有關(guān)抽象函數(shù)的全面探析

1、有關(guān)抽象函數(shù)的全面探析 摘要：抽象函數(shù)是函數(shù)中的一類(lèi)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，更能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。 關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；定義域；值域；對(duì)稱(chēng)性         抽象函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)概念。我們把沒(méi)有給出具體解析式，其一般形式為y=f(x)，且無(wú)法用數(shù)字和字母的函數(shù)稱(chēng)為抽象函數(shù)。由于抽象函數(shù)的問(wèn)題通常將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖像集于一身。這類(lèi)問(wèn)題考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解和接受能力、對(duì)一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)以及數(shù)學(xué)的綜合能力。 解決抽象函數(shù)的問(wèn)題要求學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、抽

2、象思維能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)能力較高。所以近幾年來(lái)高考題中不斷出現(xiàn)，在2009年的全國(guó)各地高考試題中，抽象函數(shù)遍地開(kāi)花。但學(xué)生在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)常常感到束手無(wú)策、力不從心。下面通過(guò)例題全面探討抽象函數(shù)主要考查的內(nèi)容及其解法。 一、抽象函數(shù)的定義域 例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,3，求出函數(shù)g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a0）的定義域。 解析：由由a0         知只有當(dāng)0a1時(shí)，不等式組才有解，具體為x|1+ax≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說(shuō)明當(dāng)且僅當(dāng)0a1時(shí)，g(x)才能是x的函數(shù)，且其定義域

3、為（1+a,3-a。         點(diǎn)評(píng)：1.已知f(x)的定義域?yàn)閍,b，則fg(x)的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知fg(x)的定義域?yàn)閍,b，則f(x)的定義域即是g(x)在xa,b上的值域。 二、抽象函數(shù)的值域 解決抽象函數(shù)的值域問(wèn)題——由定義域與對(duì)應(yīng)法則決定。 例2若函數(shù)y=f(x+1)的值域?yàn)?1，1求y=(3x+2)的值域。 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(3x+2)中的定義域與對(duì)應(yīng)法則與函數(shù)y=f(x+1)的定義域與對(duì)應(yīng)法則完全相同，故函數(shù)y=f(3x+2)的值

4、域也為-1，1。 三、抽象函數(shù)的奇偶性 四、抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性         例3已知函數(shù)y=f(2x+1)是定義在r上的奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng),則g(x)+ g(-x)的值為（   ） a、 2    b、 0     c、  1     d、不能確定 解析：由y=f(2x+1)求得其反函數(shù)為y=， y=f(2x+1) 是奇函數(shù)，&ther

5、e4;y=也是奇函數(shù)，∴。∴ ， ，而函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，∴g(x)+ g(-x)=故選a 。         五、抽象函數(shù)的周期性 例4、（2009全國(guó)卷理）函數(shù)的定義域?yàn)閞，若與都是奇函數(shù)，則(    )          (a) 是偶函數(shù)       

6、;  (b) 是奇函數(shù)   (c)           (d) 是奇函數(shù)         解: 與都是奇函數(shù)，         函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，即是奇函數(shù)。故選d         定理1.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)閞，且滿足條

7、件f (xa)=f (xb)，則y=f (x) 是以t=ab為周期的周期函數(shù)。         定理2.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)閞，且滿足條件f (xa)= f (xb)，則y=f (x) 是以t=2（ab）為周期的周期函數(shù)。         定理3.若函數(shù)y=f (x)的圖像關(guān)于直線 x=a與 x=b  （a≠b)對(duì)稱(chēng)，則y=f (x) 是以t=2(ba)為周期的周期函數(shù)。     

8、  定理4.若函數(shù)y=f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（a,0)與點(diǎn)(b,0) , (a≠b)對(duì)稱(chēng)，則y=f (x) 是以 t=2(ba)為周期的周期函數(shù)。         定理5.若函數(shù)y=f (x)的圖像關(guān)于直線 x=a與 點(diǎn)(b,0),(a≠b)對(duì)稱(chēng)，則y=f (x) 是以 t=4(ba)為周期的周期函數(shù)。         性質(zhì)1：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx) (a≠b,ab≠0),則函數(shù)f

9、(x)有周期2(ab)；         性質(zhì)2：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)= f(ax)及f(bx)= f(bx)，(a≠b,ab≠0),則函數(shù)有周期2(ab).         特別：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)=f(ax) （a≠0）且f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期2a.         性質(zhì)3：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)=f(ax)及f(bx)= f(bx) (a≠b,ab≠0)， 則函數(shù)有周期4(ab).         特別：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)=f(ax) （a≠0）且f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期4a。