工程力學(xué)課件工程力學(xué)課件 73

1、彎曲應(yīng)力 及強(qiáng)度 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 第三節(jié) 平面彎曲時(shí)梁的 應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算 3.1 純彎曲及其變形 3.2 純彎曲時(shí)梁截面上的正應(yīng)力 3.3 橫力彎曲時(shí)梁截面上的正應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 3.4 橫力彎曲時(shí)梁截面上的切應(yīng)力 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 3.5 提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 純彎曲及其變形 一.概念: FQ FQ0FQ=0 M= C 純彎曲 m m M M=m=C 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 橫力彎曲 CM F Q 0 F

2、a M FQ F F F F a a 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 已知是橫截面上的正應(yīng)力組成了M，但如何分 布、大小都是未知，所以求解應(yīng)力的問題屬靜 不定問題。 首先研究純彎曲時(shí)橫截面上的應(yīng)力問題， 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 1.實(shí)驗(yàn)觀察 二.實(shí)驗(yàn)及假設(shè) 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 橫向線偏轉(zhuǎn)夾角d 縱向線彎曲 縮短 伸長 ( = 0) 變彎 偏轉(zhuǎn) 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 中性軸-中性層與橫截面的交線(z) 中性層

3、曲率-1/ 中性軸 中性層 z y 縱向?qū)ΨQ面 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2.推理假設(shè) 1）平面假設(shè)-變形前為 平面的橫截面變形后仍為 平面,且垂直于變形后的軸 線 =0 得得 =0 2）縱向纖維互不擠壓(縱向纖維間無) 等截面直梁在純彎時(shí),橫截面上只 產(chǎn)生正應(yīng)力. 結(jié) 論 中性軸 z 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力 一一. .變形幾何關(guān)系（應(yīng)變變形幾何關(guān)系（應(yīng)變- -位移）位移） oo oobb bb bbbb x x d )(d 縱向纖維的線應(yīng)變 與它到中性軸的距離成正, 沿y

4、軸線性分布。 結(jié)結(jié) 論論 o m y m n n dx o bb d o m m n n o b b y C x y Me Me yy d dd)( F F a a dx 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 設(shè)設(shè) p Et=Ec=E 二.物理關(guān)系( ) 橫截面上 沿y 軸線性 分布，中性軸上 = 0. 代入胡克定律代入胡克定律把把 y 結(jié)結(jié) 論論 x y z MM y z z dA y MM y EE 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 三三. .靜力關(guān)系靜力關(guān)系 y E y z z dA y MM 將平行力系將平行力系d

5、A向形心簡化向形心簡化, ,得到得到FN , My , Mz (a)0d A N AF 將將 代入代入（a） 得得y E 0d Ay E F A N (c)dMAyM A z (b)0d A y AzM 0d A N Ay E F 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 令 A z AySd Sz 為A對z軸的靜矩； AYS z Y為A的形心在 y 軸上坐標(biāo)； 0AYS z 故 0d z A N S E Ay E F 因?yàn)?得0Y 又可表示為 z軸（中性軸）過橫截面形心。 結(jié) 論 y z z dA y MM 0d A N Ay E F 2012.Wei Yuan

6、. All rights reserved. y z z dA y MM (c)d (b)0d (a)0d MAyM AzM AF A z A y A N 將 代入（b) y E 0dd AA y Ayz E Ay E zM y E 令 A yz AyzId yz I 為為A對對y, ,z 軸的慣性積軸的慣性積 顯然若y,z 軸中有一個(gè)為 對稱軸則 Iyz = 0 由于y 軸為對稱軸，必然有 Iyz = 0 0d A y AzM自然滿足。 結(jié)結(jié) 論論 2012.Wei Yuan. All rights reserved. y z z dA y MM A z Ay E yMd 將 代入（c) y

7、 E MAy E A d 2 y E 令 A z AyId 2 Iz 為A 對z 軸的慣性矩 于是MI E z 得 z EI M 1 代入 得 y E z I yM (c)d (b)0d (a)0d MAyM AzM AF A z A y A N x y z M M 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 常用圖形y、Iz AyI Az d 2 同理： 12 3 hb I y 1.矩形 b c z y h y dy 12 d 3 2 2 2 bh yby h h b1 c z y h1 h2 b2 1212 3 22 3 11 hbhb I z 同理： 1212

8、 3 22 3 11 bhbh I y 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 642 4 d I II p yz 2. 2.圓形圓形 o y z d 由定義知：由定義知： yz AA P II AzyAI d)(d 222 dA y z 64 )1 ( 6464 4444 DdD II yz d D y z 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 適用條件: 1.平面彎曲； 2.純彎曲； 3. p , Et = Ec； 4.等截面直梁； 5.截面形狀任意. y z z dA y MM z I yM 2012.Wei Yuan.

9、All rights reserved. 橫力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 一一. .橫力彎曲橫力彎曲 FQ M 橫截面翹曲 當(dāng)FQ=C各橫截面翹曲相同 用公式 Z I yM 計(jì)算仍是完全正確的 FQ x M x 結(jié) 論 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 當(dāng)FQ C 各橫截面翹曲不相同 理論分析與實(shí)驗(yàn)表明 當(dāng) l / h 4 用公式 計(jì)算,其影響小于1.7，工程上是完全允許的。 q Z I yM 結(jié)結(jié) 論論 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 純彎曲 等截面 直梁 條件放松 公式推廣 橫力彎曲 變截面梁

10、折梁 曲梁 Z I yM )( )( xI yxM Z 結(jié) 論 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 1.塑性材料 二.彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 當(dāng)梁為變截面梁時(shí), max 并不一定發(fā)生 在| M |max 所在面上. 注意 z I yM maxmax max 等截面梁 z W M max max 令I(lǐng)z /ymax=Wz Wz 抗彎截面系數(shù) 2012.Wei Yuan. All rights reserved. z y d dA y z b c y z h 常用圖形Wz 6 2 12 2 23 bh h bh h I W z z 32 2 64 2 34 d d

11、d d I W z z 1 3 22 2 11 1 66 2 h hbhb h I W z z b1 c y z h1 h2 b2 )1 ( 32 2 64 )1 ( 2 4 344 D D D D I W z z d D y z 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2.脆性材料 因?yàn)? t b, h=2c) 2012.Wei Yuan. All rights reserved. M M+dM x 1x 2x 1 2 2 dx 1 y FN2 FN1 r p m n = 2.的公式推導(dǎo) 切dx段， 0Fx r p m n bxFF NN d 12 使使得得一

12、一定定有有, 12 NN FF 取出r,p,m,n F 令 * dS 1 * A Ay * * d dd 1 1 1 A z A z A N Ay I M A I yM AF S*為A* 對z 軸的靜矩 2012.Wei Yuan. All rights reserved. * 1 S I M F z N M M+dM x 1x 2x 1 2 2 dx 1 y FN2 FN1 r p m n = r p m n F * 2 d S I MM F z N 同理同理 bxFF NN d 12 將將F1, F2 代入代入 得得 bI SF bI S x M z Q z * * d d bI SF z

13、 Q * 0Fx 2012.Wei Yuan. All rights reserved. z 2 h 2 h b FQ y y1 dA A* 沿y 軸拋物線分布 當(dāng)y = 0 時(shí) 對某一截面而言, 隨Sz*變 ) 2 )( 2 ( 2 d 1 y h y hb AyS A ) 4 ( 2 2 2 y h I F z Q A F Q 2 3 max max 平均 51 2 3 max . bh F Q bI SF z Q * 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 切 應(yīng) 力 的 分 布 FQ 2012.Wei Yuan. All rights reserved.

14、 切 應(yīng) 力 互 等 定 理 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 連接件將金屬板條與混凝土板聯(lián)接在一起 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 二.工字形截面 FQ bI SF z Q * 翼緣腹板 2012.Wei Yuan. All rights reserved. min max 腹腹 腹腹 A F Q 2012.Wei Yuan. All rights reserved. tI

15、 SF z Q * 翼翼 FQ z 2 h ) 22 ( * th tS B 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 三.彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 對于等直梁 * maxmax max bI SF z z Q max 四.需要對切應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核的情況 1.短梁和集中力靠近支座 2.木梁 3.焊,鉚或膠合而成的梁 4.薄壁截面梁 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 解:作FQ , M 圖 例5 已知F, b, h, l . 求 max max M Fl x z h l b F y F x FQ 22 max max 6 6 bh F

16、l bh Fl W M z 發(fā)生在固定端上邊緣 max max 發(fā)生在任意截面的中性軸上 bh F A F Q 2 3 2 3 max 2012.Wei Yuan. All rights reserved. z h l b F y h l bh F bh Fl 4 2 3 6 2 max max 當(dāng)F/h 5時(shí)， max /max 20 此情況下，彎曲切應(yīng)力是次要的。 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 6 2 2 2 max )1( max h b Fl W M z 例6:(1)兩個(gè)相同材料的矩形截面疊梁.設(shè)兩 梁間無摩檫,求 max 解:每梁的變形相同，

17、各 梁在自由端處所受外力 均為F/2，Mmax =Fl / 2 h/2 h/2 b l F max l F 2 12 bh Fl 2012.Wei Yuan. All rights reserved. (2)在自由端有一直徑為d 的螺栓,求max及 螺栓截面的FQ1 解:1.兩梁作為一整體,故 l Fd Mmax =Fl 22 max )2( 6 6 max bh Fl bh Fl W M z 2 )2( )1( max max 加螺栓后，強(qiáng)度提高。 max F 2012.Wei Yuan. All rights reserved. l Fd 由切應(yīng)力互等定理知,中性 層面有均勻分布的max

18、在中性軸處有垂直中性軸max bh F A FQ 2 3 2 3 max h Fl blFQ 2 3 max1 其合力與FQ1平衡,即 2.求螺栓截面的剪力FQ1 max l b 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 例7 三根材料相同的木板膠合而成的梁， l=1m, b=100mm, h=50mm. 膠=0.34MPa, 木=10MPa，木=1MPa。試求許可載荷。 505050 60 z y 解解: : FF Fl M Q maxmax 2 比較得 x FQF F/2 Fl x M FFFlM Q maxmax FFFlM Q maxmax F移到C點(diǎn)時(shí)

19、2l AB l F C 1. F移到AB中點(diǎn)時(shí) 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2. 膠合面剪切強(qiáng)度條件 505050 60 z y 膠 膠膠膠 z z z z Q bI FS bI SF * max 83kN. 3 12 15. 01 . 0 0.050.051 . 0 1 . 01034. 0 36 1 * z z S bI F 膠膠 2l AB l F C FF FlM Q max max 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 505050 60 z y 3. 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 2 max max 6 bh Fl

20、 W M z kN57 . 3 6 2 2 l bh F 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件 A FQ 2 3 max max kN10 3 2 3 A F kN75. 3 min 3, 2, 1 F F FF 2l AB l F C FF FlM Q max max kN833 1 .F 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 5.5 提高彎曲強(qiáng)度的主要措施 彎曲強(qiáng)度主要取決于max 一.合理安排梁的受力情況 合理設(shè)計(jì)和布置支座 2 2 max 5 . 0 2 ql ql M z W M max max q x ql2/2 M 2012.Wei Yuan. All right

21、s reserved. Mmax= =0.025ql2 ql2 40 Mmax= =0.125ql2 ql2 8M x ql2/8 M x ql2/40 l q l q 0.2l0.2l 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 2.將集中載荷適當(dāng)分散 M x Fl/8 （b） M x Fl/4 （a） F l/2 l/2 F l/4l/4l/4l/4 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 3.3.集中載荷盡量靠近支座集中載荷盡量靠近支座 M x Fl/4 x 7Fl/64 M F l/2 l/2 F l/8 7l/8 2012.Wei Yuan.