概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試題及答案

1、一、填空題 (每小題 3分,共 30分)1、設(shè) A, B, C為 3個事件,則這三個事件中不多于兩個發(fā)生可表示為2、已知 P A 0.8,P B 0.6,P A B 0.7,則 P AB =3、設(shè)隨機變量 X 的概率密度為Af(x) 2 ， x1x則 A .4、若離散型隨機變量 X 的分布律為Xx1x 2 x11pk3a4則 a.5、設(shè) X N(0,1), Y N (3,4), 且X,Y相互獨立,Z 3X 2Y,則E(Z),D(Z)6、若隨機變量 X N 0,1 ,則 P X 0 .7、隨機變量 X 的概率密度為x 0 x 1f x 2 x 1 x 20 其它則 P X 1.58、設(shè) X 與Y

2、是相互獨立的隨機變量 ,其概率密度分別為1, 0 x 1 fX(x) 0, 其它 , fY(y)e y , y 00, y 0則(X,Y)的聯(lián)合概率密度 f (x,y)29、設(shè)隨機變量 X N( , 2), S2是容量為 n的樣本方差 ,則(n 12)S 服從自由度為分布.10、設(shè)總體 X N ,0.04 2 ,根據(jù)來自 X 的容量為 16 的樣本 ,測得樣本均值為 x 10.05,則的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間為(已知 (1.96) 0.975 ).、 (本題 12 分)兩臺機床加工同類型的零件 ,第一臺出現(xiàn)廢品的概率為 0.03,第二臺出現(xiàn)廢品 的概率為 0.02,加工出來的零件放在

3、一起 ,且各占一半 .求(1) 從中任意取一件零件為合格品的概率 ;(2) 若取出的零件已知為廢品 ,它是第二臺機床加工的概率 .第 1 頁 (共 6 頁 )、(本題 12分)設(shè)隨機變量 X 的概率密度為f (x)6x(1 x)， 0 x 10, 其它求 Y 2X 1 的概率密度 .四、(本題 12分)設(shè)二維隨機變量 ( X , Y)聯(lián)合概率密度為f(x,y)=ce (2x 3y)0，x 0, y 0 其它(1) 確定常數(shù) c.(2) 求邊緣概率密度 fX(x)及 fY(y),并問 X 與Y是否獨立 ,為什么?(3) 求P(0 X 1,0 Y 2) .五、(本題 12分)設(shè)隨機變量 X 的分布

4、律為X 1 0 1 2pk 0. 2 0. 5 0. 2 0. 1 求: (1)E 2X2 1 ; (2) D 2X2 1 .六、(本題 12 分)設(shè)隨機變量 X 的密度函數(shù)為第 2 頁 (共 6 頁 )f (x, )=x 1, 0 x 10 其它,x1,x2,.,xn是 X 的樣本觀察值 ,求其中 0為未知參數(shù) ,X1,X2,.,Xn是X 的簡單隨機樣本 參數(shù) 的極大似然估計值七、(本題 10 分)某廠生產(chǎn)的某種電子元件的壽命 X N( , 2), 其中 , 2都是未知的參數(shù) ,現(xiàn) 在觀測 25 個樣本,得樣本觀察值 x1, ,xn,計算得 x 1832,s2 5002 .試問該廠的這種電子

5、元件 的平均使用壽命在顯著水平0.02下是否為2000 (小時)?附表: t0.01(23) 2.4999,t0.01(24) 3.4922,t0.01(25) 2.4851第 3 頁 (共 6 頁 )一、填空題 (每小題 3 分,共 30 分)11、 ABC 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC2、0.13、4、 55、-6,25 6、 0.57、 0.875128、f(x, y) e , 0 x 1,y 0 9、 n 1, 210、 10.0304,10.06960, 其它二、設(shè) (本題 12 分)兩臺機床加工同類型的零件 ,第一臺出現(xiàn)廢品的概率為 0.03,第二臺出

6、現(xiàn)廢 品的概率為 0.02,加工出來的零件放在一起 ,且各占一半 .求 (1)從中任意取一件零件為合格品的概率 ;(2)若取出的零件已知為廢品 ,它是第二臺機床加工的概率 .解 設(shè) A i表示取出的產(chǎn)品為第 i 臺機床生產(chǎn) (i 1,2 ), B 表示取出的零件為廢品 ,則由已知有2分5分分7P( A1 ) P( 2A ) 1 ,P (B 1| A ) 0. 0P3,B2( A| .) 0 0.2. (1)由全概率公式得P(B) P(A1)P(B|A1) P(A )2P(B|A )2 1 0.03 1 0.02 0.02522故任意取出的一件零件為合格品的概率為P( B) 1 P(B ) 0.

7、 9.7.5(2)由貝葉斯公式得10.0220 .4P(B ) 0 . 02 5 三、(本題 12分)設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 6x(1 x)， 0 x 1f (x)0, 其它求 Y 2X 1 的概率密度 .解 函數(shù) y g(x) 2x 1在 0,1 內(nèi)的值域為 1,3 且 g (x) 2 0, 其反函數(shù)P( A2 B) P( A2 ) P( B 2A)12分2分11h(y) (y 1), h(y) 22 于是隨機變量 Y 的概率密度為fh(y )h y( ) ,y1 3fY (y)0,其他 6h(y ) 1h y( h) y ( ) y, 1,其他分48分32(y2 4y 3)40,1y

8、 31分2,其他四、(本題 12分)設(shè)二維隨機變量 ( X , Y)聯(lián)合概率密度為第 4 頁 (共 6 頁 )ce (2x 3y), x 0, y 0 f(x,y)=0，其它(1)(2)(3)解 (1) 由密度函數(shù)的性質(zhì)有(x,y)dxdy 0fce (2x 3 y) dxdy c 16故 c 6 (2)如果 x 0,則fX(x)f (x,y)dy 0;如果 x 0,則fX(x)f ( x, y)dy 0 6e(2x 3y)dy 2e2x故 X 的邊緣密度數(shù)為f (x) 2e 2x ,x 0fX (x) X0 ,x 0如果 y 0,則fY(y)f (x,y)dx 0;如果 y 0,則fY(y)

9、f(x,y)dx6e(2x 3y)dx 3e3y故 X 的邊緣密度數(shù)為3e 3y ,y 0fY(y) Y 0 , y 0由于 f (x,y) fX(x) fY(y),故 X 與Y相互獨立 . .分 32x3y(3) P(0 X 1,0 Y 2)= 0 0 f (x,y)dx20 0 6e(1 e 2)(1 e 6) 五、(本題 12分)設(shè)隨機變量 X 的分布律為X1 (2x 3y)dx dypk 0. 2 0. 5 0. 2 0. 122求: (1)E 2X2 1 ; (2) D 2X2 1 .解 (1) E(X2)(1)20.2020.5120.2220.1 0.8E 2X2 1 2E X2

10、 1 2 0.8 1 0.6 (2) E(X4)(1)40.2040.5140.2240.1 2.22D 2X 2 1 4D X 2第 5 頁 (共 6 頁 )分5分79分12分3分6分9分確定常數(shù) c 求邊緣概率密度 fX(x)及 fY(y),并問 X 與Y是否獨立,為什么? 求P(0 X 1,0 Y 2) .4 E X4E(X2) 24 2 0.2 85. 4 4 1分2六、(本題 12 分)設(shè)隨機變量 X 的密度函數(shù)為x 1, 0 x 1f(x, )= x , 0 x 1 其中0為未知參數(shù) ,X1,X2,.,Xn是 X 的簡單隨機0 其它 1 2 n樣本,x1,x2,.,xn是 X 的樣

11、本觀察值 ,求參數(shù) 的極大似然估計值 .解 似然函數(shù)nnL( )f (xi)nxi 1,(0 xi 1) 4分i 1 i 1取對數(shù)nln L nln ( 1) ln xi (0 xi 1) 6分i1dlnLdnnlnxii 1 innln xii110分所以 的極大似然估計值為 ?1分2ln xii1七、(本題 10 分)某廠生產(chǎn)的某種電子元件的壽命 X N( , 2), 其中 , 2都是未知的參數(shù) ,現(xiàn) 在觀測 25 個樣本,得樣本觀察值 x1, ,xn,計算得 x 1832,s2 5002 .試問該廠的這種電子元件 的平均使用壽命在顯著水平 0.02下是否為2000 (小時)?附表: t0.01(23) 2.4999,t0.01(24) 3.4922,t0.01(25) 2.4851解 總體 X N , 2 , 總體方差未知 , 檢驗總體期望值 是否等于 2000.(1) 提出待檢假設(shè) H0:0 2000;H1 :0 2000 1分X(2) 選取統(tǒng)計量 T X 0 ,在H 0成立的條件下 T t(n 1) 2分S/ n(3) 對于給定的檢驗水平 0.02 ,查表確定臨界值 t /2 (n 1) t0.01(24) 3.4