南昌大學線性代數(shù)期末考試試題及答案

1、南昌大學 20082009學年第一學期期末考試試卷 試卷編號： 教33 ( a)卷課程編號： h55010001 課程名稱： 線 性 代 數(shù) 考試形式： 閉 卷 適用班級： 理工類（本科）姓名： 學號： 班級： 學院： 專業(yè)： 考試日期： 2009年1月8日 題號一二三四五六七八九十總分累分人 簽名題分151591111111297 100得分考生注意事項：1、本試卷共 7頁，請查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報告以便更換。 2、考試結束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場。一、 填空題(每空3分，共15分) 得分評閱人 1、若齊次線性方程組 有非零解，則.2、若、為同階方陣，則

2、成立的充分必要條件是3、設，若，則4、已知矩陣，的一個特征值為，則5、若二次型是正定的，則的取值范圍是二、選擇題(每小題3分，共15分)得分評閱人 1、已知四階行列式的第三列元素依次為，并且第三列元素的余子式依次為，則（ ） 2、設為三階方陣，則其伴隨矩陣的行列式（ ） 3、均為階方陣，下列各式中成立的為（ ） 4、設是矩陣，則齊次線性方程組（ ） 無解。 只有零解。有非零解 。 不一定有非零解 。5、階方陣的個特征值互異，是與對角矩陣相似的（ ） 充分條件 必要條件充分必要條件 既不充分也非必要條件三、（9分）證明： （ 其中為正整數(shù)）得分評閱人 第 12 頁 共 12頁四、（11分）已知向

3、量組，.求的一個最大無關組。將其余向量用此最大無關組線性表示。 得分評閱人 五、（11分）設、均為三階方陣，且滿足，其中：， 求：；.得分評閱人 六、（11分）設有線性方程組 問取何值時，此方程組： 有唯一解； 無解； 有無限多個解？并在有無限多解時求其通解。得分評閱人 七、（12分）求矩陣的特征值和特征向量。得分評閱人 八、（9分）已知二次型 的秩為，求及此二次型對應矩陣的特征值。得分評閱人 九、設三階方陣、滿足，其中，為三階單位矩陣，為的伴隨矩陣，試求：三階方陣. （7分）得分評閱人 一、1；2；3 ；4 ；5 。二、1（b）； 2（b）； 3（d）； 4（c）； 5（a）。三、當時，等式

4、顯然成立。 1分 設時成立，即設： 3分 要證時成立。此時有： 4分 5分 7分 9分四、令并對矩陣作初等行變換 2分 4分 6分則，為該向量組的一個最大無關組。 7分 9分 11分 南昌大學0809學年第一學期線性代數(shù)期末考試（a卷）評分標準五、 2分 4分 6分 8分 11分六、對方程組的增廣矩陣作初等行變換，得： 1分 3分 由此可見：當且時，此時原方程組有唯一解。 4分當時，方程組無解； 5分當時，（未知量的個數(shù)）此時原方程組有無窮多個解。 6分 當時，階梯形矩陣為： 7分 求得非齊次方程的一個特解和對應齊次方程的基礎解系： ； 10分由此便得通解是：（為任意實數(shù)） 11分七、= 3分解得特征值為：，. 4分對應于根據(jù)，有 ，即 取，則易求得。 得基礎解系為， 的屬于特征值的全部特征向量為， （其中為任意非零常數(shù)） 8分對應于根據(jù)，有 ，即 取，則易求得。得基礎解系為 的屬于特征值的全部特征向量為 （其中為任意非零常數(shù)） 12分八、 二次型對應的矩陣為 2分 由題意知，則 4分 即， 5分 解得：. 6分 矩陣的特征