2020-2021學年數(shù)學選擇性第一冊教案：第1章章末綜合提升含解析

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年數(shù)學新教材人教a版選擇性必修第一冊教案：第1章 章末綜合提升含解析鞏固層知識整合 提升層題型探究(教師獨具)空間向量的線性運算和數(shù)量積【例1】(1)如圖,已知空間四邊形abcd，e，h分別是邊ab，ad的中點,f，g分別是邊cb，cd上的點，且，。求證：四邊形efgh是梯形(2)已知正四面體oabc的棱長為1，如圖求：；(）（)；|.思路探究(1)利用向量共線定理證明（2)利用數(shù)量積的定義及運算法則進行解（1）證明：e,h分別是邊ab，ad的中點，.則（）。（)，且|.又f不在eh上，故四邊形efgh是梯形（2）在正四面體oabc中，|1.,60

2、。|cosaob11cos 60。（）()（）()（）（2)2222o12211cos 60211cos 6012211cos 60111111。.1空間向量的線性運算包括加、減及數(shù)乘運算，選定空間不共面的三個向量作為基向量,并用它們表示出目標向量，這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求,解題時可結合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運算法則表示所需向量2空間向量的數(shù)量積(1）空間向量的數(shù)量積的定義表達式aba|bcos(a，n為銳角)或a，n（a,n為鈍角)應注意到線面角為銳角或直角2平面與平面的夾角一定是銳角嗎？提示不一定，可以是銳角，也可以是直角【例5】長方體abcd。a1b1c1d1中，a

3、b4，ad6，aa14，m是a1c1的中點，p在線段bc上，且cp2，q是dd1的中點，求：（1）m到直線pq的距離;(2)m到平面ab1p的距離解如圖，建立空間直角坐標系b.xyz,則a(4，0,0)，m(2,3，4）,p（0，4，0），q(4,6,2)（1）（2，3,2)，（4，2，2）,在上的射影的模。故m到pq的距離為.（2)設n(x，y,z）是平面ab1p的某一法向量,則n,n，(4,0，4)，(4，4，0)，因此可取n(1,1,1),由于（2，3，4)，那么點m到平面ab1p的距離為d，故m到平面ab1p的距離為.1本例中，把條件“bad120”改為“bad90，且pa1，其它條件

4、不變,求點a到平面pcb的距離解如圖，建立如圖所示的空間直角坐標系，則a(0,0，0),p(0，0，1）,c(1，1,0），b（0,2,0)，(0，0,1)，（0，2，1）,（1，1，0)設平面pbc的法向量為n(x，y，z)，則即。令y1,則x1,z2。n（1,1,2)，a點到平面pcb的距離為d.2在本例條件中加上“pa1”，求直線pa與平面pcb所成角解根據(jù)題目所建立的平面直角坐標系可知a（0,0，0),p(0，0,1),c,b(0，2,0),(0,0,1），（0，2,1)，設平面pbc的法向量為m（x,y，z)，令y1，則m（，1，2)，設pa與平面pcb的夾角為,則sin |cosm

5、，45.故直線pa與平面pbc所成的角為45。用向量法求空間角的注意點(1）異面直線所成角：兩異面直線所成角的范圍為090，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解（2）直線與平面所成的角：要求直線a與平面所成的角，先求這個平面的法向量n與直線a的方向向量a夾角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a(3）平面與平面的夾角：如圖，有兩個平面與,分別作這兩個平面的法向量n1與n2，則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補培優(yōu)層素養(yǎng)升華【例】如圖，在三棱錐p。abc中，abbc2，papbpcac4，o為ac的中點（1)證明：po平面abc；(2)若點m在棱bc上,且二面角m

6、pa-c為30，求pc與平面pam所成角的正弦值思路探究(1)首先利用等腰三角形的性質(zhì)可得poac，利用勾股定理可證得poob，然后結合線面垂直的判定定理即可證得結果;（2)根據(jù)（1)中的垂直關系建立空間直角坐標系，設出點m（含有參數(shù)）的坐標,根據(jù)已知條件求得此參數(shù)，然后求解即可解（1)證明:因為apcpac4,o為ac的中點，所以opac,且op2.如圖,連接ob.因為abbcac，所以abc為等腰直角三角形，且obac,obac2.由op2ob2pb2知poob.由opob，opac，obaco,知po平面abc。(2)如圖以o為坐標原點，ob，oc,op分別為x，y,z軸建立空間直角坐標

7、系oxyz。由已知得o(0，0,0)，b(2,0,0），a（0,2，0），c(0，2，0），p(0,0，2），(0,2,2）取平面pac的一個法向量（2，0,0)設m（a，2a,0)(0a2)，則（a，4a，0）設平面pam的法向量為n（x，y，z）由n0,n0得取ya,則za,x(a4)，可得n(（a4)，a,a）為平面pam的一個法向量，所以cos,n.由已知可得cos，n，所以，解得a,所以n。又(0，2,2)，所以cos，n。所以pc與平面pam所成角的正弦值為.利用向量方法求空間角問題是每年高考的熱點問題,無論是二面角、直線與平面所成的角，還是異面直線所成的角，最終都利用空間向量的夾

8、角公式來求解不同的是求二面角時，所取的兩個向量為兩個平面的法向量；求直線與平面所成的角時,所取的向量為直線的方向向量與平面的法向量;求異面直線所成的角時,則只需取兩條直線的方向向量即可跟進訓練如圖,長方體abcd.a1b1c1d1的底面abcd是正方形，點e在棱aa1上，beec1。（1）證明：be平面eb1c1；(2）若aea1e，求二面角b。ecc1的正弦值解（1)證明:由已知得,b1c1平面abb1a1,be平面abb1a1，故b1c1be.又beec1,b1c1ec1c1，所以be平面eb1c1.（2)由（1)知beb190.由題設知rtaberta1b1e，所以aeb45,故aeab，aa12ab。以d為坐標原點，的方向為x軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系dxyz，則c（0，1,0）,b（1，1,0），c1（0，1，2），e（1,0,1）,(1，0，0),(1，1,1），（0，0，2）設平面ebc的法向量為n(x,y，z）,則即所以可取n（0，1，1）設平面ecc1的法向量為m（x1