計(jì)算動(dòng)力學(xué)第三章

1、運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 第三章第三章 線性時(shí)變系統(tǒng)的參激振動(dòng)線性時(shí)變系統(tǒng)的參激振動(dòng) v本節(jié)討論具有快時(shí)變參數(shù)的系統(tǒng)，即系統(tǒng)參數(shù)隨 時(shí)間變化的速率達(dá)到與系統(tǒng)振動(dòng)頻率相同的量級(jí) ，其最簡(jiǎn)單的例子是Mathieu方程。隨著參數(shù)變化 的加快，這類系統(tǒng)的行為會(huì)發(fā)生質(zhì)的變化，出現(xiàn) 由參數(shù)變化激發(fā)出的參激振動(dòng)。 v1831年，英國(guó)科學(xué)家Faraday首先發(fā)現(xiàn)了參激振 動(dòng)現(xiàn)象：當(dāng)充液容器作鉛垂振動(dòng)時(shí)，液體的自由 表面波動(dòng)周期是容器振動(dòng)周期的二倍。由于充液 容器在運(yùn)載工具、化工等諸多工程領(lǐng)域中占有重 要地位，對(duì)這一問題的研究吸引了許多學(xué)者，推 動(dòng)了對(duì)參激振動(dòng)的研究。 例 圖示兩端鉸支Bernoulli-Euler梁

2、受簡(jiǎn)諧縱 向力f(t)=f0cospt作用，忽略梁的縱向慣 性，建立其受擾后的橫向微振動(dòng)方程。 解：設(shè)梁的長(zhǎng)度為l，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為A， 抗彎剛度為EI。忽略梁的縱向慣性后，梁在 軸向簡(jiǎn)諧力f(t)=f0cospt作用下的橫向微振 動(dòng)微分方程為 0cos 4 4 2 2 0 2 2 x w EI x w ptf t w A 以兩端鉸支Bernoulli-Euler梁的固有振型作 為Galerkin形函數(shù)，將撓度表示為 , 2 , 1sin)(),( 1 nx l n tutxw n n 根據(jù)固有振型的加權(quán)正交性得到一組解耦的 常微分方程 , 2 , 1, 0)()cos1 ()( 2 ntupt

3、fptu nnnn 4 44 2 Al EIn pn , 2 , 11 22 2 0 n EIn lf f n 引入 , 2 , 1 2 , 2 , 2 n f p ppt nn n n n 得到標(biāo)準(zhǔn)的Mathieu方程 , 2 , 10)(2cos2 )( 2 2 nu dt ud nnn n 1 周期系數(shù)線性常微分方程理論 考察具有周期系數(shù)的齊次線性常微分方程 )()(),()( 0)()()()()( 2211 21 TtptpTtptp tutptutptu 將其寫作二維相空間中的狀態(tài)方程 )()()(tttuAu 其中 ,)( 2 1 u u u u t u )( )()( 10 )

4、( 12 Tt tptp t AA (1) 基本解 根據(jù)線性常微分方程理論，方程具有兩個(gè)線 性無關(guān)的基本解 和 。對(duì)于該方程的 任意解，存在常數(shù)a1和a2，使得 )( 1 t)( 2 t a)()()()( 2211 ttatatu 其中 T aattt 2121 ,)()()(a (t)稱作基本解矩陣。 現(xiàn)討論基本解矩陣的主要性質(zhì)。鑒于A(t)以T 為周期，若u(t) 是方程的解，u(t +T) 也是該 方程的解。自然，(t+T)中的 和 亦如此。因此,存在兩個(gè)常數(shù)向量b1和b2使得 其中矩陣B稱作單值矩陣。不難證明，B具有 如下性質(zhì)： )( 1 Tt )( 2 Tt Bbb)()( )()

5、()( 21 21 tt TtTtTt a. B是可逆矩陣是可逆矩陣 b. c. 若取若取(0)=I，B=(T) d. 根據(jù)線性常微分方程理論，可導(dǎo)出根據(jù)線性常微分方程理論，可導(dǎo)出 )()( 1 Ttt B TT dttpdtttrA eeB 0 1 0 )()( det (2) 特征乘數(shù)與特征指數(shù)特征乘數(shù)與特征指數(shù) 根據(jù)矩陣根據(jù)矩陣B的特征值問題的特征值問題 0)( rr bIB 定義定義 r為方程的第為方程的第r 階特征乘數(shù)，而滿足如下階特征乘數(shù)，而滿足如下 關(guān)系的關(guān)系的 r為第為第r 階特征指數(shù)階特征指數(shù) 2 , 1, re T r r 它們反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)，與它們反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性

6、質(zhì)，與(t)的的 選取無關(guān)。選取無關(guān)。 設(shè)有兩個(gè)不同的基本解矩陣設(shè)有兩個(gè)不同的基本解矩陣 和和 ，它們各自滿足，它們各自滿足 )(t )( t B)()(ttT B )( )( ttT 由于由于 是解矩陣，自然存在可逆矩陣是解矩陣，自然存在可逆矩陣C 使得它可由基本解矩陣使得它可由基本解矩陣 表示表示 )( t )(t ,)()( CttCTtTt)()( 易見易見 BCCCTttC CTtCtTtt 11 11 )()( )()()( )( B 根據(jù)線性代數(shù)，單值矩陣根據(jù)線性代數(shù)，單值矩陣B和和 互為相似矩互為相似矩 陣，它們具有相同的特征值。陣，它們具有相同的特征值。 B 例：例：exp（

7、At）的計(jì)算。）的計(jì)算。 01, 1 0 , 0 10 ),( 1)( )()()( 2 0 0 0 2 CBA Cxy BuAxx xttuxx tutt 所以 ，則令 )cos1 (sincos)( cossin sin 1 cos )()( 21 00 0 )( 0 tttty tt tt e duBCexCety At t tAAt (3) Floquet(3) Floquet（弗洛凱）定理（弗洛凱）定理 定理定理 (Floquet(Floquet定理定理) )方程方程 存在具有如下形式的所謂正規(guī)解存在具有如下形式的所謂正規(guī)解 滿足滿足 其中其中 2, 1,)()( retqtu t

8、rr r 2, 1; )()(rtuTtu rrr 2 , 1, )()(rtqTtq rr )()()(tttuAu 證明：取基本解矩陣和由式證明：取基本解矩陣和由式 所確定的特征向量構(gòu)造方程所確定的特征向量構(gòu)造方程 的正規(guī)解的正規(guī)解 不難導(dǎo)出不難導(dǎo)出 2, 1,)()(rbttu rr 0)( rr bIB )()()(tttuAu 不難導(dǎo)出不難導(dǎo)出 2, 1 )()()()()( r tubtBbtbTtTtu rrrrrrr 再取再取 2, 1,)()( retutq t rr r 可驗(yàn)證其周期性如下可驗(yàn)證其周期性如下 2, 1, )()( )( )()( )( rtqetu eetu

9、 eTtuTtq r t r Tt rr Tt rr r rr r 推論：推論： a. a. 若若 即即 則則 相應(yīng)的正規(guī)相應(yīng)的正規(guī) 解漸近穩(wěn)定；解漸近穩(wěn)定； ,0)(r e R, 1 r ,0)( lim tur t b. b. 若若 即即 則則 相應(yīng)的正規(guī)相應(yīng)的正規(guī) 解不穩(wěn)定；解不穩(wěn)定； ,0)(r e R, 1 r ,)(lim tur t c.c.若若 即即 則相應(yīng)的正規(guī)解穩(wěn)定則相應(yīng)的正規(guī)解穩(wěn)定 （但非漸近穩(wěn)定。特別地（但非漸近穩(wěn)定。特別地, ,若存在正整數(shù)若存在正整數(shù)m,m, 使使 則有則有 ,0)(r e R, 1 r , 1 m r 即正規(guī)解以即正規(guī)解以 為周期。為周期。mT 2

10、, 1, )()()(rtutumTtu rr m r r Floquet定理應(yīng)用定理應(yīng)用 v一.線性系統(tǒng) 0)()(2)( 2 00 tututu 1.首先將其寫作二維相空間中的狀態(tài)方程首先將其寫作二維相空間中的狀態(tài)方程 )()(ttAuu 0 2 0 2 10 A 2.求基本解矩陣求基本解矩陣 )(t )()(ttAuu )( )( t dt td Au u dtttd)()(Auuau At et )( At et )( 3. 求矩陣求矩陣B 滿足滿足(0)=I，故，故B=(T) ) 1)cos(, 0)sin(, 2 00 0 TTT 10 01 )( 2 eTB )sin( 1 )c

11、os()sin( 1 1 )sin( )sin( 1 )cos( )( 22 0 2 0 2 0 ttt t tt et ddd d dd t v4. 求矩陣求矩陣B的特征乘數(shù)和特征指數(shù)的特征乘數(shù)和特征指數(shù) 0IB r 0 10 01 10 01 2 r e )2 , 1( 2 re r 特征乘數(shù)特征乘數(shù) 特征指數(shù)特征指數(shù) 0 ln 1 rr T 5.5.穩(wěn)定性穩(wěn)定性 a. a. 若若 相應(yīng)的正規(guī)解漸近穩(wěn)定；相應(yīng)的正規(guī)解漸近穩(wěn)定； ,0 b. b. 若若 相應(yīng)的正規(guī)解不穩(wěn)定；相應(yīng)的正規(guī)解不穩(wěn)定； c.c.若若 則相應(yīng)的正規(guī)解穩(wěn)定則相應(yīng)的正規(guī)解穩(wěn)定 （但非漸近穩(wěn)定）。（但非漸近穩(wěn)定）。 ,0 ,

12、0 v二.參激線性系統(tǒng) 1.首先將其寫作二維相空間中的狀態(tài)方程首先將其寫作二維相空間中的狀態(tài)方程 )()()(tttuAu 0)2cos2( 10 )( t t A 0)2cos2(xtx 2.將T分為K個(gè)小區(qū)間，k=0,1,2,.K T K 10 0 1 kkk 計(jì)算計(jì)算A(t)在（在（ ）區(qū)間的平均值）區(qū)間的平均值kk , 1 0/ )2sin2(sin 10 )( 1 1 1 kkk k k dAC k k )exp()exp()exp()( 1111 CCCT kkkk 3. 求矩陣求矩陣B B= (T) v4. 求矩陣求矩陣B的特征乘數(shù)和特征指數(shù)的特征乘數(shù)和特征指數(shù) 0IB r r

13、特征乘數(shù)特征乘數(shù) 特征指數(shù)特征指數(shù) rr T ln 1 (4) Hill(4) Hill方程方程 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，將方程時(shí)，將方程 0)( 1 tp 0)()()( )()( tutptu tpTtp 18861886年，年，HillHill在分析月球在近地點(diǎn)附近在分析月球在近地點(diǎn)附近 的運(yùn)動(dòng)時(shí)首次研究了這類方程，故該方的運(yùn)動(dòng)時(shí)首次研究了這類方程，故該方 程被稱作程被稱作HillHill方程。顯然，方程。顯然，MathieuMathieu方方 程是其特款。程是其特款。 )()(),()( 0)()()()()( 2211 21 TtptpTtptp tutptutptu 改寫為改寫為 不難驗(yàn)證，通過

14、變換不難驗(yàn)證，通過變換 2, 1,)()( 0 1 2 1 )( rettu t dttp 方程方程 可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為HillHill方程方程 )()(),()( 0)()()()()( 2211 21 TtptpTtptp tutptutptu 0)()()( )( 2 1 )( 4 1 )()( 1 2 12 ttpt tptptptp HillHill方程的特征乘數(shù)滿足特征方程方程的特征乘數(shù)滿足特征方程 故故 且 01)( 2 trB 11 22 21 2 2, 1 trBtrB 當(dāng)trB2時(shí)，其中一個(gè)根的絕對(duì)值大于1 而另一個(gè)根的絕對(duì)值則小于1.因此一個(gè)正規(guī) 解是無界的而另一個(gè)是有界的

15、.trB2 的和值稱為不穩(wěn)定值,而使 trBtrB=2=2 的值稱為過渡值.過渡值的軌跡將 平面分隔成為如圖所示的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的 區(qū)域.沿這些曲線至少有一個(gè)正規(guī)解是周期性 的,具有周期或2.由于Strutt(1928)， Van der Pol和Strutt(1928)的工作,被稱之為 Strutt圖 0)(2cos2 )( 2 2 u dt ud Mathieu為方程參數(shù)平面中的穩(wěn)定和不 穩(wěn)定（陰影)區(qū)域 無界的解可以定性地分為兩種不向的類型 (Cunningham, 1958)如圖所示,第一種類型 是振蕩的,但其振幅隨時(shí)間以指 數(shù)規(guī)律增長(zhǎng),第 二種類型不是振蕩的,同樣隨時(shí)間按指數(shù)律增長(zhǎng) 有

16、界解是非周期性的,隨兩種頻率(的虛部和 激勵(lì)的頻率)而變化,依賴于這兩個(gè)頻率的比值， 解可以呈現(xiàn)出除過渡周期以外的許多種形狀,圖 中顯示了其中的三種.當(dāng)比值很小時(shí),解近似于 周期解,具有高頻調(diào)制的振幅和相位. Mathieu 方程的無界解 Mathieu方程的有界解 的特征指數(shù)可以通過數(shù)值方法求得：在第一個(gè) 振動(dòng)周期內(nèi)數(shù)值地計(jì)算滿足初始條件 和方程的兩個(gè)線性獨(dú)立解.利用這些解及其一 階導(dǎo)數(shù)在t=T的值,可計(jì)算和.解出方程便可 確定的值從而也就得到,因?yàn)?ln/T. )()(),()( 0)()()()()( 2211 21 TtptpTtptp tutptutptu 利用Newton-Raph

17、son方法,可以求出對(duì)應(yīng)于 =1的系統(tǒng)的參數(shù),也就是劃分穩(wěn)定與不穩(wěn)定 的邊界.然而這方法會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的計(jì)算困難,因而 為了決定特征指數(shù)和劃分穩(wěn)定、不穩(wěn)定的邊界, 需要應(yīng)用近似方法. 最后，討論最后，討論HillHill方程在下述條件下的穩(wěn)定性方程在下述條件下的穩(wěn)定性 )()(tStp 其中其中 t dttStSTtS 0 0)(, )()( 和和 是兩個(gè)參數(shù)，它們的不同組合決定了方是兩個(gè)參數(shù)，它們的不同組合決定了方 程的解是否穩(wěn)定。根據(jù)前述分析，解失穩(wěn)的臨程的解是否穩(wěn)定。根據(jù)前述分析，解失穩(wěn)的臨 界條件是，界條件是， 相應(yīng)的相應(yīng)的 可稱作臨界值?？煞Q作臨界值。 HauptHaupt指出：給定指出

18、：給定 平面上的直線平面上的直線=const.=const.， 則在該直線上存在無限多個(gè)孤立的臨界則在該直線上存在無限多個(gè)孤立的臨界 值值， ，形成圖中所示的，形成圖中所示的HauptHaupt圖；當(dāng)圖；當(dāng) 時(shí)解不穩(wěn)定時(shí)解不穩(wěn)定， 時(shí)解穩(wěn)定（但非漸近定），然后依次交替。時(shí)解穩(wěn)定（但非漸近定），然后依次交替。 1 21 ),( )( )()( )1()0( )()( )0( )()()( )1()0( 2 Mathieu方程小激勵(lì)情況的穩(wěn)定圖 在Mathieu方程 中,代表激勵(lì)的強(qiáng)弱;是小參數(shù)時(shí)為Mathieu方 程的小激勵(lì)情況.對(duì)于這種情況,參照上述的穩(wěn)定 區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)分界線與周期解的關(guān)系,可

19、以用小參 數(shù)法方便地求出以和2為周期的周期解,從而確 定分界線和穩(wěn)定區(qū)的分布,即穩(wěn)定圖. 0)2cos2(xtx 現(xiàn)在要研究的問題是用小參數(shù)法把圖上距 離橫向坐標(biāo)軸軸不遠(yuǎn)的狹長(zhǎng)地帶的分界線近似地 定地表示出來,也就是要找到哪些()使方程有以 和2為周期的相間的周期解. 首先是把解x(t)本身用小參數(shù)表示出來.在自 治系統(tǒng)再把待求的振動(dòng)頻率這樣表示出來,隨后在 一般非自治系統(tǒng)又把待求的相位差這樣表示出來. 現(xiàn)在就應(yīng)該把待求的()這樣表示出來.為此設(shè)解 為 22 10 2 2 10 )()()( txtxtxx 把此式代入,比較同冪次頂系數(shù),得 txxxxx txxxx xx 2cos2 2cos

20、2 0 11102202 001101 000 第一式的周期解是 tbtax 000 sincos , 2 , 1 , 0, 2 0 nn 以下依次討論0取這些值時(shí)的穩(wěn)定性邊界。 a. 00 時(shí), atbtax 000 sincos taa txx xxx 2cos2 2cos2 1 001 1101 x1的周期性條件確定1=0 ，從而 把x0,x1，代入第三式得 tax2cos 2 1 1 2 4cos ) 2 1 ( 2cos 2cos2 2 2 2 11102 2202 ta a taa txxx xxx 由x2的周期性條件確定2 -1/2.從而近似解為 ttax4cos2cos 2 1 1 2 32 1 2 2 1 2 b.0=1時(shí)， tbtaxsincos 0 第二式成為 tbta tbta ttbtatbta txx xxxx 3sin3cos sin) 1(cos) 1( 2cos)sinc