第6章-流體流動微分方程-講義

1、 包括：連續(xù)性方程，運動微分方程Navier-Stokes方程(N-S方程)； 連續(xù)性方程及N-S方程是粘性流體流動質量守恒和動量守恒的數學表達， 具有普遍的適應性。 流體流動連續(xù)性方程：微元質量守恒分析連續(xù)性方程 運動微分方程的建立：微元受力與動量分析應力形式的運動方程 粘性流體的運動方程：流體本構方程及討論運動微分方程(N-S方程) 流動微分方程的應用：N-S方程應用概述與舉例 對流傳熱N-S方程 (Boussinesq Equation of Motion) 湍流時均化N-S方程(雷諾方程) Sichuan University 微元面微元面法向速度法向速度和和質量通量：質量通量： 6.

2、1.1直角坐標系中的連續(xù)性方程 質量守恒方程： , xyzxyz vvvvvv； 連續(xù)性方程：以上結果代入質量守恒方程有以上結果代入質量守恒方程有 微元體輸出 的質量流量 - 微元體輸入 的質量流量 + 微元體內的 質量變化率 0 微元體質量守恒分析：如圖如圖 ()()() d d d yxz vvv x y z xyz 微元面微元面凈輸出的質量流量凈輸出的質量流量: 微元體微元體質量變化率：質量變化率：d d dx y z t ()()() 0()0 yxz vvv xyztt vor y z x y vA x v z v () d x x v vx x () d y y v vy y ()

3、 d z z v vz z dz dx dy 0 y xz xyz v vv vvv txyzxyz 其展開形式為：其展開形式為： Sichuan University 6.1.1直角坐標系中的連續(xù)性方程(續(xù)) 連續(xù)性方程(續(xù))： 連續(xù)性方程連續(xù)性方程可表示為：可表示為： 根據物理量根據物理量 的的質點導數質點導數和矢量和矢量v的的散度散度定義定義: 物理意義物理意義: ( ( v) ) 是流體體積變形速率，是流體體積變形速率， v=0表示不可壓縮流體運動過表示不可壓縮流體運動過 程中，不管其形狀怎樣變化，其體積不會改變。因此，只要是不可壓縮程中，不管其形狀怎樣變化，其體積不會改變。因此，只要

4、是不可壓縮 流體，無論穩(wěn)態(tài)流動還是非穩(wěn)態(tài)流動，其連續(xù)性方程都一樣。流體，無論穩(wěn)態(tài)流動還是非穩(wěn)態(tài)流動，其連續(xù)性方程都一樣。 0 y xz xyz v vv vvv txyzxyz , y xz xyz v vDv vvv Dttxyzxyz v ()0 D Dt v 不可壓縮流體的連續(xù)性方程： 0constDDt， 00 y xz v vv xyz ovr Sichuan University 6.1.2柱坐標和球坐標系中的連續(xù)性方程 柱坐標系、球坐標系：如圖如圖 球坐標系的 連續(xù)性方程： 柱坐標系連續(xù)性方程: 對于不可壓縮流體對于不可壓縮流體: 11 ()()()0 rz rvvv trrrz

5、 2 2 111 ()(sin )()0 sinsin r r vvv trrrr 1 ()1 0 rz rvvv rrrz cossinrx sinsinry cosrz y z x r r v v v y z x r z v r v v cosrx sinry zz z Sichuan University 6.2.1 作用于流體微元上的力 動量守恒方程： 微元體輸出 的動量流量 - 微元體輸入 的動量流量 + 微元體內的 動量變化率 F 微元體體積力與表面力(應力)：如圖如圖 微元體微元體x、y、z方向的方向的體積力體積力: : d d dd d dd d d xyz fx y zfx

6、y zfx y z， 微元體上的微元體上的表面力表面力: : x 方向方向: : y z x d zx zx z z yz zz xx xy xz yy yx zy zx A d zy zy z z dxdy dz d zz zz z z x f y f z f 單位質量 體積力 d xx xx x x dd dd d dd dd d dd dd dd d d xx xxxx yx yxyx yxzxxxzx zxzx xy zy z x yx zx z y zx yx yx y z zxyz y 方向方向: : z 方向方向: : d d d xyyyzy x y z xyz d d d y

7、zxzzz x y z xyz Sichuan University 6.2.2 動量流量及動量變化率 微元體凈輸出的x、y、z方向的動量流量： 輸入輸入微元面的微元面的 x 方向動量流量為方向動量流量為: : 微元面上微元面上 x 方向的動量通量：方向的動量通量：如圖如圖 其中其中箭頭方向僅表示輸入輸出方向。箭頭方向僅表示輸入輸出方向。 y z x A xxv v xyv v dz dx dy xzv v () d yx yx v v v vy y () d zx zx v v v vz z () d xx xx v v v vx x d dd dd d xxyxzx v vy zv vx

8、zv vx y 輸出輸出微元面的微元面的 x 方向動量流量為方向動量流量為: : (d )d d (d )d d(d )d d xx xx yxzx yxzx v v v vxy z x v vv v v vyx zv vzx y yz 因此因此: 微元體微元體凈輸出的凈輸出的 x 方向動量流量：方向動量流量： 2 () ()() d d d yx xzx v v vv v x y z xyz 同理同理: 微元體微元體凈輸出的凈輸出的 y 方向動量流量：方向動量流量： 2 ()()() d d d xyyzy v vvv v x y z xyz 微元體微元體凈輸出的凈輸出的 z 方向動量流量：

9、方向動量流量： 2 () ()() d d d yz xzz v v v vv x y z xyz :d d d :d d d :d d d x y z v xx y z t v yx y z t v zx y z t 微元體x、y、z方 向動量的變化率： Sichuan University 6.2.3 以應力表示的運動方程 將微元體將微元體 x 方向動量方向動量的的凈輸出流量、變化率，凈輸出流量、變化率，以及以及x方向方向的的體積力、表面力體積力、表面力 代入動量守恒方程可得：代入動量守恒方程可得： 簡化后得：簡化后得：以應力表示的以應力表示的運動方程運動方程：( ( y、z 方向同理方向

10、同理) ) z 方向：方向： y 方向：方向： 2 ()()() yxyxxzxxxxzx x v vvv vv f xyztxyz ()() yxzxxxx xxyz vvvvvvv vvvv txyztxyz yxxxxxxxzx xyzx yyyyxyyyzy xyzy yzzzzzxzzz xyzz vvvv vvvf txyzxyz vvvv vvvf txyzxyz vvvv vvvf txyzxyz 流體質量流體質量 ( (單位體積單位體積) ) 流體質點流體質點 的加速度的加速度 ii maF , ,i x y z x 方向：方向： 運動方程運動方程+ +連續(xù)連續(xù) 性方程共性方

11、程共4個方個方 程，涉及程，涉及9個變個變 量：量：3個速度分個速度分 量，量，6個獨立應個獨立應 力分量：力分量： 為使方程封閉為使方程封閉 尚需補充方程。尚需補充方程。 , , , xyz xxyyzz yxxyzxxz zyyz vvv 體積力體積力+ +表面力表面力 ( (單位體積單位體積) ) Sichuan University 6.3.1 牛頓流體的本構方程 斯托克斯(Stokes)基本假設：為尋求一般條件下流體應力與變形速率之間為尋求一般條件下流體應力與變形速率之間 的關系的關系, Stokes假設假設: :應力與變形速率成線性關系應力與變形速率成線性關系; ;這種關系各向同性

12、這種關系各向同性; ; 靜止流場切應力為零且各正應力均等于靜壓力。靜止流場切應力為零且各正應力均等于靜壓力。 2 2 3 2 2 3 2 2 3 y xxz xx yy xz yy y xzz zz y x xyyx y z yzzy xz zxxz v vvv p xxyz vv vv p yxyz v vvv p zxyz v v yx v v zy vv xz 牛頓流體本構方程廣義剪切定律廣義剪切定律 () nn p n 0();0, ijnn ijp 0, 3 xxyyzz ii p d d xx xyyx vv yy ( )0 xxyz vvyvv， 本構方程討論： 流體表面正應力流

13、體表面正應力: 附加正應力：附加正應力： 2 2() 3 n n v n v 自身方向線自身方向線 應變率貢獻應變率貢獻 其它方向線其它方向線 應變率貢獻應變率貢獻 理想流體或靜止流體：理想流體或靜止流體： 運動流體運動流體: 切應力切應力: 僅與剪切應變速率相關僅與剪切應變速率相關 一維流動：一維流動： 表面取向無關表面取向無關 僅與線應僅與線應 變率有關變率有關 0, nn p ； 切應力互等定律，牛頓剪切定律切應力互等定律，牛頓剪切定律 必然不可壓縮必然不可壓縮 Sichuan University 6.3.2 流體運動微分方程 將牛頓流體本構方程引入應力形式的運動方程，可得現代流體力學

14、主干方將牛頓流體本構方程引入應力形式的運動方程，可得現代流體力學主干方 程：程：耐維耐維-斯托克斯方程（斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations，簡稱簡稱N-S方程）：方程）： D2 ()2 D3 D 2 ()2 D3 y xxxxz x yyyy xz y v vvvvvp f txxxxyyxzzx vvvv vvp f tyyxyxyyzzy v v D2 ()2 D3 y xzzzz z v vvvvvp f tzzxzxyzyzz v N-S方程方程是粘性流體流動及相關對流傳熱傳質分析的基本理論工具。是粘性流體流動及相關對流傳熱傳質分析的基本理論工具。 N-S方程

15、方程對流體對流體密度與粘度的變化密度與粘度的變化、流體的可壓縮性流體的可壓縮性未作限制未作限制, 實際應用中，實際應用中， 針對具體問題上述三方面特點可對方程進行簡化。針對具體問題上述三方面特點可對方程進行簡化。 N-S方程方程引入了牛頓流體本構方引入了牛頓流體本構方程程( (基于層流背景建立基于層流背景建立) )，故該方程只，故該方程只適用適用 于牛頓流體，于牛頓流體，且原則上且原則上僅適用于層流流動僅適用于層流流動。對于非牛頓流體。對于非牛頓流體, 可采用以應可采用以應 力表示的運動方程。力表示的運動方程。 Sichuan University 6.3.2 流體運動微分方程(續(xù)1) 常粘度

16、、不可壓縮流體的N-S方程：=constv=0，且，且= const 2 1 ()p t v vvfv N-S方程矢量形式及方程各項稱呼或意義如下：方程矢量形式及方程各項稱呼或意義如下： 非定常項非定常項 定常流動定常流動=0 靜止流場靜止流場 0 對流項對流項 靜止流場靜止流場=0 蠕變流時蠕變流時 0 源項源項 單位質量流單位質量流 體的體積力體的體積力 源項源項 單位質量流單位質量流 體的表面力體的表面力 擴散項擴散項( (粘性力項粘性力項) ) 靜止或理想流體靜止或理想流體=0 高速非邊界層內高速非邊界層內 0 222 222 222 222 22 22 1 1 1 xxxxxxx x

17、yzx yyyyyyy xyzy zzzzzz xyzz vvvvvvvp vvvf txyzxxyz vvvvvvv p vvvf txyzyxyz vvvvpvv vvvf txyzzxy 2 2 z v z 簡化為簡化為歐拉方程歐拉方程 （理想流體運動方程）（理想流體運動方程） 簡化為簡化為靜力學方程靜力學方程 pf D p Dt v f 0 0v Sichuan University 6.3.2 流體運動微分方程(續(xù)2) 柱坐標系不可壓縮流體的N-S方程： 11 () z r vv rv r rrz v 柱坐標系牛頓流體本構方程： 式中：式中： 分別是單位質量的分別是單位質量的 離心力

18、和哥離心力和哥氏力氏力。直角坐標轉換為柱坐標。直角坐標轉換為柱坐標 時自動產生，分析流體受力時不必另加。時自動產生，分析流體受力時不必另加。 2 ()() r vrv vr 、 2 22 2222 22 222 112 1112 rrrr rz rrr r r rz r vvvvvv vv trrrz vrvvvp f rr rrrrz vvvvv vv vv trrrz rvvvp f rr rrrr 2 22 222 11 zzzz rz zzz z v z vvvvv vv trrz vvvp fr zr rrrz 2 ()2 3 21 ()2 3 2 ()2 3 1 1 r rr r

19、z zz r rr z zz zr zrrz v p r vv p rr v p z vv r rrr vv zr vv rz v v v 本構方程本構方程用于流體應力分析用于流體應力分析 與計算與計算 Sichuan University 6.4.1 N-S方程應用概述 連續(xù)性方程連續(xù)性方程和和N-S方程方程是粘性流體流動質量守恒和動量守恒的數學表達是粘性流體流動質量守恒和動量守恒的數學表達, 具具 有普遍的適應性。有普遍的適應性。流體靜力學方程流體靜力學方程和和理想流體運動方程理想流體運動方程僅是其特例。僅是其特例。 N-S方程應用條件：N-S 方程因為引入了牛頓流體本構方程，且以層流流動

20、方程因為引入了牛頓流體本構方程，且以層流流動 為背景為背景, 故故只適用于牛頓流體只適用于牛頓流體, 且原則上且原則上只適用于層流流動。只適用于層流流動。 對非牛頓流體：對非牛頓流體：以應力表示的運動方程仍然適用。以應力表示的運動方程仍然適用。 N-S方程的封閉性：N-S 方程與連續(xù)性方程構成的微分方程組共有方程與連續(xù)性方程構成的微分方程組共有4 個方程個方程, 涉及涉及4 個流動參數個流動參數( (三個速度分量三個速度分量vx、vy、vz 和壓力和壓力p),),故方程組封閉故方程組封閉, 理論理論 上可以求解。對于上可以求解。對于 和和 可變的情況可變的情況, 應尋求變化關系作為補充方程；比

21、如應尋求變化關系作為補充方程；比如 理想氣體狀態(tài)方程理想氣體狀態(tài)方程等。等。 對于湍流流動：對于湍流流動：一般認為非穩(wěn)態(tài)一般認為非穩(wěn)態(tài)N-S方方程對湍流的瞬時運動仍然適用程對湍流的瞬時運動仍然適用（如直（如直 接數值模擬接數值模擬) )，但由于湍流脈動的高度隨機性，湍流的直接模擬還十分困難，但由于湍流脈動的高度隨機性，湍流的直接模擬還十分困難 ( (湍流場充滿不同尺度的隨機漩渦，目前的計算機內存還難以使計算網格和湍流場充滿不同尺度的隨機漩渦，目前的計算機內存還難以使計算網格和 步長小到足以分辨小尺度湍流漩渦步長小到足以分辨小尺度湍流漩渦) )。因此，通常是將湍流流動參數。因此，通常是將湍流流動

22、參數瞬時值瞬時值 分解成分解成時均值時均值 與與隨機脈動值隨機脈動值 來處理來處理, ,即：即： ( (如如雷諾平均運動方雷諾平均運動方 程程) )，但，但 的引入又導致運動方程不封閉的引入又導致運動方程不封閉, , 從而使得人們力圖通過推理和實從而使得人們力圖通過推理和實 驗尋求驗尋求 與與 的關系的關系, ,以作為使方程封閉的補充方程以作為使方程封閉的補充方程, ,即所謂即所謂湍流模型問題。湍流模型問題。 Sichuan University 6.4.1 N-S方程應用概述 (續(xù)1) N-S方程的求解： N-S 方程雖然封閉但還無普遍解。對工程實際問題，必須根據其特殊方程雖然封閉但還無普遍

23、解。對工程實際問題，必須根據其特殊 性對性對N-S方程進行簡化方程進行簡化, 獲得針對具體問題的微分方程獲得針對具體問題的微分方程( (組組) ), 并確定適宜并確定適宜 的初始條件和邊界條件的初始條件和邊界條件; 這其中關鍵的是對問題的正確理解和合理簡化這其中關鍵的是對問題的正確理解和合理簡化。 至于簡化后獲得的模型方程至于簡化后獲得的模型方程, 可能有解可能有解, 也可能求不出解，也許只能也可能求不出解，也許只能 得到近似解，或通過數值計算方法獲得離散解。得到近似解，或通過數值計算方法獲得離散解。 例6-1 圓管內的一維穩(wěn)態(tài)流動分析圓管內的一維穩(wěn)態(tài)流動分析 例6-2 同心圓筒壁面間的切向流

24、動分析同心圓筒壁面間的切向流動分析 例6-3 突然啟動平板引起的流動問題突然啟動平板引起的流動問題 例6-4 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程 第6章作業(yè)： 6-3， 6-4， 6-7， 6-9 6.4.2 N-S方程應用舉例 Sichuan University 強制對流和自然對流的N-S方程：Boussinesq Equation of Motion Navier-Stokes Equation ( and =const, isothermal system) 6.4.3 N-S方程的擴展應用 2 D D p t v gv ()() T T T TT T TTTT TT Substit

25、ution of above equations into the N-S equation gives Boussinesq equation: For a non-isothermal system, =(T3). Expand in Taylor series about the reference temperature as followsT 11 ()()() ppp T T TTT or ()TT By introducing the coefficient of volume expansion the density, , may be expressed as It app

26、lies to forced convection, free convection, and the region between these two extremes as well. 2 D () () D pT T t v gvg Sichuan University Boussinesq 運動方程在自然對流與強制對流問題中的應用： 6.4.3 N-S方程的擴展應用(續(xù)1) is particularly true for vertical, rectilinear flow; for the flow near submerged objects in large bodies of

27、 fluid. () 0p g 2 ()() () DD T TpT T DtDt vv gvg ()0,()0 DD pT T DtDt vv gg 2 () D T T Dt v vg For free convection up to moderate , the fluid motion is slow. Moderate =? For air: For water: 11 (),10% p TT T TTTT 4 0 00 105,for 50 KTTT Sichuan University Boussinesq 運動方程在自然對流與強制對流問題中的應用： This is parti

28、cularly true, for example, in gas turbines and near hypersonic missiles. 6.4.3 N-S方程的擴展應用(續(xù)2) In conclusion, for the commonly encountered situations with moderate and Dv/Dt, the motion equation can be generally written as 2 () () () pD TDt for forced convection for natural convection gv v g 2 ()() (

29、) DD T TpT T DtDt vv gvg In forced convection, the buoyancy is small compared to inertial force. ()0T Tg 2 () D p Dt v vg ,()0, DD T T DtDt vv g IfIf 2 () D p Dt v vg,()0, DD T T DtDt vv g IfIf Sichuan University 6.4.3 N-S方程的擴展應用(續(xù)2) 湍流時均化N-S方程雷諾平均運動方程(雷諾方程)： 00 11 dd0 tt uu tuu t tt and 由此可得時間平均運算由

30、此可得時間平均運算( (時均化時均化) )的基本法則為：的基本法則為： ( (1) )瞬時值之和的平均值瞬時值之和的平均值等于等于其平均值之和，即：其平均值之和，即： ( (2) )平均值的平均平均值的平均等于等于其本身，即：其本身，即： ( (3) )平均值與瞬時值乘積的平均值平均值與瞬時值乘積的平均值等于等于兩者平均值之積兩者平均值之積, ,即：即： ( (4) )兩脈動值乘積的平均值一般兩脈動值乘積的平均值一般不不等于等于0，即：，即： ( (5) )導數的平均值導數的平均值等于等于平均值的導數，即：平均值的導數，即： 1212 uuuu uuuuuu 1212 u uu u 12 0u

31、 u 00 11 dd, tt uuuuu tu t xtxxtxtt 瞬時參數時均化法則：瞬時參數時均化法則： 設瞬時速度設瞬時速度 ，其中，其中 為時均速度，為時均速度， 為脈動速度為脈動速度, 且且 u u u u u 基于非穩(wěn)態(tài)基于非穩(wěn)態(tài)N-S方方程對湍流瞬時運動仍然適用的觀點程對湍流瞬時運動仍然適用的觀點, ,雷諾將湍流運動參數雷諾將湍流運動參數 表示為時均值表示為時均值 與隨機脈動值與隨機脈動值 之和，即：之和，即： ，將其引入，將其引入N-S方程方程 并進行時均化處理，獲得了湍流時均化運動方程并進行時均化處理，獲得了湍流時均化運動方程雷諾方程。雷諾方程雷諾方程。雷諾方程 是湍流模

32、型研究的主干方程。是湍流模型研究的主干方程。 t 表示時間平表示時間平 均周期，它比均周期，它比 脈動周期大得脈動周期大得 多，但又比非多，但又比非 穩(wěn)態(tài)流動的特穩(wěn)態(tài)流動的特 征時間小得多征時間小得多 平均周期平均周期t 不不 是是x 、t 的函數的函數 Sichuan University N-S方程的時均化：方程的時均化：以以x方向方向N-S方程為例：方程為例： 2 2 () ()() xy xx x zx v v vv v x Dvp v Dtyzx 2 x x Dvp v Dtx 222 222 xxxxxxx xyz vvvvvvvp vvv txyzxxyz 展開：展開： 最后得：最后得： () () xxxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xyzxyzx