南昌大學(xué)線性代數(shù)期末考試試題及答案

1、南昌大學(xué) 20082009學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷 試卷編號(hào)： 教33 ( a)卷課程編號(hào)： h55010001 課程名稱： 線 性 代 數(shù) 考試形式： 閉 卷 適用班級(jí)： 理工類（本科）姓名： 學(xué)號(hào)： 班級(jí)： 學(xué)院： 專業(yè)： 考試日期： 2009年1月8日 題號(hào)一二三四五六七八九十總分累分人 簽名題分151591111111297 100得分考生注意事項(xiàng)：1、本試卷共 7頁，請(qǐng)查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報(bào)告以便更換。 2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場(chǎng)。一、 填空題(每空3分，共15分) 得分評(píng)閱人 1、若齊次線性方程組 有非零解，則.2、若、為同階方陣，則

2、成立的充分必要條件是3、設(shè)，若，則4、已知矩陣，的一個(gè)特征值為，則5、若二次型是正定的，則的取值范圍是二、選擇題(每小題3分，共15分)得分評(píng)閱人 1、已知四階行列式的第三列元素依次為，并且第三列元素的余子式依次為，則（ ） 2、設(shè)為三階方陣，則其伴隨矩陣的行列式（ ） 3、均為階方陣，下列各式中成立的為（ ） 4、設(shè)是矩陣，則齊次線性方程組（ ） 無解。 只有零解。有非零解 。 不一定有非零解 。5、階方陣的個(gè)特征值互異，是與對(duì)角矩陣相似的（ ） 充分條件 必要條件充分必要條件 既不充分也非必要條件三、（9分）證明： （ 其中為正整數(shù)）得分評(píng)閱人 第 12 頁 共 12頁四、（11分）已知向

3、量組，.求的一個(gè)最大無關(guān)組。將其余向量用此最大無關(guān)組線性表示。 得分評(píng)閱人 五、（11分）設(shè)、均為三階方陣，且滿足，其中：， 求：；.得分評(píng)閱人 六、（11分）設(shè)有線性方程組 問取何值時(shí)，此方程組： 有唯一解； 無解； 有無限多個(gè)解？并在有無限多解時(shí)求其通解。得分評(píng)閱人 七、（12分）求矩陣的特征值和特征向量。得分評(píng)閱人 八、（9分）已知二次型 的秩為，求及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值。得分評(píng)閱人 九、設(shè)三階方陣、滿足，其中，為三階單位矩陣，為的伴隨矩陣，試求：三階方陣. （7分）得分評(píng)閱人 一、1；2；3 ；4 ；5 。二、1（b）； 2（b）； 3（d）； 4（c）； 5（a）。三、當(dāng)時(shí)，等式

4、顯然成立。 1分 設(shè)時(shí)成立，即設(shè)： 3分 要證時(shí)成立。此時(shí)有： 4分 5分 7分 9分四、令并對(duì)矩陣作初等行變換 2分 4分 6分則，為該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。 7分 9分 11分 南昌大學(xué)0809學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)期末考試（a卷）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)五、 2分 4分 6分 8分 11分六、對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，得： 1分 3分 由此可見：當(dāng)且時(shí)，此時(shí)原方程組有唯一解。 4分當(dāng)時(shí)，方程組無解； 5分當(dāng)時(shí)，（未知量的個(gè)數(shù)）此時(shí)原方程組有無窮多個(gè)解。 6分 當(dāng)時(shí)，階梯形矩陣為： 7分 求得非齊次方程的一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)解系： ； 10分由此便得通解是：（為任意實(shí)數(shù)） 11分七、= 3分解得特征值為：，. 4分對(duì)應(yīng)于根據(jù)，有 ，即 取，則易求得。 得基礎(chǔ)解系為， 的屬于特征值的全部特征向量為， （其中為任意非零常數(shù)） 8分對(duì)應(yīng)于根據(jù)，有 ，即 取，則易求得。得基礎(chǔ)解系為 的屬于特征值的全部特征向量為 （其中為任意非零常數(shù)） 12分八、 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為 2分 由題意知，則 4分 即， 5分 解得：. 6分 矩陣的特征