五、 材料力學切應力分析

1、 1 1、切應力互等定理、剪切虎克定律切應力互等定理、剪切虎克定律 2 2、圓軸、圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析扭轉時橫截面上的切應力分析 4 4、基于最大、基于最大切應力的強度計算切應力的強度計算 5 5、結、結論與討論論與討論 第五章第五章 彈彈性桿件橫截面上的切應力分析性桿件橫截面上的切應力分析 3 3、薄、薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力流與彎曲中心壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力流與彎曲中心 傳動軸傳動軸 請判斷哪些零件請判斷哪些零件 將發(fā)生扭轉變形將發(fā)生扭轉變形 切應力互等定理、剪切虎克定律切應力互等定理、剪切虎克定律 切應力互等定理、剪切虎克定律切應力互等定理、剪切虎克定律 請判斷

2、哪些截面請判斷哪些截面 將發(fā)生剪切變形將發(fā)生剪切變形 兩類切應力：兩類切應力：扭轉切應力、彎曲切應力；扭轉切應力、彎曲切應力； 請判斷軸受哪些力請判斷軸受哪些力 將發(fā)生什么變形將發(fā)生什么變形 Mn x z 切應力互等定理、剪切虎克定律切應力互等定理、剪切虎克定律 考察承受切應力作用的微元體考察承受切應力作用的微元體 A D C B x y z dx dydz ; 0)(ddd 0 dydxdzxzy M； 切應力互等定理：切應力互等定理：在兩個相互垂直的平在兩個相互垂直的平 面上，切應力成對存在，兩應力垂直于面上，切應力成對存在，兩應力垂直于 兩個平面的交線，共同指向或者背離該兩個平面的交線，

3、共同指向或者背離該 交交線線： = 切應力互等定理、剪切虎克定律切應力互等定理、剪切虎克定律 A B C D 剪切胡克定律剪切胡克定律： 彈彈性范圍內，切應力與切應變成正性范圍內，切應力與切應變成正比比 G )1(2 E G 式式中中 G 為材料的剪切彈性材為材料的剪切彈性材料料的的模模量，量， 為剪切應變。為剪切應變。 彈彈性模量、泊松比、剪切彈性模性模量、泊松比、剪切彈性模量三個量三個 常數(shù)存常數(shù)存在如下關系，只有兩個是獨立的。在如下關系，只有兩個是獨立的。 圓軸圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析扭轉時橫截面上的切應力分析 請注意圓軸受扭轉后表面請注意圓軸受扭轉后表面 的矩形將發(fā)生什么變形？的

4、矩形將發(fā)生什么變形？ Mx 平面假設：平面假設：圓軸扭轉時，橫截面圓軸扭轉時，橫截面 保保 持平面，并且只能發(fā)生剛性轉動。持平面，并且只能發(fā)生剛性轉動。 Mx 橫截面是剛性轉動，直橫截面是剛性轉動，直 徑始終是直線。徑始終是直線。 觀察圓軸表面平行軸線的直線和垂直這觀察圓軸表面平行軸線的直線和垂直這 些直線的環(huán)線在扭矩作用下的變化。些直線的環(huán)線在扭矩作用下的變化。 圓軸變形后表面的直線變成螺旋線；環(huán)圓軸變形后表面的直線變成螺旋線；環(huán) 線沒有變化，小矩形線沒有變化，小矩形ABCD變形為平行變形為平行 四邊形四邊形ABCD。 A B C D A B C D 圓軸扭轉時橫截面上的切應力分圓軸扭轉時橫

5、截面上的切應力分 1 1、應變特征、應變特征 兩軸向間距為兩軸向間距為dxdx的截面相對轉角為的截面相對轉角為 d , ,考察考察 微元微元 ABCD 的變形得：的變形得： 圓軸扭轉時，切應變沿半徑方向線性分布。圓軸扭轉時，切應變沿半徑方向線性分布。 r xd d 圓軸扭轉時橫截面上的切應力分圓軸扭轉時橫截面上的切應力分 r 2 2、切應力分布特征、切應力分布特征 由剪切虎克定律得：由剪切虎克定律得： 圓軸扭轉時，切應力沿半徑方向線性分布。圓軸扭轉時，切應力沿半徑方向線性分布。 由切應力互等定理，與橫截面相垂直的平面上由切應力互等定理，與橫截面相垂直的平面上 也存在著切應力。也存在著切應力。

6、x GG d d 圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析 3 3、切應力公式、切應力公式 切應力在圓軸橫截面上的和就是該橫截面上的扭矩。切應力在圓軸橫截面上的和就是該橫截面上的扭矩。 得：得： 4 4、最大切應力、最大切應力 圓軸扭轉時橫截面上最大切應力在橫截面的邊緣上。圓軸扭轉時橫截面上最大切應力在橫截面的邊緣上。 P I M x x AA MdA dx d GdA ）（ PP max max W M I M xx max P P I W Wp 扭轉截面系數(shù)扭轉截面系數(shù) 32 4 d IP 圓形截面： max max P x GI M dx d 圓軸扭轉時橫截面上的切應

7、力分析圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析 例題例題5-15-1、圖示傳動機構，由圖示傳動機構，由B輪輸入功率，通過錐型齒輪將輪輸入功率，通過錐型齒輪將 其一半功率傳遞給其一半功率傳遞給C軸，另一半傳遞給軸，另一半傳遞給H軸。已知：軸。已知：P114kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求求: 各各軸軸橫截面上的最大切應力橫截面上的最大切應力。 3 3 ；360r/minr/min 12 36 120 3 1 13 z z nn 解：解：1、計算扭矩、計算扭矩 P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 k

8、W n1=n2= 120r/min Mx1=954914/120=1114 N.m Mx2=95497/120=557 N.m Mx3=95497/360=185.7 N.m 2、計算各軸的最大切應力、計算各軸的最大切應力 圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析 16.54MPaPa 1070 111416 E 9-3 1P 1 max W M x .69MPa22Pa 1050 55716 H 9-3 2P 2 max W M x .98MPa12Pa 1053 718516 C 9-3 3P 3 max . W M x 1 1、切應力流、切應力流 承受彎曲的薄壁截面桿

9、件，與剪承受彎曲的薄壁截面桿件，與剪 力相對應的切應力有下列顯著特征：力相對應的切應力有下列顯著特征： 桿件表面無切應力作用，由切應桿件表面無切應力作用，由切應 力互等定理，薄壁截面上的切應力必力互等定理，薄壁截面上的切應力必 定平行于截面周邊的切線方向，并且定平行于截面周邊的切線方向，并且 形成切應力流。形成切應力流。 切應力沿壁厚方向均勻分布。切應力沿壁厚方向均勻分布。 薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力 以如圖壁厚為以如圖壁厚為 的懸臂梁槽鋼為例，的懸臂梁槽鋼為例， 考察考察x x方向平衡方向平衡 薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切

10、應力 ）式得：帶入（ 帶入上式得：（注意到將 其中： a I SdMM dFF I SM F dAySIyM dAddFF dAF adxdFFFF z zzz NN z zz N A zzz A xxNN A xN NNNx ; )( ; ) ;/ ;)( ; )(; 0)()(; 0 * * * * * x * * * * * z z I SF * Q 薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力 z z I SF * Q 軸的靜矩；分，其中一部分對中性 面分為兩部橫截面厚度方向將橫截 薄壁過所要求切應力點，沿 薄壁截面的壁厚； 矩；橫截面對中性軸的慣性 橫截面上的剪力

11、； * z z Q S I F 2 2、彎曲中心、彎曲中心 對于薄壁截面，由于切應力方向必須對于薄壁截面，由于切應力方向必須 平行于截面周邊的切線方向，故切應力相平行于截面周邊的切線方向，故切應力相 對應的分布力系向橫截面所在平面內不同對應的分布力系向橫截面所在平面內不同 點簡化，將得到不同的結果。如果向某一點簡化，將得到不同的結果。如果向某一 點簡化結果所得的主矢不為零而主矩為零，點簡化結果所得的主矢不為零而主矩為零， 則這一點稱為彎曲中心。圖示薄壁截面梁則這一點稱為彎曲中心。圖示薄壁截面梁 的彎曲中心并不在形心上，因此外力作用的彎曲中心并不在形心上，因此外力作用 在形心上時主矢不為零而主矩

12、也不為零，在形心上時主矢不為零而主矩也不為零， 梁就會發(fā)生彎曲和扭轉變形。梁就會發(fā)生彎曲和扭轉變形。 薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力與彎曲中心薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力與彎曲中心 彎曲中心：彎曲中心： 以圖示薄壁槽鋼為例，以圖示薄壁槽鋼為例， 先分別確定腹板和翼緣上的切應力：先分別確定腹板和翼緣上的切應力： 由積分求作用在翼緣上的合力由積分求作用在翼緣上的合力FT ： 薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力與彎曲中心薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力與彎曲中心 y s yy z z c c z c ; )6( 6 )6( 4/6 2 2 2 22 Q 1 bhh sF bhh yhbhF Q

13、翼緣： ； ）（ 腹板： b T dsF 0 2 ; M 1 2 作用在腹板上的剪力為作用在腹板上的剪力為FQ ; ;將將FT 和和 FQ 向截面形心向截面形心 C 簡化，可以得到主簡化，可以得到主 矢矢FQ 和主矩和主矩M ； 其中其中M=FT h+FQe； 將將FT 、FQ 向向O點簡化使點簡化使M=0；點點O即即 為彎曲中心。為彎曲中心。 常見薄壁截面彎曲中心位置可以查表常見薄壁截面彎曲中心位置可以查表 5-15-1。 為了避免型鋼的這類問題發(fā)生，工程為了避免型鋼的這類問題發(fā)生，工程 中薄壁截面梁一般采取復合梁，如圖中薄壁截面梁一般采取復合梁，如圖 示。示。 薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切

14、應力與彎曲中心薄壁截面梁彎曲時橫截面上的切應力與彎曲中心 y s yy z z c c z c M 1 2 ; Q T F hF ee 薄壁截面梁彎曲切應力公式可以推廣應薄壁截面梁彎曲切應力公式可以推廣應 用到實心截面梁。用到實心截面梁。 1 1、寬度和高度分別為、寬度和高度分別為b b和和h h的矩形截面的矩形截面 （如圖）（如圖） 實心截面梁的彎曲切應力誤差分析實心截面梁的彎曲切應力誤差分析: 在常用尺寸范圍有較好精度。在常用尺寸范圍有較好精度。 薄壁截面梁彎曲切應力公式推廣應用到實心截面梁薄壁截面梁彎曲切應力公式推廣應用到實心截面梁 A A FQ max 2 3 b h h/b 1.0

15、2/1 1.04 1/1 1.12 1/2 1.57 1/4 2.30 2 2、直徑為、直徑為 d 的圓截面的圓截面( (如圖如圖) ) 注意切應力方向，在橫截面邊界上各點的注意切應力方向，在橫截面邊界上各點的 切應力沿著邊界切線方向。（如圖所示）切應力沿著邊界切線方向。（如圖所示） 3 3、外徑為、外徑為D D、內徑為、內徑為d d的空心圓截面的空心圓截面( (如圖如圖) ) 薄壁截面梁彎曲切應力公式推廣應用到實心截面梁薄壁截面梁彎曲切應力公式推廣應用到實心截面梁 A A FQ max 3 4 ; 4 )(2 22 Q max dD A A F ；其中 ;4 max max ）（的矩形截面：

16、、高為對于寬為 h l hb 4 4、工字形截面、工字形截面 工字形截面由上下翼緣和之間的腹板組工字形截面由上下翼緣和之間的腹板組 成，豎直方向的切應力主要分布在腹板上。成，豎直方向的切應力主要分布在腹板上。 5 5、彎曲實心截面正應力與切應力的量級比、彎曲實心截面正應力與切應力的量級比 較，如圖較，如圖 梁是細長桿（如梁是細長桿（如L=10dL=10d），則彎曲正應力），則彎曲正應力 為為6060倍切應力值，切應力是次要因素。倍切應力值，切應力是次要因素。 薄壁截面梁彎曲切應力公式推廣應用到實心截面梁薄壁截面梁彎曲切應力公式推廣應用到實心截面梁 ; * maxQ max z z I SF W

17、 lFQ max I SF maxQ max ;6 max max ）（的圓截面：對應直徑為 d l d 基于最大切應力的強度計算基于最大切應力的強度計算 彎曲構件橫截面上最大切應力作用點一般沒有正應力作彎曲構件橫截面上最大切應力作用點一般沒有正應力作 用。為了保證構件安全可靠，必須將最大切應力限制在一定用。為了保證構件安全可靠，必須將最大切應力限制在一定 數(shù)值以內，即數(shù)值以內，即 對于靜載荷作用，扭轉許用切應力與拉伸許用正應力存在如對于靜載荷作用，扭轉許用切應力與拉伸許用正應力存在如 下關系：下關系： max ）（鑄鐵： ）（低碳鋼： 10.8 0.60.5 圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析圓

18、軸扭轉時橫截面上的切應力分析 如圖聯(lián)軸器已知：最大功率如圖聯(lián)軸器已知：最大功率 P7.5kW, 轉速轉速n=100r/min, 軸的最大切應力軸的最大切應力不得超不得超 過過 40MPa ,空心圓軸的內外直徑空心圓軸的內外直徑 之比之比 = 0.5。 求求: 實心軸的直徑實心軸的直徑 d1 和空心軸的外直徑和空心軸的外直徑 D2 。 例例5-25-2、 圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析圓軸扭轉時橫截面上的切應力分析 解：解：1 1、計算軸的扭矩、計算軸的扭矩 2 2、計算軸的直徑、計算軸的直徑 3 3、二軸的橫截面面積之比：二軸的橫截面面積之比： ;235 . 0 ;46046. 0 1040)

19、4 . 01 ( 2 .71616 ;40 1 16 ;45045. 0 1040 2 .71616 ;40 16 22 3 64 2 43 2 x P x max 3 6 1 2 1 max mmDd mmmD MPa D M W M mmmd MPa d M W M x P x 空心軸： 實心軸： );(2 .716 100 5 . 7 9549NmM x 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 D d A A 討論：彈性桿件橫截面上的各種內力與應力討論：彈性桿件橫截面上的各種內力與應力 x x x x x x Fn Mn Fqy Mz Fqz My z z z z y y 軸的內力對應的應力：軸的內力對應的應力： 軸力軸力F FN N引起的正應力：引起的正應力： 扭矩扭矩MnMn引起的切應力：引起的切應力： 剪力剪力FqyFqy引起的切應力：引起的切應力： 彎矩彎矩Mz引起的正應力引起的正應力: : 剪力剪力FqzFqz引起的切應