初中數(shù)學(xué)定理證明(完整版）

1、初中數(shù)學(xué)定理證明初中數(shù)學(xué)定理證明 第一篇： 初中數(shù)學(xué)定理證明初中數(shù)學(xué)定理證明數(shù)學(xué)定理三角形三條邊的關(guān)系定理： 三角形兩邊的和大于第三邊推論： 三角形兩邊的差小于第三邊三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180推論1直角三角形的兩個銳角互余推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和推論3三角形的一個外角大雨任何一個和它不相鄰的內(nèi)角角的平分線性質(zhì)定理在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等幾何語言： o是aob的角平分線peoa，pfob點p在o上pe=pf判定定理到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上幾何語言： peoa，pfobpe=pf點p在aob的角平分線上

2、等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等幾何語言： ab=ab=推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊幾何語言： ab=a，bd=d1= 2，adbab=a，1=2adb，bd=dab=a，adb1= 2，bd=d推論2等邊三角形的各角都相等，并且每一個角等于60幾何語言： ab=a=ba=b=60等腰三角形的判定判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等幾何語言： b=ab=a推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形幾何語言： a=b=ab=a=b推論2有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形幾何語言： ab=a，a=60ab=a=b推論3在直

3、角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半幾何語言： =90，b=30b=ab或者ab=2b線段的垂直平分線定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等幾何語言： mnab于，ab=b，點p為mn上任一點pa=pb逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上幾何語言： pa=pb點p在線段ab的垂直平分線上軸對稱和軸對稱圖形定理1關(guān)于某條之間對稱的兩個圖形是全等形定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，若它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上逆定理若兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直

4、線垂直平分，那這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱勾股定理勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊的平方，即a2+b2=2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形四邊形定理任意四邊形的內(nèi)角和等于360多邊形內(nèi)角和定理多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于180推論任意多邊形的外角和等于360平行四邊形及其性質(zhì)性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等推論夾在兩條平行線間的平行線段相等性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分幾何語言： 四邊形abd是平行四邊形adb，abda=，b=dao=o，bo=do平行四邊形的判定判定定理1兩

5、組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形幾何語言： adb，abd四邊形abd是平行四邊形判定定理2兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形幾何語言： a=，b=d四邊形abd是平行四邊形判定定理3兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形幾何語言： ad=b，ab=d四邊形abd是平行四邊形判定定理4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形幾何語言： ao=o，bo=do四邊形abd是平行四邊形判定定理5一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形幾何語言： adb，ad=b四邊形abd是平行四邊形矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角性質(zhì)定理2矩形的對角線相等幾何語言： 四邊形abd是矩形a=bda=b=d=90推論直角

6、三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半幾何語言： ab為直角三角形，ao=obo=a判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形幾何語言： a=b=90四邊形abd是矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形幾何語言： a=bd四邊形abd是矩形菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角幾何語言： 四邊形abd是菱形ab=b=d=adabd，a平分dab和db，bd平分ab和ad判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形幾何語言： ab=b=d=ad四邊形abd是菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形幾何語言： abd，ao=o，bo=do四邊形abd是菱

7、形正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角中心對稱和中心對稱圖形定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分逆定理如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱梯形等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等幾何語言： 四邊形abd是等腰梯形a=b，=d等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形幾何語言： a=b，=d四邊形abd是等腰梯形三角形、梯形中位線三角形中位線定理三角形的中位線平行與

8、第三邊，并且等于它的一半幾何語言： ef是三角形的中位線ef=ab梯形中位線定理梯形的中位線平行與兩底，并且等于兩底和的一半幾何語言： ef是梯形的中位線ef=比例線段 1、比例的基本性質(zhì)如果ab=d，那么ad=b 2、合比性質(zhì) 3、等比性質(zhì)平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例幾何語言： lpa推論平行與三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行與三角形的第三邊垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧幾何語言： oab，o過圓心推論1平分弦的

9、直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧幾何語言： oab，a=b，ab不是直徑的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧)弦的垂直平分線過圓心，并且平分弦所對的兩條弧幾何語言： a=b，o過圓心平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧幾何語言： 推論2圓的兩條平分弦所夾的弧相等幾何語言： abd圓心角、虎弦、弦心距之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距也相等推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條虎兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半推論1同

10、弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等推論2半圓所對的圓周角是直角;90的圓周角所對的弦是直角推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形圓的內(nèi)接四邊形定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角幾何語言： 四邊形abd是o的內(nèi)接四邊形a+=180，b+adb=180，b=ade切線的判定和性質(zhì)切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線幾何語言： loa，點a在o上直線l是o的切線切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點半徑幾何語言： oa是o的半徑，直線l切o于點aloa推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直徑必

11、經(jīng)過切點推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心切線長定理定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角幾何語言： 弦pb、pd切o于a、兩點pa=p，apo=po弦切角弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角幾何語言： bn所夾的是，a所對的是bn=a推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等幾何語言： bn所夾的是，am所對的是，=bn=am和圓有關(guān)的比例線段相交弦定理： 圓內(nèi)的兩條相交弦，被焦點分成的兩條線段長的積相等幾何語言： 弦ab、d交于點ppapb=ppd推論： 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中

12、項幾何語言： ab是直徑，dab于點pp2=papb切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項幾何語言： pt切o于點t，pba是o的割線pt2=papb推論從圓外一點因圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的焦點的兩條線段長的積相等幾何語言： pba、pd是o的割線pt2=papb。第二篇： 北師大版初中數(shù)學(xué)證明定理公理 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（同位角相等，兩直線平行）定理 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）定理 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么

13、這兩條直線平行（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）定理 對頂角相等公理 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等（兩直線平行，同位角相等） 定理 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 定理 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補） 定理 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行定理 三角形三個內(nèi)角的和等于180（三角形內(nèi)角和定理）定理 四邊形的內(nèi)角和等于360定理 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。定理 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。公理 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（sss）公理 兩邊及其家變對應(yīng)相等的兩

14、個三角形全等（sas）公理 兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（asa）公理 全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。定理 兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（xxs）定理 等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）定理 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一） 定理 等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60定理 有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）定理 有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。定理 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 定理 三個角都相等的三角形是等邊三角形定理 直角三角形兩條直角邊的平方和

15、等于斜邊的平方（勾股定理）定理 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形 定理 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（hl）定理 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等定理 到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。定理 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。定理 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等定理 在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上定理 三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等定理 平行四邊形的對邊相等定理 平行四邊形的對角相等定理 平行四邊形法的對

16、角線互相平分定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等定義 兩腰相等的梯形是等腰梯形定理 同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形定理 夾在兩條平行線間的平行線段相等定義 兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形定理 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形定理 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形定理 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形定理 兩組對角相等的四邊形是平行四邊形定理 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半定理 矩形的四個角都是直角定理 矩形的對角線相等定理 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半定義 有一個叫是直角的平行四邊形是矩形定理 有三個角是直角的四邊形是矩形定理 對角線相等的平行四

17、邊形是矩形定理 如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形 定理 菱形的四條邊都相等定理 菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角定義 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形定理 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形定理 有四條邊相等的四邊形是菱形定理 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等定理 正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角 定理 有一個角是直角的菱形是正方形定理 對角線相等的菱形是正方形定理 對角線互相垂直的矩形是正方形第三篇： 著名定理證明2 4.著名定理證明（14分）（該題有六個小題，須選做兩個，全對才給分，每個七分，多做滿分也是1

18、4分） （1） 試證明海倫公式： s三角形=p,試證明角平分線定理： 如圖： 若ad平分ba，證明： ab*d=a*bd （3）證明射影定理： 如圖： 在rt三角形egf中，hgef，egfg： 證明： hg2=eh*hf： 證明： fg2=hf*ef： 證明： eg2=eh*ef （4）證明： s圓錐=sh3（s=底面積，h=高）（提示，將圓錐等分為無限個“圓片”） （ 5） 證明： 2=sin（360）*（提示，作圓內(nèi)接正n邊形） （6）證明： 中線定理： 如圖，ai是三角形ab中線，證明： 2 5、三角形是一個神奇的圖形，如三角形有五心（旁心、重心、內(nèi)心、外心、垂心），在三角形中有許多重

19、要定理，如： 勾股定理、余弦定理，三角形有許多重要公式，如： 海倫公式，在三角形中還有許多重要的點，如： 費馬點、歐拉點但今天，我們來研究一個多點共圓的問題： 首先，要證明多點共圓，只能從四點共圓入手，因此我現(xiàn)在這里提出一個證明四點共圓的方法： 證明： 在任意凸四邊形中，連接對角線，若同邊所對的角相等，則這四點共圓，請以下圖為例證明： 如圖，bd=ad（4分） （2）如圖，在任意等腰三角形中（頂角小于90度），證明： 三垂線垂足、及三個歐拉點共圓（歐拉點： 三角形三垂線交于一點為垂心，垂心與三頂點的連線的三條線段的中點即為歐拉點）（10分）： 以下圖為例證明： 如圖，ab=a，h、ad、bm是

20、等腰三角形ab的高，p為垂心， o、n、g是三個歐拉點第四篇： 初中數(shù)學(xué)常用定理1圓是定點的距離等于定長的點的集合2圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合3圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合4同圓或等圓的半徑相等5到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓6和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線7到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線8到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線9定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。10垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧11推論1 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且