2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.1 正弦定理教案 北師大版必修5

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.1 正弦定理教案 北師大版必修52021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.1 正弦定理教案 北師大版必修5年級：姓名：第二章解 三 角 形1正弦定理與余弦定理1.1正 弦 定 理導(dǎo)思1.正弦定理的內(nèi)容是什么?2.正弦定理可以解決哪些問題?1.正弦定理公式表達(dá)語言描述=2r.(r為abc的外接圓的半徑)在一個(gè)三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等(定值)【說明】(1)適用范圍:正弦定理對任意的三角形都成立;(2)結(jié)構(gòu)形式:分子為三角形的邊長,分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式;(3)刻畫規(guī)律:正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)

2、系,可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.2.正弦定理的變形(1)a=2rsin a,b=2rsin b,c=2rsin c(邊化角).(2)sin a=,sin b=,sin c=(角化邊).(3)abc=sin asin bsin c(邊角互化).(4)=.(其中r是abc外接圓的半徑)(1)在abc中,如果已知邊a,邊b和角a,能否求出其他的角和邊?提示:利用=,可得sin b=sin a,求出角b,再利用c=-a-b求出角c,最后利用=,即c=求出邊c.(2)在abc中,若ab,如何得到sin asin b?提示:若ab,則由a=2rsin a,b=2rsin b,可得2rsin a2rsi

3、n b,即sin asin b.(r為abc的外接圓的半徑)3.三角形的面積公式s=absin c=bcsin a=acsin b=.在abc中,已知邊a,c和角b,選擇哪個(gè)公式求abc的面積更好?提示:s=acsin b.1.辨析記憶(對的打“”,錯(cuò)的打“”).(1)正弦定理僅對于直角三角形成立.()(2)在三角形中,相等的兩邊所對的角相等.()(3)在abc中,若sin a=,則a=.()(4)在abc中,若sin 2a=sin 2b,則abc為等腰三角形.()提示:(1).正弦定理對于任意三角形都成立.(2).在三角形中,若a=b,則2rsin a=2rsin b,得sin a=sin

4、b,所以a=b或a=-b(舍去).(3).a=時(shí),sin a=也成立.(4).由sin 2a=sin 2b,可得2a=2b或2a+2b=,即a=b或a+b=,即三角形abc為等腰三角形或直角三角形.2.在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,a=30,b=45,a=,則b=()a.2b.1c.d.【解析】選a.由正弦定理=得b=2.3.(教材二次開發(fā):例題改編)在abc中,若a=2,b=3,b=60,則sin a=_.【解析】由正弦定理得sin a=.答案:關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類型一利用正弦定理求解三角形的邊與角(邏輯推理)1.在abc中,a=15,b=10,a=60,則cos b等于(

5、)a.-b.c.-d.2.在abc中,a=2,b=2,b=45,則a為()a.30或150b.60或120c.60d.303.在abc中,已知c=,a=45,a=2,求邊b.【解析】1.選d.由正弦定理得=,所以sin b=.因?yàn)閍b,所以ab,又因?yàn)閍=60,所以b為銳角,所以cos b= =.2.選b.由正弦定理得=,所以sin a=.因?yàn)?a135,所以a=60或120.3.因?yàn)?,所以sin c=,因?yàn)?c0).2.正弦定理的應(yīng)用范圍(1)已知兩角和任一邊,求其他兩邊和其余一角.(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其余兩角.3.已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法(1)首

6、先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.(2)如果已知的角為大邊所對的角,由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求唯一銳角.(3)如果已知的角為小邊所對的角,則不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角,要分類討論.類型二判斷三角形的形狀(直觀想象)【典例】在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,asin2b=bcos acos b,則abc的形狀是()a.銳角三角形b.直角三角形c.鈍角三角形d.不確定【思路導(dǎo)引】根據(jù)正弦定理得到sin asin2b=sin bcos acos b,化簡得到-sin bcos(a+b)=0,計(jì)算得到答案

7、.【解析】選b.asin2b=bcos acos b,所以sin asin2b=sin bcos acos b,所以sin b(sin asin b-cos acos b)=0,即-sin bcos(a+b)=0.因?yàn)?a,0b,所以a+b=,故abc是直角三角形.判斷三角形形狀的方法(1)判斷三角形的形狀,可以從三邊的關(guān)系入手,也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手,從條件出發(fā),利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化,呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或角與角的關(guān)系,從而進(jìn)行判斷.(2)判斷三角形的形狀,主要看其是否為正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形等,要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰或直角三角形”的區(qū)

8、別.在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,若bcos c+ccos b=asin a,則abc的形狀為()a.銳角三角形b.直角三角形c.鈍角三角形d.不確定【解析】選b.因?yàn)閎cos c+ccos b=asin a,所以由正弦定理可得sin bcos c+sin ccos b=sin2a,sin(b+c)=sin2asin a=sin2a,所以sin a=1,a=,所以abc是直角三角形.【拓展延伸】正弦定理的作用(1)解三角形(已知兩角和任一邊,求其他兩邊和其余一角;已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其余兩個(gè)角).(2)證明化簡過程中邊角互化.(3)求三角形外接圓半徑.【拓展

9、訓(xùn)練】在abc中,角a,b,c的對邊分別為a,b,c,若abc的外接圓的半徑是3,a=3,則a=()a.30b.60c.60或120d.30或150【解析】選d.根據(jù)正弦定理得=2r,所以sin a=,因?yàn)?a180,所以a=30或150.類型三三角形的面積問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(1)abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,若cos a=,cos c=,a=1,則abc的面積s=_.(2)已知在abc中,邊a,b,c的對角分別為a,b,c,且a=,c=,c=,則abc的面積s=_.【思路導(dǎo)引】(1)可由余弦值,得出相應(yīng)的正弦值,再求出其中的一邊長,再利用面積公式求出三角形的面積.(2)

10、由正弦定理求sin a從而求得a,b,再利用面積公式求出三角形的面積.【解析】(1)在abc中,由cos a=,cos c=,可得sin a=,sin c=,sin b=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=,又a=1,由正弦定理得b=.所以s=absin c=1=.答案:(2)由正弦定理知,sin a=a=.由ac,得ab,可得b為銳角.【解析】選b.由正弦定理得=,所以sin b=.又因?yàn)閎a,所以ba,故b=.1.已知三角形的兩角和任意一邊,求另兩邊和另一角,此時(shí)有唯一解,三角形被唯一確定.2.已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角,此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,三角形不能被唯一確定.在abc中,已知邊a,邊b和角a時(shí),解的情況如下:a為銳角a為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsin aabbsin aababab解的個(gè)數(shù)一解兩解無解一解無解abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,