第8章彎曲應(yīng)力

1、1 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 回顧與比較 內(nèi)力內(nèi)力 A F 應(yīng)力應(yīng)力 P I T FAyFS M ? ? 思考：思考：彎曲梁截面上內(nèi)力的分布規(guī)律是怎樣的？彎曲梁截面上內(nèi)力的分布規(guī)律是怎樣的？ 第第 8 章章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 2 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 8.1 純彎曲 梁段梁段CDCD上，只有彎矩，沒(méi)有剪力上，只有彎矩，沒(méi)有剪力純彎曲純彎曲 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有彎矩，又有剪力上，既有彎矩，又有剪力 橫力彎曲橫力彎曲( (剪切彎曲剪切彎曲) ) 3 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 一、平面

2、假設(shè) 4 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 梁表面變形具有如下特征 (1) 橫線（橫線（m-m,n-n）仍是直線，只是發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，）仍是直線，只是發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)， 但仍與縱線（但仍與縱線（a-a，b-b）正交。）正交。 (2) 縱線（縱線（a-a,b-b）彎曲成曲線，且梁的一側(cè)伸長(zhǎng)，）彎曲成曲線，且梁的一側(cè)伸長(zhǎng)， 另一側(cè)縮短。另一側(cè)縮短。 5 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u梁變形后，其橫截面仍保持平面，并垂直 于變形后梁的軸線，只是繞著梁上某一軸 轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度。這一假設(shè)稱平面假設(shè)。 u另外還假設(shè)：梁的各縱向?qū)踊ゲ粩D壓，即 梁的縱截面上無(wú)正應(yīng)

3、力作用。 6 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 根據(jù)上述假設(shè)，梁彎曲后，其縱向?qū)右徊糠之a(chǎn)生根據(jù)上述假設(shè)，梁彎曲后，其縱向?qū)右徊糠之a(chǎn)生 伸長(zhǎng)變形，另一部分則產(chǎn)生縮短變形，二者交界伸長(zhǎng)變形，另一部分則產(chǎn)生縮短變形，二者交界 處存在既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層，這一層稱為處存在既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層，這一層稱為中中 性層性層。中性層與橫截面的交線為截面的。中性層與橫截面的交線為截面的中性軸中性軸。 思考：思考：橫截面上位于中橫截面上位于中 性軸兩側(cè)的各點(diǎn)受力情性軸兩側(cè)的各點(diǎn)受力情 況？中性層呢？況？中性層呢？ 7 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 1. 變形

4、幾何關(guān)系 a-a彎曲后長(zhǎng)度： 則a-a的應(yīng)變（縱向正應(yīng) 變）： dy 表明：表明：純彎曲時(shí)梁橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變沿截純彎曲時(shí)梁橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變沿截 面高度線性分布。面高度線性分布。 y d ddy )( 8.2 純彎曲時(shí)的正應(yīng)力純彎曲時(shí)的正應(yīng)力 8 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 2. 物理關(guān)系 對(duì)于線彈性材料， 當(dāng)應(yīng)力小于比例極 限時(shí)，根據(jù)胡克定 律有： E y E 表明：表明：正應(yīng)力沿著截面高度按線性分布正應(yīng)力沿著截面高度按線性分布 。 請(qǐng)問(wèn)：請(qǐng)問(wèn)：能否直接用來(lái)計(jì)算應(yīng)力？能否直接用來(lái)計(jì)算應(yīng)力？ 9 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)

5、力 3. 靜力關(guān)系 0 A iy dAzM MdAyM A iz 10 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 0 A z ydAS y E將將 A z A y ydAS zdAS 定義：定義： 分別稱為圖形對(duì)于分別稱為圖形對(duì)于y軸和軸和z軸軸 的的截面一次矩截面一次矩或或靜矩靜矩，單位，單位 m3或或mm3。 注：注：通過(guò)截面通過(guò)截面形心（圖形幾何形狀的中心）形心（圖形幾何形狀的中心）的坐標(biāo)軸，的坐標(biāo)軸， 圖形對(duì)其靜矩等于零。圖形對(duì)其靜矩等于零。 11 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 0 A iy dAzM y E將將 0 AA yzdA E dA

6、z A yz yzdAI其中其中 是橫截面對(duì)是橫截面對(duì)y和和z軸的軸的慣性積慣性積。 由于由于y軸是橫截面的對(duì)稱軸，必然有軸是橫截面的對(duì)稱軸，必然有Iyz=0。 12 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 MdAyM A iz y E將將 AA dAy E dAyM 2 其中其中 為橫截面對(duì)為橫截面對(duì)z軸（中性軸）的軸（中性軸）的 慣性矩（截面二次軸矩）慣性矩（截面二次軸矩）。 A z dAyI 2 11 z EI M 是梁軸線變形后的曲率。是梁軸線變形后的曲率。 EIz稱為梁的稱為梁的抗彎剛度?？箯潉偠取?13 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 y

7、 E將將 z EI M 1 u純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式 z I My 得到：得到： 問(wèn)：?jiǎn)枺赫龖?yīng)力正負(fù)如何確定？正應(yīng)力正負(fù)如何確定？ 說(shuō)明：說(shuō)明：只要梁有一縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用于這只要梁有一縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用于這 個(gè)平面內(nèi)，該公式就適用。個(gè)平面內(nèi)，該公式就適用。 14 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 8.3 橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力 u梁在橫彎曲作用下，其橫截面上不僅有正應(yīng)力， 還有剪應(yīng)力。 u進(jìn)一步的分析表明，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁（例如矩形截面 梁，l/h=5），剪應(yīng)力對(duì)正應(yīng)力和彎曲變形的影 響很小，可以忽略不計(jì)， u公 式 仍然適用。 u對(duì)于緩慢變化的變截面

8、梁，以及曲率很小的曲梁 也可近似適用。 z I My 15 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u橫力彎曲時(shí)，彎矩隨截面位置變化。 u一般情況下， 正應(yīng)力不僅與M有關(guān)，還與 有關(guān)，即與截面 的形狀和尺寸有關(guān)。 u用 表示，則 Wz稱為抗彎截面系數(shù)，單位m3。 Z maxmax max I yM Z max max W M max Z Z y I W z I y 16 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u常見(jiàn)截面的 Iz 和 Wz A dAyI 2 Z max Z Z y I W 圓截面圓截面 64 4 Z d I 32 3 Z d W 空心圓截面空

9、心圓截面 )1 ( 64 4 4 Z D I)1 ( 32 4 3 Z D W Dd / 17 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 常見(jiàn)截面的常見(jiàn)截面的 Iz 和和 Wz 矩形截面矩形截面 12 3 Z bh I 6 2 Z bh W 空心矩形截面空心矩形截面 1212 3 3 00 Z bhhb I )2/() 1212 ( 0 3 3 00 Z h bhhb W 18 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u強(qiáng)度條件 對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料（如碳鋼），只 要絕對(duì)值最大的正應(yīng)力不超過(guò)許用應(yīng)力即可； 對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度不等的材料（如鑄鐵），則 拉和壓

10、的最大應(yīng)力都應(yīng)不超過(guò)各自的許用應(yīng)力。 W M max max 19 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u例題8-3-1： BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 1.1.C 截面上截面上K點(diǎn)正應(yīng)力點(diǎn)正應(yīng)力 2.2.C 截面上截面上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力 3.3.全梁全梁上上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力 4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑 30 z y 180 120 K C 截面，單位截面，單位mm 20 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 mkN605 . 0160190 C M 計(jì)算支反力和計(jì)算支反力和C截面上

11、的彎矩截面上的彎矩 kN90 Ay F kN90 By F 解：解： BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K FAYFBY 1. C 截面上截面上K點(diǎn)正應(yīng)力點(diǎn)正應(yīng)力 45 33 Z m10832. 5 12 18. 012. 0 12 bh I MPa7 .61 10832. 5 10) 2 180 30(1060 5 33 Z KC K I yM 21 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 2. C 截面最大正應(yīng)力截面最大正應(yīng)力 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K C 截面彎矩

12、mkN60 C M C 截面慣性矩 45 Z m10832. 5 I MPa55.92 10832. 5 10 2 180 1060 5 33 Z max max I yM C C 22 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K 3. 全梁最大正應(yīng)力全梁最大正應(yīng)力 M x m67.5kN8/ 2 ql FS x 90kN 90kN 最大彎矩最大彎矩 mkN5 .67 max M 截面慣性矩截面慣性矩 45 m10832. 5 z I MPa17.104 10832. 5 10 2 180 10

13、5 .67 5 33 Z maxmax max I yM 23 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 4. C 截面曲率半徑截面曲率半徑 C 截面彎矩截面彎矩 mkN60 C M C 截面慣性矩截面慣性矩 45 Z m10832. 5 I m4 .194 1060 10832. 510200 3 59 C Z C M EI EI M 1 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K 24 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 y z 80 65 20 20 80 35 單位單位: mm 對(duì)于圖示對(duì)于圖示 T形截面梁

14、形截面梁,已知已知:Iz=290.610-8 m4 求橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。求橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。 例題例題 8-3-2 3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 x M 2.5 kNm 3 kNm 25 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 MPa1 .36 m N 106 .290 1035103 28 33 ）（ 上上B 解：解： B 截面：截面： MPa1 .67)1 .36( 35 65 下下B C 截面：截面： MPa0 .56 3 5 . 2 1 .67 3 5 . 2 下下下下BC 3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 x

15、M 2.5 kNm 3 kNm 26 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 MPa.1 .67 ,MPa0 .56 max max a l y z 80 65 20 20 80 35 單位單位: mm 36.1 MPa 67.1 MPa B截面上：截面上： 30.2 MPa 56.0 MPa C 截面上：截面上： x M 2.5 kNm 3 kNm 27 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 若例若例8-3-2中的梁截面為工字形，則橫截面的中的梁截面為工字形，則橫截面的 最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力是否一定在彎矩絕對(duì)值最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力是否一定在彎矩絕對(duì)值

16、 最大的橫截面上？最大的橫截面上？ 思考題思考題 8-3-1 3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 y z x M 2.5 kNm 3 kNm 28 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 圖圖a所示簡(jiǎn)支梁由所示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面號(hào)工字鋼制成，其截面 簡(jiǎn)化后的尺寸見(jiàn)圖簡(jiǎn)化后的尺寸見(jiàn)圖b。已知已知F=150 kN。試求危險(xiǎn)截試求危險(xiǎn)截 面上的最大正應(yīng)力面上的最大正應(yīng)力 max和同一橫截面上翼緣與腹板和同一橫截面上翼緣與腹板 交界處交界處a點(diǎn)處點(diǎn)處( (圖圖b) )的正應(yīng)力的正應(yīng)力 a。 例題例題 8-3-3 29 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎

17、曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 1. 在不考慮梁的自重在不考慮梁的自重(1.041kN/m)的情況下，該梁的情況下，該梁 的彎矩圖如圖所示，截面的彎矩圖如圖所示，截面C為危險(xiǎn)截面，相應(yīng)的最為危險(xiǎn)截面，相應(yīng)的最 大彎矩值為大彎矩值為 mkN375 4 m10kN150 4 max Fl M 解解: 30 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 由型鋼規(guī)格表查得由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面號(hào)工字鋼截面 3 cm2342 z W 4 cm65586 z I MPa160 m102342 mN10375 36 3 max max z W M MPa148 m1065586 m021. 0 2

18、m56. 0 mN10375 48 3 max z a a I yM 于是有于是有 危險(xiǎn)截面上點(diǎn)危險(xiǎn)截面上點(diǎn)a 處的正應(yīng)力為處的正應(yīng)力為 31 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 MPa148 MPa160 2 m56. 0 m021. 0 2 m56. 0 max max y ya a 該點(diǎn)處的正應(yīng)力該點(diǎn)處的正應(yīng)力 a亦可根據(jù)直亦可根據(jù)直 梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z 垂垂 直的方向按直線變化的規(guī)律，利用直的方向按直線變化的規(guī)律，利用 已求得的該橫截面上的已求得的該橫截面上的 max=160 MPa來(lái)計(jì)算：來(lái)計(jì)算： 32 工程力學(xué)教程電子教

19、案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為 而危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)槎ｋU(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)?MPa7 .165Pa107 .165 m102342 mN10388 6 36 3 max MPa7 . 5MPa1607 .165 遠(yuǎn)小于外加荷載遠(yuǎn)小于外加荷載F 所引起的最大正應(yīng)力。所引起的最大正應(yīng)力。 mkN388mkN13mkN375 84 2 max qlFl M 如果考慮梁的自重如果考慮梁的自重(q=1.041 kN/m)則危險(xiǎn)截面未則危險(xiǎn)截面未 變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)樽?，但相?yīng)的最大彎矩值變?yōu)?33 工程力學(xué)

20、教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u例題8-3-3：圖示為機(jī)車輪軸的簡(jiǎn)圖。試校核輪軸 的強(qiáng)度。已知 ,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,130 2 Fbammd 材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力 .MPa60 mm160 1 d 分析分析 彎矩彎矩 最大的截面最大的截面? ?M 抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) 最小的最小的 截面？截面？ z W z W M max max 34 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 （1 1）計(jì)算簡(jiǎn)圖）計(jì)算簡(jiǎn)圖 （2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖 解：解： F Fa a F Fb b （3 3）B B截面，截面，C C 截面需校

21、核截面需校核 （4 4）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核 B B截面：截面： MPa5 .41Pa105 .41 16. 0 322675 .62 32 6 33 1 max d Fa W M zB B MPa4 .46 13. 0 321605 .62 32 3 3 2 max d Fb W M zC C C C截面：截面： （5 5）結(jié)論：）結(jié)論：機(jī)車輪軸滿足強(qiáng)度條件機(jī)車輪軸滿足強(qiáng)度條件 35 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 8.4 彎曲切應(yīng)力 u梁受橫彎曲時(shí)，雖然橫截面上既有正應(yīng)力 ，又有 切應(yīng)力 。 u切應(yīng)力對(duì)梁的強(qiáng)度和變形的影響屬于次要因素， 因此對(duì)由剪力引起的切應(yīng)力，不

22、再用變形、物理 和靜力關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，而是在承認(rèn)正應(yīng)力公式仍 然適用的基礎(chǔ)上，假定切應(yīng)力在橫截面上的分布 規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件導(dǎo)出切應(yīng)力的計(jì)算公式。 36 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 一、矩形截面梁 u如圖所示的矩形截面梁，橫截 面上作用剪力Q?，F(xiàn)分析距中 性軸z為y的橫線 上的剪應(yīng)力分 布情況。 u經(jīng)分析可以假設(shè)： 1）橫截面上任一點(diǎn)處的剪應(yīng) 力方向均平行于剪力 。 2）剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分 布。 37 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 38 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 式中，式中， 為微塊的側(cè)面面積，為微

23、塊的側(cè)面面積， 為面積為面積 中距中距 中性軸為中性軸為 處的正應(yīng)力，處的正應(yīng)力， 。 39 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 由微塊沿由微塊沿x方向的平衡條件方向的平衡條件 ，得，得 故求得橫截面上距中性軸為故求得橫截面上距中性軸為y 處橫線上各點(diǎn)的剪應(yīng)力為處橫線上各點(diǎn)的剪應(yīng)力為 , s F dx dM bI SF z zs * 40 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 該切應(yīng)力的計(jì)算公式也適用于其它截面形式的梁。該切應(yīng)力的計(jì)算公式也適用于其它截面形式的梁。 式中，式中，F(xiàn)s為截面上的剪力；為截面上的剪力； Iz為整個(gè)截面對(duì)中性軸為整個(gè)截面對(duì)中性

24、軸 z的慣性矩；的慣性矩；b為橫截面在所求應(yīng)力點(diǎn)處的寬度；為橫截面在所求應(yīng)力點(diǎn)處的寬度； 為面積為面積 對(duì)中性軸的靜矩。對(duì)中性軸的靜矩。 * z S A bI SF z zs * 41 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 對(duì)于矩形截面梁，可取對(duì)于矩形截面梁，可取 dA=bdy1 ，于是，于是 2 2 2 111 * 42 * y hb dybydAyS h yA z bI SF z zs * 2 2 42 y h I F z s 42 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 2 2 42 y h I F z s 在截面上、下邊緣處，在截面上、下邊緣處，

25、y=h/2 , =0；在中；在中 性軸上，性軸上，y=0，剪應(yīng)力，剪應(yīng)力 值最大，其值為值最大，其值為 上式表明，沿截面高上式表明，沿截面高 度度, 剪應(yīng)力剪應(yīng)力按拋物線按拋物線 規(guī)律變化。規(guī)律變化。 bh Fbh I I hF s z z s 2 3 , 12 , 8 max 32 max 43 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 二、工字形截面梁 工字形截面梁由腹板和翼緣 組成。 矩形切應(yīng)力計(jì)算結(jié)果表明， 在翼緣上切應(yīng)力很小，在腹 板上切應(yīng)力沿腹板高度按拋 物線規(guī)律變化。 u最大剪應(yīng)力在中性軸上，其值 為 dI SF z zsmax * max 44 工程力學(xué)教程電子

26、教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 dI SF z zsmax * max 為中性軸一側(cè)截面面為中性軸一側(cè)截面面 積對(duì)中性軸的靜矩。對(duì)于積對(duì)中性軸的靜矩。對(duì)于 軋制的工字鋼，式中的軋制的工字鋼，式中的 可以從型鋼表中查得?？梢詮男弯摫碇胁榈?。 max * z S max * z z S I 計(jì)算結(jié)果表明，腹板承擔(dān)的剪力約為計(jì)算結(jié)果表明，腹板承擔(dān)的剪力約為 （0.950.97）Fs ，因此也可用下式，因此也可用下式 計(jì)算計(jì)算 的近似值。的近似值。max dh Fs 1 max 式中式中h1為腹板的高度，為腹板的高度，d為腹為腹 板的寬度。板的寬度。 45 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電

27、子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u補(bǔ)充：靜矩和形心的計(jì)算 A z A y ydAS zdAS 定義：定義： 分別稱為圖形對(duì)于分別稱為圖形對(duì)于y軸和軸和z軸軸 的的截面一次矩截面一次矩或或靜矩靜矩，單位，單位 m3或或mm3。 dA . .C y z y y z z 重心（形心）坐標(biāo)：重心（形心）坐標(biāo)： A S z A S y y z _ , 46 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u組合截面的靜矩 由靜矩的定義知：整個(gè)截面對(duì)某軸的靜矩應(yīng)等 于它的各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和: n i ii x n i ii y yA S xA S 11 及其形心坐標(biāo)） 個(gè)簡(jiǎn)單圖形的面積分別

28、為第和iyx A i i i ,( 47 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u組合截面的形心坐標(biāo)公式 yA S xA S xy n i ii x n i ii y yA S xA S 11 將將 代入代入 解得解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為：組合截面的形心坐標(biāo)公式為： n i i n i i i n i i n i i i A y A y A x A x 1 1 1 1 （注：被注：被“減去減去”部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值）部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值） 48 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u強(qiáng)度條件： 正應(yīng)力強(qiáng)度條件 切應(yīng)力強(qiáng)度條件 解決三類問(wèn)題：

29、 強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、許可載荷計(jì)算強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、許可載荷計(jì)算 某些特殊情形，如梁的跨度較小或載荷靠近支座時(shí)，某些特殊情形，如梁的跨度較小或載荷靠近支座時(shí)， 焊接或鉚接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪焊接或鉚接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪 能力較差（木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層）等，能力較差（木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層）等， 還需進(jìn)行彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。還需進(jìn)行彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。 W M max max dI SF z zsmax * max max 49 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u例題8-4-1：吊車梁如圖所示，若起吊重量P=30kN,吊

30、 車梁跨度l=8m，梁材料的=120MPa， =60MPa。 若梁由工字鋼制成，試選擇工字鋼的型號(hào)。 解解: 吊車梁可簡(jiǎn)化成一簡(jiǎn)支吊車梁可簡(jiǎn)化成一簡(jiǎn)支 梁，如圖所示。梁，如圖所示。 （1）首先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件確）首先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件確 定梁的截面：定梁的截面： 當(dāng)載荷作用于梁中點(diǎn)時(shí)，梁的彎當(dāng)載荷作用于梁中點(diǎn)時(shí)，梁的彎 矩為最大，其值為：矩為最大，其值為： 50 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 根據(jù)強(qiáng)度條件根據(jù)強(qiáng)度條件 有有 從型鋼表中查得從型鋼表中查得28a工字鋼的工字鋼的 。 （2）校核最大剪應(yīng)力）校核最大剪應(yīng)力 作用點(diǎn)的強(qiáng)度作用點(diǎn)的強(qiáng)度: 當(dāng)小車移至支座處時(shí)梁當(dāng)小

31、車移至支座處時(shí)梁 內(nèi)剪力最大，即內(nèi)剪力最大，即 Fsmax=P=30kN 51 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 根據(jù)剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件根據(jù)剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件 dI SF z zsmax * max max 由型鋼表查得由型鋼表查得28a工字鋼的工字鋼的 顯然最大剪應(yīng)力作用點(diǎn)是安全的。因而根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)顯然最大剪應(yīng)力作用點(diǎn)是安全的。因而根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng) 度條件所選擇的截面是合用的。度條件所選擇的截面是合用的。 本例結(jié)果表明，梁中最大剪應(yīng)力是較小的，這是本例結(jié)果表明，梁中最大剪應(yīng)力是較小的，這是 因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)型鋼時(shí)，已令腹板有足夠的厚度，以保證因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)型鋼時(shí)，已令腹板有足夠的厚度，

32、以保證 剪應(yīng)力的強(qiáng)度。剪應(yīng)力的強(qiáng)度。 52 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 圖圖a所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心 C的位置，如圖的位置，如圖b所示。已知橫截面對(duì)于中性軸所示。已知橫截面對(duì)于中性軸z 的的 慣性矩慣性矩Iz=5493104 mm4，b=2 m。鑄鐵的許用拉應(yīng)鑄鐵的許用拉應(yīng) 力力 t=30 MPa，許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力 c=90 MPa 。試求梁試求梁 的許用荷載的許用荷載F。 例題例題 8-4-2 53 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 86 134 C截面截面B截面截面 (d) 鑄鐵

33、的拉壓強(qiáng)度不等，其強(qiáng)度條件為鑄鐵的拉壓強(qiáng)度不等，其強(qiáng)度條件為 t,max t ， c,max c。由。由M圖可知，圖可知，C、B截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律如截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律如 圖圖d所示。所示。C、B截面上的最大拉應(yīng)力分別為截面上的最大拉應(yīng)力分別為 可見(jiàn)全梁的最大拉應(yīng)力為可見(jiàn)全梁的最大拉應(yīng)力為 。顯然。顯然 z I Fb1342/1 max,c 86 2/1 max,t z B I Fb z C I Fb1344/1 max,t B max,tmax,t 解解: B C 54 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 1. 由由 t,max t 確定確定F。 Pa1030 m

34、105493 )m1086)(m22/( 6 48- 3 max, t F F119200N=19.2kN 86 134 C截面截面B截面截面 (d) B C 55 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 F236893N=36.893kN 2. 由由 c,max c 確定確定F。 Pa1090 m105493 )m10134)(m22/( 6 48- 3 maxc, F F=19.2kN，可見(jiàn)梁的強(qiáng)度由拉應(yīng)力確定。可見(jiàn)梁的強(qiáng)度由拉應(yīng)力確定。 86 134 C截面截面B截面截面 (d) B C 56 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 u例題8-4-3：

35、懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?1m。膠合面的許可切應(yīng)力為0.34MPa，木材的 = 10 MPa，=1MPa，求許可載荷。 F l 100 50 50 50 z 1.1.畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖 解：解： S F F M Fl 57 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 2 1max max 6 bh lF W M z 2.2.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷 3.75kNN3750 6 1015010010 6 9272 1 l bh F bhFAFS2/32/3 2max 3.3.按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷 kN013/101501001023/2 66 2 bhF S F F M Fl F l 100 50 50 50 z 58 工程力學(xué)教程電子教案工程力學(xué)教程電子教案彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 4.4.按膠合面強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷按膠合面強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷 S F