第四章軸對(duì)稱問題

1、 第四章第四章 軸對(duì)稱問題的有限單元法軸對(duì)稱問題的有限單元法 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 4-1軸對(duì)稱問題有限單元法軸對(duì)稱問題有限單元法 4-2空間問題常應(yīng)變四面體單元空間問題常應(yīng)變四面體單元 軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)體可以看成由任意軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)體可以看成由任意 一個(gè)縱向剖面繞著縱軸旋轉(zhuǎn)一周而一個(gè)縱向剖面繞著縱軸旋轉(zhuǎn)一周而 形成。此旋轉(zhuǎn)軸即為對(duì)稱軸，縱向形成。此旋轉(zhuǎn)軸即為對(duì)稱軸，縱向 剖面稱為子午面，如圖剖面稱為子午面，如圖4-1表示一圓表示一圓 柱體的子午面柱體的子午面abcd被分割為若干個(gè)被分割為若干個(gè) 三角形單元，再經(jīng)過繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)，三角形單元，再經(jīng)過繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)， 圓柱體被離散成若干個(gè)三棱圓環(huán)單圓柱體被離散

2、成若干個(gè)三棱圓環(huán)單 元，各單元之間用圓環(huán)形的鉸鏈相元，各單元之間用圓環(huán)形的鉸鏈相 連接。對(duì)于軸對(duì)稱問題，采用圓柱連接。對(duì)于軸對(duì)稱問題，采用圓柱 坐標(biāo)較為方便。以彈性體的對(duì)稱軸坐標(biāo)較為方便。以彈性體的對(duì)稱軸 為為z軸，其約束及外載荷也都對(duì)稱軸，其約束及外載荷也都對(duì)稱 于于z軸，因此彈性體內(nèi)各點(diǎn)的各項(xiàng)軸，因此彈性體內(nèi)各點(diǎn)的各項(xiàng) 應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都 與環(huán)向坐標(biāo)與環(huán)向坐標(biāo)無關(guān)，無關(guān)， 圖4-1 軸對(duì)稱結(jié)構(gòu) z j a b r i i j m m d c uu r z ww r z v ( , ) ( , ) 0 只是徑向坐標(biāo)只是徑向坐標(biāo)r和軸向坐標(biāo)和軸向坐標(biāo)z

3、的函數(shù)。也就是說，在任何一個(gè)過的函數(shù)。也就是說，在任何一個(gè)過 z軸的子午面上的位移、應(yīng)變和應(yīng)力的分布規(guī)律都相同。因此軸的子午面上的位移、應(yīng)變和應(yīng)力的分布規(guī)律都相同。因此 軸對(duì)稱問題可把三維問題簡(jiǎn)化為以（軸對(duì)稱問題可把三維問題簡(jiǎn)化為以（z，r）為自變量的二維）為自變量的二維 問題。問題。 由于軸對(duì)稱性，彈性體內(nèi)各點(diǎn)只可能存在徑向位移由于軸對(duì)稱性，彈性體內(nèi)各點(diǎn)只可能存在徑向位移u和和 軸向位移軸向位移w。此時(shí)，位移。此時(shí)，位移u、w只是只是r、z的函數(shù)，而環(huán)向位移的函數(shù)，而環(huán)向位移 v=0。即：。即： （4-1） 由于軸對(duì)稱性，我們只需分析由于軸對(duì)稱性，我們只需分析 任意一個(gè)子午面上的位移、應(yīng)力和

4、任意一個(gè)子午面上的位移、應(yīng)力和 應(yīng)變情況。其有限元分析計(jì)算步驟應(yīng)變情況。其有限元分析計(jì)算步驟 和平面問題相似。首先進(jìn)行結(jié)構(gòu)區(qū)和平面問題相似。首先進(jìn)行結(jié)構(gòu)區(qū) 域的有限元剖分。采用的單元是三域的有限元剖分。采用的單元是三 角形、矩形或任意四邊形環(huán)繞對(duì)稱角形、矩形或任意四邊形環(huán)繞對(duì)稱 軸軸z旋轉(zhuǎn)一周而得到的整圓環(huán)，通旋轉(zhuǎn)一周而得到的整圓環(huán)，通 常采用的單元是三角形截面的整圓常采用的單元是三角形截面的整圓 環(huán)。在單元類型確定之后，單元剖環(huán)。在單元類型確定之后，單元剖 分可以在子午面內(nèi)進(jìn)行，如圖分可以在子午面內(nèi)進(jìn)行，如圖4-1 表示的表示的abcd子午面被分割為若干個(gè)子午面被分割為若干個(gè) 三角形，繞對(duì)稱

5、軸三角形，繞對(duì)稱軸z旋轉(zhuǎn)后即形成旋轉(zhuǎn)后即形成 若干個(gè)三棱圓環(huán)單元。若干個(gè)三棱圓環(huán)單元。 一、單元位移模式一、單元位移模式 圖4-1 軸對(duì)稱結(jié)構(gòu) z j a b r i i j m m d c 這樣，各單元在子午面這樣，各單元在子午面rz平平 面上形成三角形網(wǎng)格，就如面上形成三角形網(wǎng)格，就如 同平面問題中在同平面問題中在xy平面上的平面上的 網(wǎng)格一樣。采用位移法有限網(wǎng)格一樣。采用位移法有限 元分析，其基本未知量為結(jié)元分析，其基本未知量為結(jié) 點(diǎn)位移。單元的結(jié)點(diǎn)位移列點(diǎn)位移。單元的結(jié)點(diǎn)位移列 陣如下：陣如下： r ri i 圖4-2 m j rj rm v u z 相鄰的單元由圓環(huán)形相鄰的單元由圓環(huán)

6、形 的鉸鏈相連接。單元的棱的鉸鏈相連接。單元的棱 邊都是圓，故稱為結(jié)圓。邊都是圓，故稱為結(jié)圓。 每個(gè)結(jié)圓與每個(gè)結(jié)圓與rz平面的交點(diǎn)稱平面的交點(diǎn)稱 為為結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)。 如圖如圖4-2中的中的 i, j, m點(diǎn)。點(diǎn)。 T mmjjii T T m T j T i e wuwuwu uu r zrz ww r zrz ( , ) ( , ) 123 456 uN uN uN u wN wN wN w iijjmm iijjmm （4-3） 對(duì)于每一個(gè)環(huán)形單元，需要假定其位移模式。仿照平面三對(duì)于每一個(gè)環(huán)形單元，需要假定其位移模式。仿照平面三 角形單元，取線性位移模式角形單元，取線性位移模式 z zzr r

7、 r ijmijm , ,u uuw ww ijmijm , 126 , 類似于平面三角形單元的推導(dǎo)，即將單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)類似于平面三角形單元的推導(dǎo)，即將單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 及結(jié)點(diǎn)位移及結(jié)點(diǎn)位移 代入式（代入式（4-4）中）中,可以可以 解出六個(gè)待定系數(shù)解出六個(gè)待定系數(shù) 。再將這些待定系數(shù)回代到式。再將這些待定系數(shù)回代到式 （4-4）中，就可以得到由結(jié)點(diǎn)位移和形函數(shù)所表示的單元內(nèi)任）中，就可以得到由結(jié)點(diǎn)位移和形函數(shù)所表示的單元內(nèi)任 一點(diǎn)的位移表達(dá)式一點(diǎn)的位移表達(dá)式 （4-5） （4-4） mji A zcrba N iii i , 2 mm jj ii zr zr zr A 1 1 1 2 1 其中

8、形函數(shù) （4-6） 而 （4-7） （4-8） （4-9） （4-10） jmmj mm jj i zrzr zr zr a mjizz z z b mj m j i , 1 1 jm m j i rr r r c 1 1 m j i mji mjie NNN NNN N w u u 000 000 （4-5）式也可以寫成矩陣形式 (4-11) m m j j i i mmjjii mji mji mji rz z r w u w u w u bcbcbc fff ccc bbb A r w z u r u z w r u 000 000 000 2 1 二、單元應(yīng)變與應(yīng)力二、單元應(yīng)變與應(yīng)力

9、為了將單元任意點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力用結(jié)點(diǎn)位移表示，可按以為了將單元任意點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力用結(jié)點(diǎn)位移表示，可按以 下步驟推導(dǎo)。下步驟推導(dǎo)。 將式（將式（4-5）代入軸對(duì)稱問題的幾何方程，便得到單元體內(nèi)）代入軸對(duì)稱問題的幾何方程，便得到單元體內(nèi) 的應(yīng)變，即的應(yīng)變，即 （4-12） f a r b c z r i i i i e B B b c f cb i i i i ii 1 2 0 0 0 式中 （i，j，m） 上式可簡(jiǎn)寫成 （4-13） 其中 B為三角形斷面環(huán)元的應(yīng)變矩陣，它可寫成分塊矩陣形 式B=Bi Bj Bm （ i，j，m） rrrrr zzzzz ijm ijm 1 3 1 3 ff a r

10、 b c z r i j m ii i i i , , 于是 作了這樣的近似后，各單元的應(yīng)變分量就是定值。這樣就可作了這樣的近似后，各單元的應(yīng)變分量就是定值。這樣就可 以把軸對(duì)稱問題的各單元看成是常應(yīng)變矩陣，所求得的應(yīng)變以把軸對(duì)稱問題的各單元看成是常應(yīng)變矩陣，所求得的應(yīng)變 是形心處的應(yīng)變值。當(dāng)軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的單元?jiǎng)澐直容^小時(shí)，這是形心處的應(yīng)變值。當(dāng)軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的單元?jiǎng)澐直容^小時(shí)，這 種近似所引起的誤差是很小的。特別當(dāng)結(jié)構(gòu)上各單元的形心種近似所引起的誤差是很小的。特別當(dāng)結(jié)構(gòu)上各單元的形心 離離Z軸較遠(yuǎn)時(shí)，產(chǎn)生的誤差就更小了。軸較遠(yuǎn)時(shí)，產(chǎn)生的誤差就更小了。 可以看出，單元中的應(yīng)變分量可以看出，單元中的應(yīng)

11、變分量 ，都是常量，但是環(huán)，都是常量，但是環(huán) 向應(yīng)變向應(yīng)變 不是常量，而是坐標(biāo)不是常量，而是坐標(biāo)r和和z的函數(shù)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，的函數(shù)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算， 通常采用單元的形心坐標(biāo)值通常采用單元的形心坐標(biāo)值 來近似代替（來近似代替（4-12）中的）中的r， z值，即令值，即令 r z , rzzr 、 r Z rZ e ijm e DD BSSS mji bAcA cAfbA cfbA cAfAb A A S ii iii iii iii i , 2 22 11 1 11 3 單元的各應(yīng)力分量可通過將式（單元的各應(yīng)力分量可通過將式（5-12）代入軸對(duì)稱問題）代入軸對(duì)稱問題 的物理方程得到的物理方程得到

12、 （4-14） 式中：式中：S是三角形截面環(huán)形單元的應(yīng)力矩陣。它的子矩陣為是三角形截面環(huán)形單元的應(yīng)力矩陣。它的子矩陣為 A u u A u u A u E uu 123 1 12 2 1 1 4 112 ， 其中 從（從（4-14）式可知，只有剪應(yīng)力在單元中是常數(shù)，而其他）式可知，只有剪應(yīng)力在單元中是常數(shù)，而其他 三個(gè)正應(yīng)力在單元中都不是常數(shù)，與坐標(biāo)三個(gè)正應(yīng)力在單元中都不是常數(shù)，與坐標(biāo)r和和z有關(guān)。同樣有關(guān)。同樣 采用形心坐標(biāo)和來代替，每個(gè)單元近似地被當(dāng)作常應(yīng)力單采用形心坐標(biāo)和來代替，每個(gè)單元近似地被當(dāng)作常應(yīng)力單 元，所求得的應(yīng)力是單元形心處的應(yīng)力近似值。元，所求得的應(yīng)力是單元形心處的應(yīng)力近似

13、值。 RRRR e i T j T m T T * e iijjmm T uvuvuv e Nu * * B e 三、單元?jiǎng)偠染仃嚾?、單元?jiǎng)偠染仃?運(yùn)用虛功原理來求解軸對(duì)稱問題結(jié)構(gòu)上任何單元的剛度矩陣。運(yùn)用虛功原理來求解軸對(duì)稱問題結(jié)構(gòu)上任何單元的剛度矩陣。 單元在結(jié)點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)，結(jié)點(diǎn)力列陣為：?jiǎn)卧诮Y(jié)點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)，結(jié)點(diǎn)力列陣為： 假設(shè)單元假設(shè)單元e的三個(gè)結(jié)點(diǎn)的虛位移為的三個(gè)結(jié)點(diǎn)的虛位移為 單元任一點(diǎn)的虛位移為單元任一點(diǎn)的虛位移為 單元的虛應(yīng)變?yōu)閱卧奶搼?yīng)變?yōu)?（4 -15） （4-16） * e T e T Rrdrdzd * * e T e e T T e e T T

14、 e RBD Brdrdzd BD B rdrdz 2 根據(jù)虛功原理，三角形斷面形狀的單元體所吸收的虛應(yīng)變根據(jù)虛功原理，三角形斷面形狀的單元體所吸收的虛應(yīng)變 能等于單元結(jié)點(diǎn)力所做的虛功能等于單元結(jié)點(diǎn)力所做的虛功 （4-17） 上式等號(hào)左邊為單元結(jié)點(diǎn)力所作的虛功，與平面問題不同的是上式等號(hào)左邊為單元結(jié)點(diǎn)力所作的虛功，與平面問題不同的是 這里所說的結(jié)點(diǎn)力是指作用在整個(gè)結(jié)圓上的力，等式右邊是指這里所說的結(jié)點(diǎn)力是指作用在整個(gè)結(jié)圓上的力，等式右邊是指 整個(gè)三角形環(huán)狀單元中應(yīng)力的虛功。整個(gè)三角形環(huán)狀單元中應(yīng)力的虛功。 將（4-14）式和（4-16）式代入（4-17）式，則得 （4-18） RBD B rd

15、rdz K eT e e e 2 KBD B rdrdz eT 2 K kkk kkk kkk e iiijim jijjjm mimjmm * e 由于虛位移列陣 是任意給定的，所以有 K e 式中， 就是單元?jiǎng)偠染仃?寫成分塊形式，則為 （4-19） （4-20） （4-21） kBD B rdrdzs ti j m st e s T t 2, , kBDB rs ti j m st e s T t 2, , k rAb bA fffAbA c cAc bfA c b Ac bfA b cc cA b b st sttsttsttssst sttststst 2 311212 122 其中

16、每個(gè)子矩陣為 zr, 在軸對(duì)稱問題中，矩陣B不是常數(shù)而是坐標(biāo)r, z的函數(shù)，所以 （5-22）式的積分運(yùn)算比平面問題要復(fù)雜得多。為了簡(jiǎn)化計(jì)算 仍取單元形心的坐標(biāo) 代替矩陣B中的坐標(biāo)r, z，得到一個(gè)近 似的單元?jiǎng)偠染仃?。此時(shí)，（5-22）式可以寫成 （4-22） （4-23） 上式也可以寫成P53 (4-16) （5-24） RBD B rdrdz e e n T e n ee 11 2 KR ne ne eee RK, 求得單元?jiǎng)偠染仃嚭?，就可以采用與平面問題相同的剛度集 成法，進(jìn)行整體剛度矩陣的組集。如果將結(jié)構(gòu)劃分成 個(gè)單 元和n個(gè)結(jié)點(diǎn)，就可得到 個(gè)類似（5-19）式的方程組。把 各單元的

17、 等都擴(kuò)大成整個(gè)結(jié)構(gòu)的自由度的維數(shù)， 然后疊加得到： 這就是求解結(jié)點(diǎn)位移的方程組，寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 （4-25） KkBD B rdrdz e e n T e n ee 11 2 RR e e ne 1 整體剛度矩陣 整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣 與平面問題一樣，軸對(duì)稱問題的整體剛度矩陣K也是對(duì)稱的 帶狀稀疏矩陣，在消除剛體位移后，它是正定的。 整體剛度矩陣K也可以寫成分塊形式 (4-26) (4-27) K KKKKK KKKKK KKKKK KKKKK KKKKK ijmn iiiijimin jjijjjmjn mmimjmmmn nninjnmnn 111111 1 1 1 1 Kk sn tn st

18、st e ne 1 1212, , ;, , （4-28） 其中子矩陣 （4-29） * e T e T c TT Rfr gfq rd dsfp rd drdz 2 Rr NgNq rdsNp rdrdz FQP e c TTT e e e 222 與平面問題類似，當(dāng)結(jié)構(gòu)外載荷不作用在結(jié)點(diǎn)上時(shí)，也與平面問題類似，當(dāng)結(jié)構(gòu)外載荷不作用在結(jié)點(diǎn)上時(shí)，也 需要將這些作用在環(huán)形單元上的集中力、表面力和體積力分需要將這些作用在環(huán)形單元上的集中力、表面力和體積力分 別等效移置到結(jié)點(diǎn)上。移置的原則也是要求這些外力和等效別等效移置到結(jié)點(diǎn)上。移置的原則也是要求這些外力和等效 結(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上所作的虛功相等，

19、即結(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上所作的虛功相等，即 rc g式中， 為集中載荷 作用點(diǎn)的徑向坐標(biāo)值。 將式（4-15）代入上式可得 （4-30） （4-31） PNrR T cc e 2 rdsPNR Te 2 rdrdzpNR Te 2 RRFQPFQP e e n e e e e n ee 11 集中力的等效結(jié)點(diǎn)載荷 表面力的等效結(jié)點(diǎn)載荷 體積力的等效結(jié)點(diǎn)載荷 對(duì)各單元等效結(jié)點(diǎn)載荷進(jìn)行組集，得到等效載荷列陣 （4-32） 下面具體計(jì)算幾種常見集中力、表面力和體積力的等效結(jié) 點(diǎn)載荷： 1) 自重 pr 0 pz 如果軸對(duì)稱問題的體力為單元自重，則其體力分量 ， ，其中 為重度。單元自重移置到i, j

20、, m結(jié)點(diǎn)上的 等效結(jié)點(diǎn)載荷為 : P P P P Nrdrdz i e i j m e T 2 0 P p p Nrdrdz i e ir iz e i 2 0 其中 i e iz ire i rr A p p P 3 6 0 整理后得： 同理可求得 、 ，故可計(jì)算出 。 ir p j p m p P54（4-23） P p p N r rdrdz i e ir iz e i 2 0 2 N r drdzL rLr Lr Ldrdz rrrrrr rr r rrr r iiiijjmm ijmijj mm i ij m 2 2 222 22 30 322 30 92 2) 離心力 , 2r

21、prpz 0 如果結(jié)構(gòu)體繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的角速度為，則 ， 則等效結(jié)點(diǎn)載荷為： 利用積分公式 (4-36) P p p rrr r i e ir iz e ij m 2 22 15 92 0 所以 Pj e P m e P e 用同樣的方法可求出 、 ，從而得到 。 P55（4-26） 圖5-3 表面力等效節(jié)點(diǎn)載荷 z r 0 qr qi m j i l 3 表面力表面力 ij 設(shè)軸對(duì)稱問題三角形環(huán)狀單元的ij邊上作用有線性分布的r向 面力如圖5-3所示。面力在結(jié)點(diǎn)i的集度為qi，在結(jié)點(diǎn)j的集度為 qj集， 邊長(zhǎng)為l。 qq Nq Nq Lq L riijjiijj rds qLqL N R R

22、R jjii i e iz ire i 0 2 ij利用形函數(shù)進(jìn)行插值可得邊 任意點(diǎn)p的r向面力集度qr qz 0 由于z向無面力，所以 結(jié)點(diǎn)i的等效結(jié)點(diǎn)載荷 （4-34） N L rdsL L rLr L ds rL L dsrL L ds l rr ijijiijj iijjij ij 22 12 所以 Q l qrr l q rr l q rrq rr i e iijjis iijjij 2 12 3 12 0 6 3 0 Q l q rrq r r j e iijjij 6 3 0 Q l m e 6 0 0 同理，可求得結(jié)點(diǎn)j和m上的等效結(jié)點(diǎn)載荷 P55（4-30） 軸對(duì)稱問題小結(jié)軸

23、對(duì)稱問題小結(jié) 二、應(yīng)變二、應(yīng)變 一、位移模式一、位移模式 無關(guān)。有關(guān)，與、與位移、應(yīng)變和應(yīng)力都只 知為環(huán)向。根據(jù)對(duì)稱性可為軸向，為徑向， zr zr 軸向坐標(biāo)徑向坐標(biāo)，zr 相同）與三角形單元面積坐標(biāo))(3 , 2 , 1( iLN ii 三角形環(huán)形單元 T TTT e T iiii wu 321 ee NINININ w u d 321 ee T T rzzr BBBB r w z u r u z w r u 321 ) 3 , 2 , 1( 00 0 00 0 i bc cfb r N z N z N r N r N B T ii iii T ii iii i 三角形環(huán)形單元內(nèi)的應(yīng)變不是常

24、數(shù)！ 1 r r 0 3 2 z 1 2 r 3 r zaraaw zaraau 654 321 ) 3 , 2 , 1(2)(iAzcrbaN iiii 321 321 321 321 321 111 zzz rrr ccc bbb aaa 代數(shù)余子式代數(shù)余子式 ) 3 , 2 , 1( i r zc b r a f i i i i 其中： 軸對(duì)稱三角形單元軸對(duì)稱三角形單元( (續(xù)續(xù)1 1) ) 四、單元?jiǎng)偠染仃囁?、單元?jiǎng)偠染仃?dzrdrdBDBdVBDBk T V T V dzrdrddV rdrdzBDBk T A 2無關(guān)環(huán)形單元的被積函數(shù)與 )( 3 1 ),( 3 1 321321

25、 zzzzzrrrrr 三、應(yīng)力三、應(yīng)力 ee eT rzzr SSSS BDD 321 )1 (2 21 01 0 1 1 0 11 1 )21)(1 ( )1 ( 稱 對(duì) E D ) 3 , 2 , 1( i r zc b r a ff i i i ii 其中： 坐標(biāo)取形心坐標(biāo)積分近似計(jì)算：?jiǎn)卧獌?nèi) rBDBk T 2近似單剛近似單剛 rBDBk j T iij 2矩陣子塊矩陣子塊 五、等效結(jié)點(diǎn)力五、等效結(jié)點(diǎn)力 T zrzrzr e RRRRRRR 332211 單元結(jié)點(diǎn)等效力 e eee PQFR rdrdzpNP rdsqNQ GNrF Te Te Te 2 2 2 0 體積力等效結(jié)點(diǎn)力 表面力等效結(jié)點(diǎn)力 集中力等效結(jié)點(diǎn)力 、體積力1 )3,2, 1( 0 2 irdrdzN P P P i e iz ire i 332211 LrLrLrr )3,2, 1()( 332211 idrdzrLrLrLLrdrdzN ii )3,2, 1()3 12 )3 1212126 1 321