2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)第四冊(cè)教案：第9章9.1.1　正弦定理含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教b版必修第四冊(cè)教案：第9章 9.1.1正弦定理含解析9.1正弦定理與余弦定理9.1.1正弦定理學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法（重點(diǎn))2理解正弦定理及其變形的結(jié)構(gòu)形式,并能用正弦定理解決三角形度量和邊角轉(zhuǎn)化問(wèn)題，會(huì)判三角形的形狀（難點(diǎn))3能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個(gè)數(shù)(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)）1.借助正弦定理的推導(dǎo)，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的素養(yǎng)2通過(guò)正弦定理的應(yīng)用的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的素養(yǎng).關(guān)于正弦定理的發(fā)現(xiàn)歷史，一般認(rèn)為是中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布瓦法（940998)提出并證明了球面三角形的正

2、弦定理,而平面三角形的正弦定理的證明最先是納綏爾丁。圖西(12011274)給出的我國(guó)清代數(shù)學(xué)家梅文鼎(16331721）在他的著作平三角舉要中也給出了證明，而且還給出了正弦定理的完整形式思考：三角形中的邊與其所對(duì)的角的正弦值之間具有什么關(guān)系？1三角形的面積公式(1)sahabhbchc（ha,hb，hc分別表示a，b,c邊上的高)(2）sabsin cbcsin aacsin b。（3）s(abc)r（r為內(nèi)切圓半徑)2正弦定理3解三角形（1）一般地，我們把三角形的3個(gè)角與3條邊都稱為三角形的元素（2）已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為解三角形思考:利用正弦定理解三角形需要哪些條件？提示

3、需要兩角和一邊或兩邊和其中一邊的對(duì)角拓展1正弦定理的常用變形式在abc中，若內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b,c，其外接圓半徑為r。則（1)asin bbsin a，bsin ccsin b,asin ccsin a；(2）sin asin bsin cabc；（3）2r;(證明見(jiàn)類型4探究問(wèn)題)（4)a2rsin a,b2rsin b，c2rsin c；(可以實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）（5）sin a，sin b,sin c。（可以實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）2三角形中邊角的不等關(guān)系(1）若abc,可得abc，則sin asin bsin c；(2)若sin asin bsin c，可得abc，則abc。

4、1思考辨析(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1）正弦定理不適用于鈍角三角形（)(2)在abc中,等式bsin aasin b總能成立()提示(1).正弦定理適用于任意三角形(2）.由正弦定理知，即bsin aasin b。答案（1）(2)2在abc中,sin asin c，則abc是（)a直角三角形b等腰三角形c銳角三角形 d鈍角三角形b因?yàn)閍，c是abc的內(nèi)角，所以ac,又因?yàn)閟in asin c，所以ac，即abc為等腰三角形3在abc中,已知a3,b5，sin a，則sin b(）a。 b c。 d1b由正弦定理可得，sin b,故選b。4在abc中,若，則b的大小為_(kāi)由正弦定理知,sin

5、 bcos b，又b(0，),b。已知兩角及一邊解三角形【例1】（1)在abc中,已知a18，b60,c75，求b的值;（2)在abc中，已知c10,a45,c30,求a，b。解（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得a180（bc）180（6075）45.根據(jù)正弦定理，得b9。（2）法一：a45,c30，b180(ac)105.由得a10.sin 105sin 75sin (3045）sin 30cos 45cos 30sin 45,b2055。法二:設(shè)abc外接圓的直徑為2r，則2r20。易知b180（ac）105，a2rsin a20sin 4510,b2rsin b20sin 1052055。已

6、知三角形的兩角和任一邊解三角形的方法（1)若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí),可由正弦定理求另一角所對(duì)邊,再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角(2）若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊提醒：若已知角不是特殊角,往往先求出其正弦值（這時(shí)應(yīng)注意角的拆并，即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差），再根據(jù)上述思路求解1在abc中，a5，b45，c105，求邊c。解由三角形內(nèi)角和定理知abc180，所以a180（bc)180(45105）30。由正弦定理，得ca555()已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形【例2】在abc中,分別根據(jù)下列條件解三角形：(1)a1，b，a30；(2

7、)a1，b，b120.解(1）根據(jù)正弦定理，sin b.ba,ba30，b60或120.當(dāng)b60時(shí)，c180（ab）180(3060)90，c2;當(dāng)b120時(shí),c180(ab)180(30120）30a,ca1.(2)根據(jù)正弦定理，sin a。因?yàn)閎120，所以a30，則c30，ca1已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法（1）根據(jù)正弦定理求出另一邊所對(duì)的角的正弦值，若這個(gè)角不是直角,則利用三角形中“大邊對(duì)大角看能否判斷所求的這個(gè)角是銳角,當(dāng)已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí),則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，當(dāng)已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷，此時(shí)就有兩解，分別求解即可（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

8、求出第三個(gè)角（3)根據(jù)正弦定理求出第三條邊2已知abc分別根據(jù)下列條件解三角形：(1）a2，c，c；(2)a2,c,a。解（1),sin a。ca，ca.a。b，b1。（2），sin c。又ac,c或.當(dāng)c時(shí),b,b1。當(dāng)c時(shí)，b，b1.三角形的面積公式及其應(yīng)用【例3】在abc中，已知b30,ab2，ac2.求abc的面積解由正弦定理，得sin c，又absin bacab,故該三角形有兩解：c60或120.當(dāng)c60時(shí)，a90,sabcabacsin a2;當(dāng)c120時(shí)，a30，sabcabacsin a。所以abc的面積為2或.求三角形面積的公式求三角形的面積是在已知兩邊及其夾角的情況下求得

9、的，所以在解題中要有目的地為具備兩邊及其夾角的條件做準(zhǔn)備3在abc中,a,b，c分別是角a,b，c的對(duì)邊,若tan a3,cos c.（1)求角b的大小;(2）若c4，求abc的面積解（1)cos c，c，sin c，tan c2。又tan btan(ac）1，且0b，b.(2）由正弦定理，得b，由sin asin（bc）sin得sin a，abc的面積sabcbcsin a6。利用正弦定理判斷三角形的形狀探究問(wèn)題1已知abc的外接圓o的直徑長(zhǎng)為2r,試借助abc的外接圓推導(dǎo)出正弦定理提示如圖，連接bo并延長(zhǎng)交圓o于點(diǎn)d，連接cd，則bcd90，bacbdc，在rtbcd中，bcbdsinbd

10、c，所以a2rsin a,即2r,同理2r，2r，所以2r。2根據(jù)正弦定理的特點(diǎn),我們可以利用正弦定理解決哪些類型的解三角形問(wèn)題？提示利用正弦定理，可以解決：（1）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形；(2）已知兩角和一邊解三角形【例4】在abc中，若sin a2sin bcos c,且sin2asin2bsin2c，試判斷abc的形狀思路探究a(bc）邊角轉(zhuǎn)化，sin a，sin b，sin c(r為abc外接圓的半徑). 解法一:在abc中，根據(jù)正弦定理：2r（r為abc外接圓的半徑)sin2asin2bsin2c,，即a2b2c2，a90，bc90，由sin a2sin bcos c，得si

11、n 902sin bcos(90b)，sin2b.b是銳角，sin b,b45，c45，abc是等腰直角三角形法二：在abc中，根據(jù)正弦定理，得sin a，sin b，sin c（r為abc外接圓的半徑)sin2asin2bsin2c,a2b2c2，abc是直角三角形且a90。a180(bc)，sin a2sin bcos c,sin（bc）2sin bcos c。sin bcos ccos bsin c0，即sin(bc)0.bc0,即bc。abc是等腰直角三角形（變條件)若將題設(shè)中的“sin a2sin bcos c”改為“bsin bcsin c”，其余不變,試解答本題解由正弦定理，2r

12、（r為abc外接圓半徑)，得sin a，sin b，sin c。bsin bcsin c，sin2asin2bsin2c，bc，b2c2,a2b2c2，bc，a90.abc為等腰直角三角形利用正弦定理判斷三角形形狀（1)判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是不是等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形的區(qū)別（2)在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系（注意應(yīng)用abc這個(gè)結(jié)論)或邊的關(guān)系，再用三角恒等變換或代數(shù)式的恒等變形(如因式分解、配方等)求解，注意等式兩邊的公因式一

13、般不能約掉，而要移項(xiàng)提取公因式，否則有可能漏掉一種形狀利用正弦定理進(jìn)行邊角互化【例5】在abc中，若acos2ccos2，求證:ac2b.思路探究已知等式中有邊a，b,c，則要想到邊化角的變形公式a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；(r為abc外接圓半徑）cos2.證明因?yàn)閍cos2ccos2，所以由正弦定理得sin acos2sin ccos2，所以sin asin c,即sin asin acos csin csin ccos a3sin b，所以sin asin csin（ac)3sin b，所以sin asin c2sin b，所以由正弦定理可得ac2b.1已知或所求

14、等式中只有邊的關(guān)系就用邊化角的變形公式2已知或所求等式中只有角的正弦的關(guān)系就用角化邊的變形公式3已知或所求等式中既有邊的關(guān)系也有角的關(guān)系，就嘗試使用這兩組變形公式4在abc中，a，b，c所對(duì)的邊分別為a,b，c，若10,則a_。由正弦定理可得10，故10，0，即0。因?yàn)閎，c（0，)，所以0，所以20，即cos a。因?yàn)閍（0,），所以a.知識(shí)：1利用正弦定理解三角形的類型及解法類型已知條件一般解法已知三角形的兩角和任意一邊a，b，ab,c（ab）,ca,b，ba,c（ab)，ca，b，cc(ab)，a，b已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角a,b,asin b，c（ab)，c（解的個(gè)數(shù)不一定唯一

15、)2.利用sabsin cacsin bbcsin a可以計(jì)算三角形的面積方法:1利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化的兩條途徑（1）化角為邊將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識(shí)（分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系利用的公式為sin a，sin b，sin c。(2）化邊為角將題目中所有的條件,利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到角的關(guān)系利用的公式為a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.2判斷三角形形狀的方法通常有以下兩種(1)邊化角考察角的關(guān)系主要有:兩角是否相等;三個(gè)角是否相等；是否有直角等（2)角化邊考察邊的關(guān)系主要有：兩邊是否相等；三邊是否相等；是否滿足勾股定理等1在abc中，若sin asin b,則a與b的大小關(guān)系為(）aab bab cab d不能確定a由正弦定理得sin asin babab，故選a.2在abc中，a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c,若b30，b2，則的值是（)a2 b3 c4 d6c由正弦定理可得4.3已知a，b，c分別是abc的三個(gè)內(nèi)角a，