第3章 拉普拉斯變換

1、第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 第3章 拉普拉斯變換 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 3.1 引言 連續(xù)、線(xiàn)性、非時(shí)變系統(tǒng)的強(qiáng)有力工具 從數(shù)學(xué)角度看， 是求解常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的工具。 其主要優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在： （1）同時(shí)可以給出微分方程的特解和齊次解； （2）將時(shí)域的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域的代數(shù)運(yùn)算； （3）某些不滿(mǎn)足狄利赫萊條件的函數(shù)，不能進(jìn)行傅里 葉變換，但可以進(jìn)行拉氏變換； （4）將時(shí)域中卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為變換域中的乘法運(yùn)算。 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 3.2 拉普拉斯變換 引入思想 ( )F ( ) j t f t edt ( )f t 1 ( ) 2 j t Fed 有些函數(shù)不滿(mǎn)

2、足絕對(duì)可積條件，是因?yàn)?減幅太慢。( )f t t e 用衰減因子 去乘 。 ( )f t 則應(yīng)取不同的衰減因子。 如果一個(gè)衰減因子不能使得 和 時(shí)都能衰減，t t 為了滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件， 滿(mǎn)足狄利赫萊條件 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 拉氏變換定義 對(duì)函數(shù) 進(jìn)行傅里葉變換，( ) t ef t 以 表示，有： 1( ) F 1( ) F( ) tj t ef t edt () ( ) jt f t edt 令 ，sj以 代替 ，則有： ( )F s 1( ) F ( )F s ( ) st f t edt 對(duì) 即 求傅里葉反變換,有:( )F s 1( ) F 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)

3、與系統(tǒng) ( ) t ef t 1 1 ( ) 2 j t Fed ( )f t () 1 ( ) 2 jt F s ed sj ( )f t 1 ( ) 2 j st j F s e ds j ( )F s ( ) st f t edt 雙邊拉氏變換 記為：( ) ( ) b F sLf t 1 ( ) ( ) b f tLF s 1 dds j j j 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 在工程實(shí)際中，信號(hào)大都是有始函數(shù)， 時(shí)，函數(shù)值為零。0t 單邊拉氏變換 記為： ( ) ( )F sL f t 1 ( ) ( )f tLF s ( )F s 0 ( ) st f t edt ( )f t

4、1 ( ) 2 j st j F s e ds j ( )u t 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 拉氏變換的物理意義 復(fù)指數(shù)分量之和， 拉氏變換的物理意義則是把 分解為 ( )f t 傅里葉變換的物理意義是把 分解為許多形式為 的 ( )f t j t e 許多形式為 的指數(shù)分量之和。 st e 拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系 sj0 當(dāng) 時(shí)， 拉氏變換傅里葉變換 拉氏變換是傅里葉變換的推廣， 傅里葉變換是拉氏變換的特例。 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 3.3 拉普拉斯變換的收斂域 lim t ( ) t f t e 00 例如： 單位階躍信號(hào) lim ( )0 t t u t e 指數(shù)信號(hào)

5、 t e lim tt t e e () lim t t e 0 0 收斂域 收斂域概念:使f(t)e-t滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的值的范圍成為拉普拉斯 變換的收斂域。 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 拉氏變換的收斂域 （1）雙邊拉氏變換的收斂域 0t 1 0t 2 收斂域 收斂域 雙邊拉氏變換收斂域存在的條件是：21 （2）單邊拉氏變換的收斂域 單邊拉氏變換收斂域必定存在， 不再說(shuō)明是否收斂的問(wèn)題。 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 1.單位階躍函數(shù)( )u t ( )L u t 0 ( ) st u t edt 0 st edt 0 1 st e s 1 s 1

6、( )u t s 2.指數(shù)函數(shù) t e t L e 0 tst e edt () 0 st edt () 0 1 st e s 1 s 1 t e s 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) ( n tn為正整數(shù)） n L t 0 nst t edt 3.冪函數(shù) 0 n st t e s 1 0 st n n etdt s 即 n L t 依此類(lèi)推，有： 1 nn n L tL t s 2 1 n n n L t ss 1n n ss 2 1 s s 1 s 1 ! n n s 1 ! n n n t s 1 n n L t s 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) sint 1 sin() 2 j t

7、j t tee j 4.正弦函數(shù) sinLt 1 () 2 j tj t Lee j 111 2j sjsj 22 s 22 sint s 同理可得： 22 cos s t s 即 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) sin t et 1 () 2 tj tj t eee j sin t et 5.衰減正弦函數(shù) ()() 1 () 2 jtjt ee j sin t L et ()() 1 () 2 jtjt Lee j 111 2 j sjsj 22 ()s 即 22 sin () t et s 同理可得： 22 cos () t s et s 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) sh t 1

8、() 2 tt ee 22 sh t s sh t6.雙曲正弦函數(shù) 22 s ch t s 7.單位沖激函數(shù)( ) t ( )Lt 0 ( ) st t edt 1 ( )1t 0 0 () st tte 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 練習(xí)： （1） 2 3 ( )5( ) t teu t 3 cos5 ( ) t etu t （2） 32 (cos 4 ) ( )tt u t（3） 解： 2 3 ( )5( ) t Lteu t 3 5 2s 3 cos5 ( ) t L etu t 2 3 (3)25 s s 32 cos 2 ( )L tt u t 3 1 cos4 2 t L t

9、4 6 s 1 2 1 ( s 2 ) 16 s s （1） （2） （3） 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 本章作業(yè) 常用函數(shù)拉氏變換推導(dǎo) 3-1 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 3.5 拉普拉斯反變換 一.部分分式展開(kāi)法 設(shè)( )F s ( ) ( ) N s D s 1 110 1 110 mm mm nn n b sbsbsb sasa sa 上式中： , ii a b均為實(shí)數(shù)；,m n為正整數(shù) 且，反變換的條件是 為真分式，( )F s 即mn 如果mn，則 要先化為真分式。( )F s 例如： 32 2 421 ( ) 32 ss F s ss 2 2221 410 32 s

10、s ss 10 ( ) t4( ) t真分式 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 1. 的根為實(shí)根且無(wú)重根( )0D s 將上式展開(kāi)為 個(gè)部分分式之和：n ( )F s 12 12 n n KKK sPsPsP 1 n i i i K sP 系數(shù) i K () ( ) i i s P sP F s ( )f t 1 ( ) i n Pt i i K eu t ( ) ( ) ( ) N s F s D s 12 ( ) ()()() n N s sPsPsP 也是 的極點(diǎn)。 ( )F s( )0D s 的根 稱(chēng)為特征根， i P 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 例： 2 5 ( ) 32 s

11、F s ss ( )f t已知 ，求 。 解： 2 5 ( ) 32 s F s ss 5 (1)(2) s ss 12 12 KK ss 1 K 1 5 (1) (1)(2) s s s ss 1 5 (2) s s s 4 2 K 2 5 (1) s s s 3 ( )F s 4 1s 3 2s ( )f t 2 43( ) tt eeu t 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 練習(xí)： 2 5 ( ) 21012 s F s ss ( )f t 已知 ，求 。 解： 2 5 ( ) 21012 s F s ss 15 2 (2)(3) s ss 1 2 3 2s 2 3s ( )f t 1

12、2 23 32( ) tt eeu t 練習(xí)： 2 2 235 ( ) 712 ss F s ss ( )f t已知 ，求 。 解： 2 2 235 ( ) 712 ss F s ss 1119 2 (3)(4) s ss 2 14 3s 25 4s ( )f t 2 ( ) t 34 (1425) ( ) tt eeu t 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 可按實(shí)根的方法處理， 也可采用配方法。 例如： 2 2 ( ) 25 s F s ss 1,2 12pj 特征根 22 cos () t s et s 22 sin () t et s 2 2 (1)4 s s 2. 的根含有共軛復(fù)根(

13、)0D s 2 2 ( ) 25 s F s ss 2 12 2 (1)4s cos2 t et ( )f t 1 sin2( ) 2 t et u t 2 1 (1)4 s s 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 例： 2 5 ( ) (1)(25) s F s sss ( )f t 已知 ，求 。 解： 2 5 ( ) (1)(25) s F s sss 1 1s 2 25 AsB ss 2 25(1)()sssAsB5s 令等號(hào)兩端同次項(xiàng)系數(shù)相等，即可解出 和AB 1 ,0AB ( )F s 2 1 125 s sss 1 1s 2 1 (1)4 s s 2 1 (1)4s ( )f t

14、t e cos2 t et 1 sin2( ) 2 t et u t 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 3. 的根含有重根( )0D s ( )F s 1 1 () r r K sP ( )0D s 1 P設(shè) 有 次重根r 1(1) 11 1 11 () r r K K sPsP 1 1 nr rn KK sPsP 1 , rn KK 的求法與單根相同 1i K 1 1 1 ()( ) ()! r i r r i s P d sPF s rids ( )f t 1 1(1)12 1 11 (1)!(2)! rPtrr r K K ttKe rr 1 ( ) i n Pt i i r K eu

15、t 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 例： 解：( )F s 12 1 KK ss 32 2 (2) K s 31 2 K s 2 3 ( ) (1)(2) s F s s ss ( )f t 已知 ，求 。 1 K 2 K 3 4 2 32 K 2 2 (2)( ) s sF s 1 2 31 K 2 2 (2)( ) s d sF s ds 2 3 (1) s ds ds s s 22 2 (1)(3)(21) (1) s s sss ss 5 4 ( )F s 3 4 s 2 1s 2 1 2 (2)s 5 4 2s ( )f t 2 315 2()( ) 424 tt eteu t 第

16、3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 3.6 拉普拉斯的基本性質(zhì) 一.線(xiàn)性 若 11 ( )( )f tF s 22 ( )( )f tF s 則 1 1221122 ( )( )( )( )f tf tF sF s 二.時(shí)間平移（延時(shí)） ( )( )f tF s若 則 0 00 () ()( ) st f tt u ttF s e 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 例：( )(2)f ttu t( )F s已知 ，求 。 解： ( )(2)f ttu t(2) (2)tu t2 (2)u t 2 2 1 s e s 2 1 2 s e s 2 2 12 s s e s ( )F s 三.S域平移

17、( )( )f tF s若 則 0 ( ) s t f t e 0 ()F ss 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 例： 解： 例如： 22 cos () t s et s 22 cos s t s 3 3 ( ) (5) F s s 已知 ，求 。( )f t ( )f t 25 3 ( ) 2 t t eu t 例： (2) ( )(4) t f tteu t 已知 ，求 。( )F s 解：( )f t (4)2 (4)(4) t tee u t (4)2 4(4) t ee u t ( )F s 24 2 1 (1) s ee s 24 1 4 1 s ee s (42) 2 45 (

18、1) s s e s S域平移 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 四.尺度變換 1 ()() s ftF 0 ( )( )f tF s若 則 例： 解： 設(shè) ，求 的拉氏變換。 ( )( )L f tF s t t ef 利用s域平移和尺度變換性質(zhì)，有： t t L ef 1 ( ()Fs (1)Fs 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 習(xí)題：112頁(yè) 3-5 2( )(32)f ttut 解：( )(32)f ttut 1 (32) (32) 3 tut 2 (32) 3 ut 利用尺度變換和時(shí)移性質(zhì)，有： ( )F s 2 3 2 1 11 3 3 (3) s e s 2 3 2 1 1 3

19、 33 s e s 2 3 2 1 s e s 2 3 2 1 3 s e s 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 五. 時(shí)域微分 ( )( )f tF s若 則 ( ) ( )(0 ) df t sF sf dt ( ) n n d f t dt ( ) ( ) n n n d f t s F s dt 如果初始條件為零，則 ( ) ( ) df t sF s dt ( ) n s F s 1 (0 ) n sf 2 (0 ) n sf (1) (0 ) n f 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 例如： 32 2 421 ( ) 32 ss F s ss 2 2221 410 32 s s s

20、s 10 ( ) t4( ) t 時(shí)域微分 拉氏變換法求解微分方程時(shí)，用到時(shí)域微分性質(zhì)。 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 六.時(shí)域積分 ( )( )f tF s若 則 0 ( ) ( ) t F s fd s ( ) t fd 0 ( )fd 如果 ( ) t fd 則 0 ( ) ( ) fd F s ss 0 ( ) t fd 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 七. s域微分 ( )( )f tF s若 則 ( ) ()( ) n n n d F s tf t ds ( ) () ( ) dF s t f t ds 八. s域積分 ( )( )f tF s 若 則 11 ( ) ( )

21、s f t F s ds t 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 習(xí)題： 解： 112頁(yè) 3-2 6 1 ( )(1) ( ) t f teu t t 1 t Le 11 ss 利用S域積分性質(zhì)，有： ( )F s 1 11 11 s ds ss 1 1 ln s s s ln s s ln s s 11 ( ) ( ) s f t F s ds t 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 習(xí)題：112頁(yè) 3-2 9 ( )sin( ) t f ttetu t 解：sin t L et 2 1 (1)1s 利用S域微分性質(zhì)，有： ( ) () ( ) dF s t f t ds ( )F s 2 1

22、(1)1 d dss 22 2(1) (1)1 s s 22 2(1) (1)1 s s 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 九. 初值定理 0 (0 )lim( ) t ff t lim( ) s sF s 設(shè) 及 存在并有拉氏變換，則 的初值為：( )f t( )f t ( )f t 十. 終值定理 若 及 有拉氏變換，( )f t( )f t且 的所有極點(diǎn)都位于 ( )sF ss 平面的左半平面（原點(diǎn)處可有單極點(diǎn)），則 的終值為： ( )f t ( )lim( ) t ff t 0 lim( ) s sF s 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 穩(wěn)定條件所有極點(diǎn)位于左半 平面s 6 ( )

23、(2)(5) s F s ss 習(xí)題： 解： 113頁(yè) 3-9 1 (0)flim( ) s sF s 6 lim (2)(5) s s s ss 1 初值 終值 ( )f 0 lim( ) s sF s 0 6 lim (2)(5) s s s ss 0 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 十一.卷積定理 若 11 ( )( )f tF s 22 ( )( )f tF s 則 1212 ( )( )( )( )f tf tF s F s 1.時(shí)域卷積定理 2.頻域卷積定理 若 11 ( )( )f tF s 22 ( )( )f tF s 則 1212 1 ( )( )( )( ) 2 f t f tF sF s j 第3章 拉普拉斯變換 信號(hào)與系統(tǒng) 習(xí)題： 解： 113頁(yè) 3-7 17 2 ( ) 4 (1) s e F s s s 1 2 1 (1) L s s 1 2 1 1 s L ss 1 cos ( )t u t 1 ( ) ( )f tLF s 1 1 cos(1) (1) 4 tu t 2 4 (1) s