機械波知識學習

1、5-1 機械波的產(chǎn)生和傳播機械波的產(chǎn)生和傳播 一、機械波產(chǎn)生的條件一、機械波產(chǎn)生的條件 1 1、有作機械振動的物體、有作機械振動的物體, ,即即波源波源 2、有連續(xù)的、有連續(xù)的介質(zhì)介質(zhì), ,即傳播振動的媒介即傳播振動的媒介 各種類型的波有其特殊性各種類型的波有其特殊性, ,但也有普遍的共性但也有普遍的共性, ,有類似的有類似的 波動方程。波動方程。 機械振動在介質(zhì)中的傳播稱為機械振動在介質(zhì)中的傳播稱為機械波機械波。 聲波聲波 水波水波 地震地震 橫波在介質(zhì)中傳播時橫波在介質(zhì)中傳播時, ,介質(zhì)中產(chǎn)生介質(zhì)中產(chǎn)生切變切變, ,只能在只能在固體固體中傳播。中傳播。 縱波在介質(zhì)中傳播時縱波在介質(zhì)中傳播時

2、, ,介質(zhì)中產(chǎn)生介質(zhì)中產(chǎn)生容變?nèi)葑? ,能在能在固體固體、液體液體、氣體氣體 中傳播。中傳播。 二、縱波和橫波二、縱波和橫波 橫波橫波振動方向與傳播方向垂直振動方向與傳播方向垂直, ,如電磁波如電磁波 縱波縱波振動方向與傳播方向相同振動方向與傳播方向相同, ,如聲波。如聲波。 0 t 4/Tt 2/Tt 振動在介質(zhì)中的傳播振動在介質(zhì)中的傳播 三、簡諧波三、簡諧波 波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點的振動都是諧振動。波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點的振動都是諧振動。 任何復雜的波都可以看成若干個簡諧波疊加而成。任何復雜的波都可以看成若干個簡諧波疊加而成。 波線波線 波面波面 波面波面 波線波線 平面波平面波 球面波球面波

3、 波面波面 波線波線 波線波線 波波 面面 四、波線和波面四、波線和波面 各向同性均勻介質(zhì)中各向同性均勻介質(zhì)中, ,波線恒與波面垂直波線恒與波面垂直. . 沿波線方向各質(zhì)點的振動相位依次落后。沿波線方向各質(zhì)點的振動相位依次落后。 3、波長波長 2、波的、波的周期周期和頻率和頻率 12 T u uT 波的周期波的周期: :一個完整波形通過介質(zhì)中某固定點一個完整波形通過介質(zhì)中某固定點所需所需 的時間的時間, ,用用T表示。表示。 波的頻率波的頻率: :單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某固定單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某固定 點完整波的數(shù)目點完整波的數(shù)目, ,用用 表示。表示。 同一波線上相鄰的位相差為同一波線上相鄰的

4、位相差為2 的兩質(zhì)點的距離的兩質(zhì)點的距離。 u 或或: 適用于所有波動適用于所有波動 六、描述波動的幾個物理量六、描述波動的幾個物理量 振動狀態(tài)（即位相）在單位時間內(nèi)傳播的距離振動狀態(tài)（即位相）在單位時間內(nèi)傳播的距離 稱為稱為波速波速 , ,也稱之為也稱之為相速相速。與介質(zhì)有關(guān)。與介質(zhì)有關(guān). . 1 1、波速波速 u 一、平面簡諧波的波動方程一、平面簡諧波的波動方程 平面簡諧波平面簡諧波 簡諧波的波面是平面。簡諧波的波面是平面。( (可當作一維簡諧波研究）可當作一維簡諧波研究） 5-2 平面簡諧波的波動方程平面簡諧波的波動方程 一平面簡諧波在理想介質(zhì)中沿一平面簡諧波在理想介質(zhì)中沿x軸正向傳播軸

5、正向傳播,x軸即為某一波線軸即為某一波線 設(shè)原點振動表達式設(shè)原點振動表達式: : )cos( 00 tAy x y p u O x y表示該處質(zhì)點偏離平衡位置的表示該處質(zhì)點偏離平衡位置的位移位移 x為為p點在點在x軸的坐標軸的坐標 則距原點為則距原點為x處的相位比原點落后處的相位比原點落后x 2 )cos( 00 tAy已知原點振動方程為已知原點振動方程為: : x y p u O x 則則P P 振動方程為振動方程為: : 2 )cos( 0 xtAy 此即為沿此即為沿x軸正向軸正向傳播的平面簡諧波的波動方程傳播的平面簡諧波的波動方程 同理沿同理沿x軸負向軸負向傳播的平面簡諧波傳播的平面簡諧

6、波 的波動方程為的波動方程為: : ) 2 cos( 0 xtAy ) 2 cos( 0 xtAy一般寫為一般寫為: 在波的傳播方向上相距在波的傳播方向上相距的兩點相位相差的兩點相位相差2 2 總結(jié)總結(jié): 波動方程為波動方程為: ) x T t (Ay 0 2cos ) 2 2cos 0 x tAy )(cos 0 u x tAy 或或: ) 2 cos( 0 xtAy v T 2 2 vu 式中負（正）號對應(yīng)向式中負（正）號對應(yīng)向x軸正（負）向傳播的波軸正（負）向傳播的波 二、波動方程的物理意義二、波動方程的物理意義 0 ) u x t (cosAy 1、如果給定、如果給定x,即即x=x0

7、y O t T T x0處質(zhì)點的振動初相為處質(zhì)點的振動初相為 0 0 2 x 0 2 x 為為x0處質(zhì)點落后于原點的位相處質(zhì)點落后于原點的位相 為為x0處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程則則y=y(t) ) x tcos(A)t(y 0 0 2 若若x0= 則則 x0處質(zhì)點落后于原點的位相為處質(zhì)點落后于原點的位相為2 是波在空間上的周期性的標志是波在空間上的周期性的標志 2、如果給定、如果給定t,即即t=t0 則則y=y(x) 22 12 12 xxx 00 ) u x t (cosAy 表示給定時刻波線上各質(zhì)點在同表示給定時刻波線上各質(zhì)點在同 一時刻的位移分布一時刻的位移分布,即給定了即給定了

8、t0 時時 刻的波形刻的波形 同一波線上任意兩點的振動位相差同一波線上任意兩點的振動位相差 X Y O u x1x2 2 1212 T t )tt( 同一質(zhì)點在相鄰兩時刻的振動位相差同一質(zhì)點在相鄰兩時刻的振動位相差 T是波在時間上的周期是波在時間上的周期 性的標志性的標志 ) 2 cos( 0 xtAy 3.如如x,t 均變化均變化y=y(x,t)包含了不同時刻的波形包含了不同時刻的波形 0 ) u x t (cosA)x( y x y u O x tt t x 0 ) u tux tt (cosA)tt ,xx( y t時刻的波形方程時刻的波形方程 t+ t時刻的波形方程時刻的波形方程 0

9、) u x tt (cosA)x( y t時刻時刻,x處的某個振動狀態(tài)經(jīng)過處的某個振動狀態(tài)經(jīng)過 t ,傳播了傳播了 x的距離的距離 0 ) u x t (cosA )t , x( y)tt , xx( y 在時間在時間 t內(nèi)整個波形沿波的內(nèi)整個波形沿波的 傳播方向平移了一段距離傳播方向平移了一段距離 x 行波行波 ) t , x( y) tt , xx( y x y u O x tt t x 波動也是波形的傳播波動也是波形的傳播,波速也是波形的傳播速度波速也是波形的傳播速度 )(cos 0 2 2 2 u x tA t y 2 2 2 0 2 2 2 2 1 )(cos t y uu x t

10、u A x y 2 2 22 2 1 t y ux y 三、平面波的波動微分方程三、平面波的波動微分方程 沿沿x方向傳播的平面方向傳播的平面 波動微分方程波動微分方程 0 ) u x t (cosAy 求求t 的二階導數(shù)的二階導數(shù) 求求x的二階導數(shù)的二階導數(shù) 解：在波的傳播方向上相距解：在波的傳播方向上相距x x的兩點相位差為：的兩點相位差為：x 2 則則A、B兩點相距：兩點相距：m5 . 0 32 3 2 L 解解: m4 . 2 6 2 . 0 22 x 1 sm6 4 . 0 4 . 2 T u 解解:波動方程為波動方程為:) 2 2cos 0 x tAy 則有則有:Hz5000 2 1

11、014. 3 5 m 220 2 解解:波動方程為波動方程為:) 2 2cos 0 x tAy 相距為相距為a的兩點的相位差為的兩點的相位差為:a 2 Ea 解解:設(shè)波動方程為設(shè)波動方程為: 一一、波的能量和能量密度、波的能量和能量密度 波不僅是振動狀態(tài)的傳播波不僅是振動狀態(tài)的傳播,而且也是伴隨著振動能量的而且也是伴隨著振動能量的 傳播。傳播。 有一平面簡諧波有一平面簡諧波 0 ) u x t (cosAy 質(zhì)量為質(zhì)量為在在x處取一體積元處取一體積元dVdVdm 質(zhì)點的振動速度質(zhì)點的振動速度 0 ) u x t(sinA t y v 5-3 波的能量波的能量 體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點動能為體積元內(nèi)媒質(zhì)

12、質(zhì)點動能為 dmvdE k 2 2 1 dV) u x t(sinA 2 1 0 222 可以證明可以證明, ,體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的彈性勢能亦為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的彈性勢能亦為 dV) u x t (sinAdE p 2 1 0 222 體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的總能量為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的總能量為: : pk dEdEdE dV) u x t (sinA 0 222 1）在波動的傳播過程中在波動的傳播過程中, ,任意時刻的動能和勢能不僅大小任意時刻的動能和勢能不僅大小 相等而且相位相同相等而且相位相同, ,同時達到最大同時達到最大, ,同時等于零。同時等于零。 說明說明 2）在波傳動過程中在波傳動過程中,

13、 ,任意體積元的能量不守恒。任意體積元的能量不守恒。 能量密度能量密度 單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量。單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量。 0 222 ) u x t(sinA dV dE w 平均能量密度平均能量密度 一個周期內(nèi)能量密度的平均值。一個周期內(nèi)能量密度的平均值。 22 2 1 Aw dt) u x t(sinA T wdt T w T T 11 0 22 0 2 0 T 2sin 0 2 d dV) u x t (sinAdE 0 222 能流能流: :單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某一單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某一 截面的能量。截面的能量。 二、二、波的波的能流和能流密度能流和能流密度 Swup

14、 平均能流平均能流:在一個周期內(nèi)能流的平均值。在一個周期內(nèi)能流的平均值。 SuwSwup 能流密度（波的強度）能流密度（波的強度）: 通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能量。通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能量。 uw S p I uAI 22 2 1 2 米米單位：瓦單位：瓦 u u S 例例 試證明在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波試證明在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波 在行進方向上振幅不變在行進方向上振幅不變, ,球面波的振幅與離波源的距離球面波的振幅與離波源的距離 成反比。成反比。 分析平面波和球面波的振幅分析平面波和球面波的振幅 證明證明: : 在一個周期在一個周期T

15、內(nèi)通過內(nèi)通過S1和和S2面的能量應(yīng)該相等面的能量應(yīng)該相等 , 2211 TSITSI SSS 21 TSAuTSAu 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 21 AA u 1 S 2 S 所以所以, ,平面波振幅相等。平面波振幅相等。 對平面波對平面波: : 2 22 4 rS 2211 rArA ;4 2 11 rS 1 r 2 r 所以振幅與離波源的距離成反比。如果距波源單位所以振幅與離波源的距離成反比。如果距波源單位 距離的振幅為距離的振幅為A則距波源則距波源r 處的振幅為處的振幅為A/r 由于振動的相位隨距離的增加而落后的關(guān)系由于振動的相位隨距離的增加而落后的關(guān)系, ,與與

16、平面波類似平面波類似, ,球面簡諧波的波函數(shù)球面簡諧波的波函數(shù): : 0 ) u r t(cos r A y TSAuTSAu 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 對球面波對球面波: : 5-4 惠更斯原理惠更斯原理 波的疊加和干涉波的疊加和干涉 一一、惠更斯原理惠更斯原理 惠更斯原理惠更斯原理: : 介質(zhì)中波陣面（波前）介質(zhì)中波陣面（波前） 上的各點上的各點, ,都可以看作為都可以看作為 發(fā)射子波的波源發(fā)射子波的波源, ,其后一其后一 時刻這些子波的包跡便時刻這些子波的包跡便 是新的波陣面。是新的波陣面。 平面波平面波 t+ t時刻波面時刻波面 u t 波傳播方向波傳播方向 t時

17、刻波面時刻波面 球面波球面波 t t + t t時刻波面時刻波面 t+ t時刻波面時刻波面波的傳播方向波的傳播方向 如你家在大山后如你家在大山后, ,聽廣播和看電聽廣播和看電 視哪個更容易視哪個更容易? (? (若廣播臺、電若廣播臺、電 視臺都在山前側(cè)視臺都在山前側(cè)) ) *應(yīng)用惠更斯原理證明波的反射和折射定律應(yīng)用惠更斯原理證明波的反射和折射定律 i i MNA 1 A 2 A 3 A B 3 B 2 B 1 B 333 ABBBAA ABBABA 333 ii i MNA 1 A 2 A 3 A B 3 B 2 B 1 B 1介介質(zhì)質(zhì) 2介介質(zhì)質(zhì) isinABtuBA 3133 2 1 2

18、1 nc nc u u sin isin sinABtuAB 32 1 2 n n sin isin 二二、波的疊加波的疊加 各列波在相遇前和相遇后都保持原來的特性各列波在相遇前和相遇后都保持原來的特性 （頻率、波長、振動方向、傳播方向等）不便（頻率、波長、振動方向、傳播方向等）不便,與與 各波單獨傳播時一樣各波單獨傳播時一樣,而在相遇處各質(zhì)點的振動則而在相遇處各質(zhì)點的振動則 是各列波在該處激起的振動的合成。是各列波在該處激起的振動的合成。 波傳播的波傳播的獨立性原理獨立性原理或波的或波的疊加原理疊加原理: 說明說明: 振動的疊加僅發(fā)生在單一質(zhì)點上振動的疊加僅發(fā)生在單一質(zhì)點上 波的疊加發(fā)生在兩

19、波相遇范圍內(nèi)的許多質(zhì)點上波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內(nèi)的許多質(zhì)點上 能分辨不同的聲音正是這個原因能分辨不同的聲音正是這個原因 兩列波若兩列波若頻率相同頻率相同、振動方向相同振動方向相同、在相遇點的、在相遇點的 位相相同或位相差恒定位相相同或位相差恒定, ,則合成波場中會出現(xiàn)某些點的則合成波場中會出現(xiàn)某些點的 振動始終加強振動始終加強, ,另一點的振動始終減弱（或完全抵消）另一點的振動始終減弱（或完全抵消） , ,這種現(xiàn)象稱為這種現(xiàn)象稱為波的干涉波的干涉。 相干條件相干條件 1 r 2 r 1 S 2 S p 具有具有恒定的相位差恒定的相位差 振動方向相同振動方向相同 兩波源具有兩波源具有相同的頻

20、率相同的頻率 滿足相干條件的波源稱為滿足相干條件的波源稱為相干波源相干波源。 三三、波的干涉、波的干涉 傳播到傳播到p點引起的振動分別為點引起的振動分別為: : )tcos(Ay 101010 )tcos(Ay 202020 在在p點的振動為同點的振動為同 方向同頻率振動方向同頻率振動 的合成。的合成。 設(shè)有兩個相干波源設(shè)有兩個相干波源S1和和S2 發(fā)出的簡諧波在空間發(fā)出的簡諧波在空間p點相遇。點相遇。 合成振動為合成振動為: : )tcos(Ayyy 021 1 r 2 r 1 S 2 S p )rtcos(Ay 11011 2 )rtcos(Ay 22022 2 cos2 21 2 2 2

21、 1 2 AAAAA 其中其中: : )rr()( 121020 2 由于波的強度正比于振幅由于波的強度正比于振幅, ,所以合振動的強度為所以合振動的強度為: : cos2 2121 IIIII )tcos(Ay 0 對空間不同的位置對空間不同的位置, ,都有恒定的都有恒定的, ,因而合強度因而合強度 在空間形成穩(wěn)定的分布在空間形成穩(wěn)定的分布, ,即有即有干涉現(xiàn)象干涉現(xiàn)象。 ) r sin(A) r cos(A ) r sin(A) r sin(A tan 2 202 1 101 2 202 1 101 0 22 22 其中其中: : ,.,kk rr 3210 22 12 1020 ）（ 2

22、1max AAAA 2121max 2IIIIII ,.,k)k()rr()(321012 2 121020 | 21min AAAA 2121min 2IIIIII 相長干涉的條件相長干涉的條件: 相消干涉的條件相消干涉的條件: cos2 21 2 2 2 1 2 AAAAA cos2 2121 IIIII 當當兩相干波源為同相波源兩相干波源為同相波源時時,相干條件寫為相干條件寫為 ,.3 , 2 , 1 , 0, 12 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 0, 2 ) 12( 12 kkrr 相長干涉相長干涉 相消干涉相消干涉 稱為波程差稱為波程差 波的非相干疊加波的非相干疊加 21 I

23、II 例題例題 位于位于A、B兩點的兩個波源兩點的兩個波源, ,振幅相等振幅相等, ,頻率頻率 都是都是100赫茲赫茲, ,相位差為相位差為 , ,其其A、B相距相距30米米, ,波速為波速為 400米米/ /秒秒, ,求求: :A、B連線之間因相干干涉而靜止的連線之間因相干干涉而靜止的 各點的位置。各點的位置。 解解: :如圖所示如圖所示, ,取取A點為坐標原點點為坐標原點, ,A、B聯(lián)線為聯(lián)線為X軸軸, ,取取A 點的振動方程點的振動方程 : : )cos( tAyA 在在X軸上軸上A點發(fā)出的行波方程點發(fā)出的行波方程: : ) 2 cos( x tAyA B點的振動方程點的振動方程 : :

24、) 0cos( tAyB B A X x m30 x30 O ) 2 cos( x tAyA B點的振動方程點的振動方程 : : )0cos( tAyB 在在X軸上軸上B B點發(fā)出的行波方程點發(fā)出的行波方程: : )30(2 0cos x tAyB 因為兩波同頻率因為兩波同頻率, ,同振幅同振幅, ,同方向振動同方向振動, ,所以相干為靜所以相干為靜 止的點滿足止的點滿足: : )( )( 12 3022 k xx ,.2, 1, 0 k B A X x m30 x30 O 相干相消的點需滿足相干相消的點需滿足: : kx 230 m u 4 因為因為: ,.2, 1, 0 215 k kx

25、mx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3, 1 )12( )30(22 k xx ,.2, 1, 0 k B A X x m30 x30 O 5-5 駐波駐波 一、駐波方程一、駐波方程 ) x tcos(Ay 2 1 ) x tcos(Ay 2 2 tcos x cosAyyy 22 21 tcos)x(Ay x AxA2cos2)( 駐波是兩列駐波是兩列振幅、頻率相同振幅、頻率相同,但但傳播方向相反傳播方向相反 的簡諧波的疊加。的簡諧波的疊加。 )x, t ( y)tux, tt ( y 函數(shù)不滿足函數(shù)不滿足它不是行波它不是行波 它表示各點都在作它表示各點都在作簡諧振動簡諧振動,各

26、點振動的頻率各點振動的頻率 相同相同,是原來波的頻率。但各點振幅隨位置的不是原來波的頻率。但各點振幅隨位置的不 同而不同。同而不同。 駐波的駐波的特點特點: :不是振動的傳播不是振動的傳播, ,而是媒質(zhì)中各質(zhì)點而是媒質(zhì)中各質(zhì)點 都作穩(wěn)定的振動。都作穩(wěn)定的振動。 tcos)x(Atcos x cosAy 22 tcos)x(Ay 12cos x x AxA2cos2)( 振振幅幅最最大大，波波腹腹AxA2)( k x 2 ,kkx210 2 02cos x 振振幅幅最最小小，波波節(jié)節(jié)0)( xA )k( x 2 1 2 ,k)k(x210 22 1 1 1、波腹與波節(jié)、波腹與波節(jié) 駐波振幅分布特

27、點駐波振幅分布特點 二、駐波的特點二、駐波的特點 相鄰波腹間的距離為相鄰波腹間的距離為: :22 1 k |kx 相鄰波節(jié)間的距離為相鄰波節(jié)間的距離為: :2 x 相鄰波腹與波節(jié)間的距離為相鄰波腹與波節(jié)間的距離為: : 4 因此可用測量波腹間的距離因此可用測量波腹間的距離, ,來確定波長。來確定波長。 ,kkx210 2 波波腹腹 ,k)k(x210 22 1 波波節(jié)節(jié) txAy cos 2 cos2 2、駐波的位相的分布特點、駐波的位相的分布特點 時間部分提供的相位對于所有的時間部分提供的相位對于所有的 x是相同的是相同的, , 而空間變化帶來的相位是不同的。而空間變化帶來的相位是不同的。

28、在在波節(jié)兩側(cè)點的振動相位相反波節(jié)兩側(cè)點的振動相位相反。同時達到反向最大或。同時達到反向最大或 同時達到反向最小。速度方向相反。同時達到反向最小。速度方向相反。 兩個兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同波節(jié)之間的點其振動相位相同。同時達到最大或。同時達到最大或 同時達到最小。速度方向相同。同時達到最小。速度方向相同。 *3、駐波能量、駐波能量 駐波振動中無位相傳播駐波振動中無位相傳播, ,也無能量的傳播也無能量的傳播 一個波段內(nèi)不斷地進行動能與勢能的相互轉(zhuǎn)換一個波段內(nèi)不斷地進行動能與勢能的相互轉(zhuǎn)換, , 并不斷地分別集中在波腹和波節(jié)附近而不向外傳播。并不斷地分別集中在波腹和波節(jié)附近而不向外傳播。 當波當波從波疏媒質(zhì)垂直入射到從波疏媒質(zhì)垂直入射到 波密媒質(zhì)波密媒質(zhì)界面上反射時界面上反射時, ,有半有半 波損失波損失, ,形成的駐波在界面處形成的駐波在界面處 是是波節(jié)波節(jié)。 三、半波損失三、半波損失 入射波在反射時發(fā)生反向的現(xiàn)象稱為半波損失。入射波在反射時發(fā)生反向的現(xiàn)象稱為半波損失。 折射率較大的媒質(zhì)稱為