁）【解】設(shè)2 x -3 =t，則x =12(t +3) ，所以 m f (t ) +n f ( -t) =t +3，在式中用-t替換t，得：m f ( -t) +n f (t ) =-t+3，聯(lián)立和，解得：f (t ) =1 3t +m -n m +n，所以，f ( x ) =1 3x +m -n m +n。第4頁（共40頁）函數(shù)的性質(zhì)（1）奇偶性和單調(diào)性 【知識(shí)要點(diǎn)】一、函數(shù)的奇偶性：1、定義：對于函數(shù)f ( x )，若對定義域 d 內(nèi)任意實(shí)數(shù) x，都有 f ( -x)

8、 = f ( x )，則稱函數(shù)f ( x )為偶函數(shù)；若對定義域d內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，都有f ( -x) =-f ( x)，則稱函數(shù)f ( x )為奇函數(shù)。2、常用性質(zhì)：（1） 奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2） 圖像特征：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y 軸對稱；（3）若奇函數(shù)f ( x )在原點(diǎn)處有定義，則f (0) =0；（4）奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：奇 奇 =奇，偶 偶 =偶，奇 奇 =偶，偶 偶 =偶，奇 偶 =奇； （5）常見函數(shù)的奇偶性：1常函數(shù)y =c（x r）是偶函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)c =0時(shí)，常函數(shù)y =c（x r）既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；2一次函數(shù)y =kx +b （

9、k 0 ）是奇函數(shù)的充要條件是 b =0 ；3二次函數(shù)y =ax2+bx +c （ a 0 ）是偶函數(shù)的充要條件是 b =0 。二、函數(shù)的單調(diào)性：1、定義：對于函數(shù)y = f ( x)以及定義域內(nèi)的給定區(qū)間i，如果任意x1、x i2，且x x12，總有f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2），則稱f ( x)是區(qū)間 i 上的單調(diào)遞增（減）函數(shù)，區(qū)間i稱為f ( x)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間；2、常用性質(zhì)：（1）若f ( x ) 在區(qū)間 i 上單調(diào)遞增（減），c 為任意常數(shù)，則f ( x ) +c 在區(qū)間 i 上也單調(diào)遞增（減）；（2）若f ( x)在區(qū)間i上單調(diào)遞增（減），k為任意非零常數(shù)

10、，當(dāng)k 0時(shí)，k f ( x )在區(qū)間i上單調(diào)遞增（減）；當(dāng)k 0 ， b 0 ）和 y =ax -x x（a 0，b 0）：y =ax +b b （ a 0 ， b 0 ） y =ax -x x（a 0，b 0）yy圖像oxox定義域奇偶性遞增區(qū)間( -,0) u(0, +)奇函數(shù) b b -,- ， , + ( -,0) ， (0, +)遞減區(qū)間 b- , 0a b ，0, 無漸近線x =0，y =ax第6頁（共40頁）【例題解析】1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f ( x ) =x 2 -3 | x | +2； （2）f ( x) =-3x 3 +x +2sin x；（3）f ( x )

11、 =x(1 -x ) x -1； （4）f ( x ) =x2-x +1；（5）f ( x ) =| x |cos x +1； （6）f ( x) =1 -x 2 | x +2 | -2；（7）f ( x ) =lg( 1 +x 2 +x )； （8）f ( x ) =lg1 +x1 -x；（9）f ( x) = 1 -x2+x2-1； （10）f ( x ) =x -2 x2 x +1；（11）x2 +sin x, x 0 f ( x ) =x 2 -sin x, x x2+x =| x | +x -x+x =0恒成立，所以函數(shù)的定義域?yàn)?r，f ( -x) =lg( 1 +x 2 -x )

12、 =lg11 +x2+x=-lg( 1 +x 2 +x ) =-f ( x )，所以，函數(shù)f ( x )為奇函數(shù)；（8）奇函數(shù)；（9）f ( x ) =0 ， x -1，1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；（10）函數(shù)的定義域?yàn)?r，f ( x) =x (2 x -1) 2 x +1，f ( -x) =-x (2 -x -1) -x (1 -2 x )=2-x +1 1 +2 x= f ( x)，所以，函數(shù)f ( x )為偶函數(shù)；（11） 偶函數(shù)；（12） 當(dāng) a =0 時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng) a 0 時(shí)，f ( -a) - f ( a ) =2 | a | 0 即 f ( -a) f ( a )，f (

13、-a) + f ( a ) =2 a2+2 | a | +2 0 即 f ( -a) -f ( a )，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。第7頁（共40頁）2、（1 ）若函數(shù)f ( x) =( a -1) x3 +(b +1) x 2+( c -2) x +d是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a、b、c、d應(yīng)滿足的條件是a= 1，br，c= 2，dr ；【變式】若f ( x) =ax 2 +(b -3) x +3（x a 2 -2, a ）是偶函數(shù)，則a =1 ，b =3 ；（2）若f ( x ) =| x -1| -a 1 -x 2是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a =1 ；【變式 1】若f ( x ) =lgax -1x +1是奇

14、函數(shù)，則實(shí)數(shù)a =1 ；【變式 2】若f ( x) =2 x2 x+a-1是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a =1 ；（3）設(shè)f ( x) =ax3+bx +7 ，且 f (5) =3 ，則 f ( -5) =11 ；-1【變式】（2012 年上海卷理科）已知 g ( x ) = f ( x ) +2g ( -1) =，則y = f ( x ) +x；2是奇函數(shù)，且f (1) =1。若（4）設(shè)奇函數(shù)f ( x )的定義域?yàn)?5, 5，若當(dāng)x 0, 5時(shí)，f ( x )的圖像y如 右 圖 所5示，則不等式f ( x) 0的解集為( -2, 0) u(2, 5；o 2x【 變 式 】 已 知 定 義 在( -3,

15、 3)上 的 奇 函 數(shù)y = f ( x)， 當(dāng)y0 x 3時(shí)，圖像如右圖所示，則不等式x f ( x) 1 f ( x) =-1, x 1。4、（1）已知y = f ( x)是 r 上的奇函數(shù)，且當(dāng)x 0時(shí)，f ( x ) =2 x +cos x，求f ( x)的解析式；（2）已知y = f ( x)是 r 上的偶函數(shù)，且當(dāng) x 0 時(shí)， f ( x) =x2-2 x ，求 f ( x )的解析式?！窘狻浚?） 2 x +cos x , x 0； （2） f ( x) =xx22-2 x, x 0 +2 x, x 0。5、已知函數(shù)f ( x)和g ( x)的定義域都是( -,-1) u(

16、-1, 1) u(1, +)，且f ( x)為偶函數(shù)，g ( x)為奇函數(shù)，若f ( x ) +g ( x) =1x -1，求函數(shù)f ( x)和g ( x )的解析式?！窘狻縡 ( x ) =1x 2 -1，x ( -,-1) u( -1, 1) u(1, +)，g ( x ) =x2x-1，x ( -,-1) u( -1, 1) u(1, +)。6、討論函數(shù)f ( x) =2 x +8x-1在區(qū)間 (0, +)上的單調(diào)性，并證明?！窘狻亢瘮?shù)f ( x) =2 x +8x-1在區(qū)間 (0, 2)單調(diào)遞減，在區(qū)間(2, +)單調(diào)遞增。設(shè)x1、x2是區(qū)間(0, +)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x x12，則

17、 8 8 2( x -x )( x x -4)f ( x ) -f ( x ) =2x + -1-2x+ -1= 1 2 1 2x x x x1 2 1 2，因?yàn)? x x12，所以x -x 01 2；當(dāng)0 x x 21 2時(shí)，x x -4 0 1 2，即f ( x ) f ( x ) 1 2，所以f ( x)在區(qū)間(0, 2)單調(diào)遞減；當(dāng)2 x 0 ，所以 f ( x ) -f ( x ) 0 ，即 f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 1 2 1 2，所以f ( x)在區(qū)間(2, +)單調(diào)遞增。第9頁（共40頁）1212【變式】判斷函數(shù)f ( x) =x1 -x2在區(qū)間( -1,

18、 1)上的單調(diào)性，并證明。【解】設(shè)x1、x2是區(qū)間( -1, 1)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x x12，則x x ( x -x )(1 +x x )f ( x ) -f ( x ) = 1 - 2 = 1 2 1 21 -x 2 1 -x 2 (1 -x 2 )(1 -x 2 ) 1 2 1 2，因?yàn)?-1 x x 1 ，所以 x -x 0 ， 1 -x 2 1 2 1 2 1 2 10 ，1 -x220，從而f ( x ) -f ( x ) 0 1 2，即f ( x ) 0，解得：-1 x 1，所以函數(shù)的定義域?yàn)? -1,1)。設(shè) x 、 x 為區(qū)間 ( -1,1) 1 2上任意兩實(shí)數(shù)，且x x12

19、，則1 -x 1 -x (1 -x )(1 +x )f ( x ) - f ( x ) =lg 1 -lg 2 =lg 1 21 +x 1 +x (1 -x )(1 +x ) 1 2 2 1，而(1-x )(1+x ) 2( x -x ) 1 2 -1 = 2 1(1-x )(1+x ) (1-x )(1+x ) 2 1 2 1，因?yàn)?1 x x 0 2 1，1 -x 01，1 +x 01，因此2( x -x ) (1-x )(1+x ) (1-x )(1+x ) 2 1 0 ，即 1 2 1，從而 lg 1 2(1-x )(1+x ) (1-x )(1+x ) (1-x )(1+x ) 2

20、1 2 1 2 10，即f ( x ) f ( x ) 1 2，所以函數(shù)f ( x ) =lg1 -x1 +x是( -1,1)上的減函數(shù)?！咀兪?1】求證：函數(shù)f ( x ) =log12x +2x -2在(2, +)單調(diào)遞增?！咀兪?2】求證：函數(shù)f ( x) =4x2x +1是( -,+)上的增函數(shù)。8、已知函數(shù)f ( x)的定義域?yàn)?r，給出下列命題：若f ( x)在 r 上單調(diào)遞增，且f ( x) 0則f ( x)在 r 上單調(diào)遞增；第10頁（共40頁）若f ( x)在 r 上單調(diào)遞增，則 f ( x)2在 r 上單調(diào)遞增；若任意x r，有f ( x ) 0x -x1 2，則f ( x

21、)在 r 上單調(diào)遞增。其中真命題的序號(hào)為 。9、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）y =x +9x； 增區(qū)間：( -,-3) ， (3, +)；減區(qū)間：( -3, 0) ， (0, 3)【變式】y =-x-25x； 增區(qū)間：( -5, 0) ， (0, 5)；減區(qū)間：( -,-5) ， (5, +)（2）y =2 x -3x； 增區(qū)間：( -,0)，(0, +)；無減區(qū)間【變式】y =4x-3 x； 減區(qū)間：( -,0) ， (0, +)；無增區(qū)間（3）y = -2 x2+5 x -21 5 ； 增區(qū)間： , ；減區(qū)間： 2 4 54, 21 【變式 1】 y = 2 x2-2 x -3； 增區(qū)間：

22、( -,1)；減區(qū)間：(1, +)【變式 2】y =log ( x 22-2 x -3)；增區(qū)間：(3, +)；減區(qū)間：( -,-1)10、（1）若函數(shù)f ( x) =x2+2( a -1) x +2的減區(qū)間為( -,4，則實(shí)數(shù)a的值為 3 ；（2）若函數(shù)f ( x) =x 2 +2( a -1) x +2在區(qū)間( -,4上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( -,-3。11、（2006 年北京卷理）已知函數(shù)1 1 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是, 7 3 (3a -1) x +4 a , x 1 f ( x ) =log x , x 1 a；是( -,+)上的減函數(shù)，第11頁（共40頁）4 - 2 2

23、ax ,【變式】已知函數(shù) f ( x) = a 2 x 1 x +2, x 1是( -,+)上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是4, 8)。12、已知函數(shù)f ( x ) =kx2-4 x -8 在 4, 16 上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍?！窘狻慨?dāng)k =0時(shí)，f ( x) =-4x -8在4, 16 上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng) k 0 時(shí)，二次函數(shù)f ( x ) =kx2-4 x -8的對稱軸為x =2k，由題意得：k 0 k 0 或 ，解得 16 4k k0 k 18或k 0。綜上，實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 -,18?！咀兪?1】已知函數(shù)f ( x ) =ax2+2 x +1在 1, 2上單調(diào)

24、遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。（實(shí)數(shù) a 的取值范圍是-12, +） 【變式 2】已知函數(shù)f ( x ) =ax +1x +2在( -,-2)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。【解】因?yàn)閒 ( x) =ax +1 a ( x +2) +1 -2 a 1 -2 a= =a +x +2 x +2 x +2在( -,-2)上單調(diào)遞增，所以1 -2 a 0在x 0, 1恒成立，所以， a 0 2 -a 0，解得：實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(0, 2)?！咀兪?1】已知函數(shù)f ( x ) =lg(2 -ax )在(0, 1)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（(0, 2）【變式 2】已知 a 0 且 a 1

25、，若函數(shù) f ( x ) =log ( ax -3) 在 (4, 5)a第12頁（共40頁）單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。（3 , 1）4 14、設(shè)f ( x)是偶函數(shù)，且在0, +)單調(diào)遞增，比較f ( -3)與f (2 a 2 -4 a +5)的大小。【解】因?yàn)? a2 -4 a +5 -3 =2( a -1) 20 ，所以 2a2-4 a +5 3，從而f (2 a2-4 a +5) f (3) = f ( -3)，即f ( -3) f (2 a2-4 a +5)。15、已知奇函數(shù)f ( x)的定義域?yàn)? -1, 1)，且在0, 1)單調(diào)遞減，若f (1 -a ) + f (1 -a

26、2) 0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！窘狻恳?yàn)槠婧瘮?shù)f ( x)滿足f (1 -a ) + f (1 -a2) 0，所以f (1 -a ) 1 -a a 2 -1 -1，即 a 2 -1 -1 1 -a a 2 -1，解得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0, 1)。1 -a 0，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。 （( -3, -1 u1）【變式 2】定義在-2, 2上的偶函數(shù)f ( x )在區(qū)間0, 2上單調(diào)遞減，若f (1 -m) f ( m)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍?！窘狻坑深}意得：| m | |1 -m | 2，解得，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是-1,12。第13頁（共40頁）函數(shù)的性質(zhì)（2）周期性、對稱性和圖像變換

27、 【知識(shí)要點(diǎn)】一、周期性：對于函數(shù)y = f ( x )，如果存在非零常數(shù) t，使得 x 取定義域內(nèi)的任意值時(shí)，都有f ( x +t ) = f ( x )成立，那么函數(shù)f ( x )叫做周期函數(shù)，常數(shù) t 叫做 f ( x )的周期。對于一個(gè)周期函數(shù)f ( x )來說，如果在所有的周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f ( x )的最小正周期?！咀ⅰ?、如果 t 是函數(shù) f ( x)的周期，那么 kt （ k z， k 0 ）都是 f ( x )的周期；2、對于函數(shù)y = f ( x )，如果存在常數(shù)a、b且a b，使得x取定義域內(nèi)的任意值時(shí)，都有f ( x +a ) = f (

28、x +b)成立，則f ( x )是周期函數(shù)，且b -a是函數(shù)的一個(gè)周期?！舅伎肌恐芷诤瘮?shù)一定有最小正周期嗎？（否，如常函數(shù)） 二、對稱性：1、軸對稱：對于函數(shù)y = f ( x )，如果存在常數(shù)a，使得x取定義域內(nèi)的任意值時(shí)，都有f ( a +x ) = f ( a -x )成立，那么直線 x =a是函數(shù)f ( x )圖像的一條對稱軸。更一般地，如果存在常數(shù) a、b，使得 x 取定義域內(nèi)的任意值時(shí)，都有f ( a +x ) = f (b -x )成立，那么直線x =a +b2是函數(shù)f ( x )圖像的一條對稱軸。2、對稱中心：對于函數(shù)y = f ( x )，如果存在常數(shù)a、b、c使得x取定義域內(nèi)的任意值時(shí)，都有f ( a +x ) + f (b -x ) =c成立，那么點(diǎn) a +b c,2 2是函數(shù)f ( x )圖像的一個(gè)對稱中心。三、函數(shù)圖像變換：1、函數(shù)圖像的平移：左右平移和上下平移。 2、函數(shù)圖像的對稱：（1）函數(shù)y = f ( x ) 關(guān)于 x 軸對稱的是y =-f ( x)；（2）函數(shù)y = f ( x )關(guān)于y軸對稱的是y = f ( -x)；（3）函數(shù)y = f ( x )關(guān)于原點(diǎn)對稱的是y =-f ( -x)；第14頁（共40頁）（4）函數(shù)y = f ( x )關(guān)于直線 x =a對稱的是y = f (2a -x )；（5）函數(shù)y = f