第二章人壽保險的精算現(xiàn)值

1、2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值1 第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值 o熟悉人壽保險的數(shù)學(xué)模型； o熟悉人壽保險現(xiàn)值隨機變量及人壽保險精算 現(xiàn)值； o掌握各種壽險產(chǎn)品躉繳凈保費及人壽保險現(xiàn) 值隨機變量方差的計算方法； o了解躉繳凈保費的實際意義及遞推公式； o熟悉利用換算函數(shù)計算人壽保險的躉繳凈保 費。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值2 o人身保險是以人的壽命和身體為保險標(biāo)的的保險。 o人壽保險是人身保險的一種。 o人壽保險轉(zhuǎn)嫁的是被保險人的生存或者死亡的風(fēng)險。 它起源于古代的互助團(tuán)體，其原理是通過集合具有 同質(zhì)風(fēng)險的大量被保險人，通過在這些被保險人之 間進(jìn)行風(fēng)險分散即由所有的

2、被保險人共同出資 給遭遇風(fēng)險的少數(shù)被保險人來達(dá)到降低突發(fā)風(fēng) 險事故對遭遇風(fēng)險事故的個體造成的財務(wù)沖擊。 o本章的目的就是討論各種人壽保險的模型和方法。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值3 2.1 連續(xù)型保險 o所謂連續(xù)型保險，指的是在保險事故出現(xiàn)后立即支付保險利益 的保險，因為人壽保險一般以被保險人的死亡為保險事故，所 以有時又叫做在死亡即刻支付的保險。 o在保險事故出現(xiàn)后，保險公司向被保險人（或其收益人）支付 的保險金為保險利益，保險利益一般為從保險開始（保單生效） 后到保險事故出現(xiàn)之間的時間長度的函數(shù)，根據(jù)上一章的記號， 用t來記時間變量，相應(yīng)的保險利益記為bt。 o一般情況下，

3、統(tǒng)稱bt為保額函數(shù)。相應(yīng)地，用vt記貼現(xiàn)函數(shù)， 即將bt貼現(xiàn)到保險開始時的函數(shù)。通常假設(shè)貼現(xiàn)因子中的利率 為常數(shù)。 o對于一份新發(fā)行的保單，因為保險事故發(fā)生的時間由隨機變量 T(x)來描述，而保險利益的支付時間及其價值均與T(x)有關(guān)， 所以，可以定義相應(yīng)的現(xiàn)值隨機變量如下： nZ= bTvT 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值4 等額保險 o所謂等額保險，是指保險利益的金額在保險開始時 就已經(jīng)固定，只是支付的時間不確定而已，支付時 間與保險事故發(fā)生的時間有關(guān)。 n定期死亡保險 n終身壽險 n生存和兩全保險 n延期保險 o定期死亡保險：考慮n年期定期死亡保險，這種保 險只有被保險人在保

4、險開始后n年內(nèi)死亡，保險公 司才對被保險人進(jìn)行支付。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值5 等額保險 o本節(jié)討論的壽險模型 , 其保險金是在被保險人的未來壽命 T= T(x) 時給付 , 即在被保險人死亡時立即給付立即給付。在壽險 實務(wù)中幾乎所有保險都是如此。這 就是所謂的連續(xù)型的人 壽保險模型 o死亡保險: 假設(shè)被保險人在投保 ( 或簽單 ) 時的年齡為x 歲 , 保險金 在被保險人未來壽命 T= T(x) 時的給付金額為 bt, 而 vt 是在時刻 t 時給付 1 個單位金額在簽單時的利息貼 現(xiàn)系 數(shù) ,ZT 是給付金額在簽單時的現(xiàn)值。則現(xiàn)值隨機 變量 TTT vbZ 2021-7

5、-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值6 死亡保險 o對于 (x) 投保連續(xù)型的保險金額為 1 單位的 n 年期定期壽 險 , 其有關(guān)函數(shù)是 nT nTv Ztvv nt nt b T T t tt , 0 , ,0, , 0 , 1 稱現(xiàn)值函數(shù)隨機變量Z的數(shù)學(xué)期望為保險的精算現(xiàn)值，也是躉繳純保費額 ,) t(expA ),(expv )(A 0 1 n : x 00 1 n : x dtupZE dtupvdttfvZE txx t n T txx t n t T n t T 為稱為利力，則上式表示其中如果記 于是 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值7 ,) t2(expA 0 1 n :x

6、 2 dtup txx t n 記 則連續(xù)型的保險金額為 1 個單位的 n 年定期壽險 現(xiàn)值隨機變量 ZT 的方差是 dtupt)exp(-dtupvA 1 txxt 0 txxt 0 t x 2 1 : 1 : 2 2 2 其躉繳純保費是 個單位的終身壽險，金額為對于投保連續(xù)型的保險 nxnx TTT AAZEZEZVar 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值8 2 xx 2 2 2 T txxt 0 x 2 A Z 1)x dtupt)exp(-2A AZEZEZVar TTT 的方差是隨機變量 個單位的終身壽險，為投保連續(xù)型的保險金額對于（ 記 2021-7-1第二章 人壽保險的精

7、算現(xiàn)值9 o例，設(shè)(x) 的未來壽命T=T(x)的密度函數(shù)是 9 . 09 . 0r T T 9 . 0ZP3 Z21 ,Z1 0, , 0 800, 80 1 的分位數(shù)滿足 的方差；隨機變量精算現(xiàn)值； 計算壽險的現(xiàn)值隨機變量為個單位保險金額的終身給付 ，利力為 others t tfT 解 : 依題意 , 則有 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值10 0,8expv vln8ln8,h0.9,dt 80 1 dttfhTPvPZP , 1)exp(, ln ln 3 0 80 )80exp(1 160 )160exp(1 AA2 0 160 )160exp(1 80 1 ) t2(e

8、xpA 0 80 )80exp(1 80 1 ) t(expA1 8 9 .0 9 .0 h h Tr9 .0 t r9 .0r 9 .0 2 2 2 80 0 2 80 0 故 即得 則v v h ZVar dt dt xx x x 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值11 o保險金給付現(xiàn)值的隨機變量 ZT 的方差 , 對于 考慮經(jīng)營該險種業(yè)務(wù)的財務(wù)穩(wěn)定性具有重要的 指導(dǎo)意義。 o 例 設(shè)有 100 個相互獨立的年齡都是 x 歲的被保險 人均投保保險金額為 10 元的連續(xù)型終身壽險 , 死力為 =0.04, 保險金將從按利力 =0.06 計息的投資基金 中支付。 試計算該項基金在最初

9、(t=0) 時 , 其數(shù)額至 少有多大 , 才能保證從該項基金中足以支付每 個被保 險人死亡保險金的概率近似為 95%。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值12 o解 : 設(shè) Zj 表示第 j 個被保險人的死亡給付在投保時的現(xiàn)值隨機變量 , 則 900VarVar400EE 100, 2 , 1j9425EEVar 100, 2 , 1j25 2u u 100 dtt2uexputexp100A10E 100, 2 , 1j4 u u 10 dttuexputexp10A10E ,Z 100,100, 2 , 1, 010 100 1j 100 1j 2 2 2 0 x 222 0 x

10、 10021 100 1j jj j j j j j j t j ZZZZ ZZZ Z Z ZZZZ jTvZ ，從而可得 是相互獨立的，其中， 現(xiàn)值總額是個人的死亡保險金額的則這 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值13 設(shè)該項基金在最初時的數(shù)額至少是 h 元 , 依題意 , 則 )449.35(645. 130400h 645. 1 30 400h ,95. 0 元故 布，則近似服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 ZVar ZEh ZVar ZEZ P r 即該項基金在最初時的數(shù)額至少要有 449.35 元 , 比所收取的 建繳純保費建立的初始基金 400(=100 4) 元多出 49.35 元 ,

11、即超過歪繳純保費基金的 12.34% 。這說明 , 最初基 金 需有風(fēng)險附加費 ( 即安全附加費 ) 的存在 , 即該基金超過保費 總額的那部分 (49.35 元 ) 是 安全附加基金。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值14 兩全保險與延期壽險 o對于 (x) 投保連續(xù)型的保險金額為 1 個單位的 n 年期兩全保險 , 其給付現(xiàn)值的隨機變量 2 n : xn : x 2 xn 2 txxt n 0 xn 2 txxt n 0 2t 2 T n : x 2 n 1 : x n : x 1 xntxxt n 0 t n : x n : x AAZVarZ pdtupt2exp pdtup

12、ZEA AApdtupA )A, , , 的方差是其現(xiàn)值隨機變量 記 是號則其躉繳純保費（用符 n n n n T T v vv vv nTv nTv Z 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值15 延期壽險 o對于 (x) 投保連續(xù)型的保險金額為 1 個單位的延期 h 年的終身 壽險 , 其給付現(xiàn)值的隨機變量是 2 xx 2 txxt n 0 x 2 txxt h txxt h t x x AAZVarZ dtupt2expA dtupexpdtupA )A, , , 0 hh h h h T T tv hTv hT Z 的方差是其現(xiàn)值隨機變量 記 是號則其躉繳純保費（用符 2021-7

13、-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值16 o表示連續(xù)型的保險金額為 1 個單位的延期 h 年的 n 年期定期壽險和延期 h 年的 n 年期兩全保險的躉繳 純保費分別為 。生存保險的躉繳純保費 年個單位的年的保險金額表示延期其中n1hA AAA;A n 1 : x n 1 : xxn : xx nh nhnhnh txxt nh h t nhdtupv 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值17 o例例考察保險金額為 1 個單位的延期 5 年的終身壽險 , 設(shè)年齡為 x歲的被保險人 , 其死力為常值 =0.04, 利 力 =0.10,Z 表示給付現(xiàn)值隨機變量。試求 : o期望值 E(Z);(2)

14、方差 Var(Z);(3)中位數(shù) (1)解 : 依題意可知 , 未來壽命 T=T(x)的密度函數(shù)是 5 . 0 0502. 02u5-exp 2u u dtut-uexp2exp 1419. 0u5-exp u u dtut-uexpexpA1 0exp 5 2 5 x5 tZE tZE tututfT 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值18 0573. 03187. 0 3187. 00.04h-expuh-expdtut-uexphTP 3187. oZ0PhTP 10lnh,3187. 00ZP5 . 0Z0P 0,1813. 05 . 0ZP 1813. 05uexp-1 dt

15、utuexp5TP0ZP 3 0301. 02 5 . 2 5 . 0 h r 5 . 0rr 5 . 0r5 . 0r 5 . 05 . 0r 5 0 rr 2 2 而 記且 即 得由題意知，求中位數(shù)使 ZEZEZVar 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值19 變額保險 o對于連續(xù)型的非均衡給付保險 , 本文僅討論遞增非均衡 給付和遞減非均衡給付中的兩種特殊情形:1. 按算術(shù)數(shù) 列續(xù)年遞增的終身壽險 ; 2. 按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞減的終 身壽險。 o1. 按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞增的終身壽險 o按算術(shù)數(shù)列n 續(xù)年遞增的連續(xù)型的終身壽險 , 可分 為三種情況 , 其一是按年遞增的終身壽險 , 其二

16、是按 年遞增且每年遞增 m 次的終身 壽險 , 其三是按年連續(xù) 遞增的終身壽險。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值20 o(1) 按年遞增的終身壽險:其保險利益為 : 如被保險人在第一保 單 年度內(nèi)死亡 , 則在死亡時立即給付保險金 1 元 ; 在第二個保單年度 內(nèi)死亡 , 則在死亡時 立即給付保險金 2 元 ; 在第三個保單年度內(nèi) 死亡 , 則在死亡時立即給付保險金 3 元 , 依次 類推 o該終身壽險的有關(guān)函數(shù)是 1 1 0 1 01;0;01 k k k txxt t txxt t x x T TTT t tt dtpvk dtpvtZEAI AI TvTvbZtvvttb ）

17、（ 表示是）號（則其躉繳純保費（用符 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值21 o(2) 按年度遞增且每年遞增 m 次的終身壽險. o它是將每一個保單年度分為均等的 m 個時間段 , 其保 險利益是 : 如被保險人在第一個保單年的第一個1/m 年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險金1/m 元 , 在第一個保單 年的第二個1/m 年( 即1/m 到2/m年之間）內(nèi)死亡 , 則立即給付保險金2/m，第一個保單年的第 m 個 1/m年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險金 1( 即m/m ) 元 ; 在第二個保單年的第一個1/m年內(nèi)死亡 , 則立即給付 保險金(1+ 1/m) 元 , 在第二個保單年的第二個1/

18、m 年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險金 (1+ 2/m) 元 , 依次類 推 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值22 o該終身壽險的有關(guān)函數(shù)是 dtpv m mt ZEAI AI T m mTv vbZ tvvt m mt b txxt t x m x m T TTT t tt 0 1 0 1 ;0;0 1 ）（ 表示是）號（則其躉繳純保費（用符 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值23 o(3) 按年連續(xù)遞增的終身壽險。按年連續(xù)遞增的即期終身壽險 其保險利益是 : 如被保險人在時刻 t(tO) 時死亡 , 則給付死亡 保險金 t 元 o該終身壽險的現(xiàn)值隨機變量 0000 0 )()

19、( 0 dtdspvdtpvds dtptvZEAI AI TTvZ t txxt t txxt t t txxt t x x T T ）（ 表示）是）號（則其躉繳純保費（用符 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值24 dsAdsdtpvAI xs s txxt t x 00 )(）（ 交換積分次序，可得 上式 表明 : 按年連續(xù)遞增的終身壽險保單等價于由一系列 的延期的保險金額為1 元的連續(xù)型終身壽險保單所組成 n k k k txxt t txxt t n nx nx dtpvk dtpvtZEAI nAI 1 1 0 1 : 1 : 1 ）（ 費，則年定期壽險的躉繳純保表示按年遞增

20、的）同樣的，設(shè)（ 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值25 o2. 按年遞減的 n 年定期壽險。按年遞減的 n 年定期壽 險 , 其保險利益是 : 如被保險 人在第一個保單年內(nèi)死 亡 , 則立即給付保險金 n 元 , 在第二個保單年內(nèi)死亡 , 則立即給 付保險金 (n-1) 元 , 依次類推 , 在第 n 個保 單年內(nèi)死亡 , 則立即給付保險金 1 元。 o該 保險的有關(guān)函數(shù)是 1 0 1 0 1 : 1 : )( )( 0 )( ;0; 0 n k k k txxt t txxt t n nx nx T TTT t tt dtpvkn dtpvtnZEAD AD nT nTvtn vb

21、Ztvv nt nttn b ）（ 表示是）號（則其躉繳純保費（用符 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值26 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值27 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值28 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值29 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值30 微分方程（換算函數(shù)表示式） 本節(jié)引人連續(xù)的換算函數(shù)來表示連續(xù)型各壽險的精算現(xiàn)值 考慮(x)的終身壽險，我們有 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值31 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值32 死亡均勻分布假設(shè)下的壽險模型 o 討論在死亡均勻分布假設(shè)下，連續(xù)型壽險模型的躉繳 純

22、保費與相對應(yīng)的離散型壽險模型之間的關(guān)系。 之間的關(guān)系與， x xAA1 以連續(xù)型的保險金額為 1 個單位的終身壽險為例 , 在死亡 均勻分布的假設(shè)條件下 , 討論 之間的關(guān)系與 x xAA xx x S x SKS SKSKT x A i A v i A v v AdsvvEvE vvEvEvEZEA ln ln 1 0 1 1 0 111 11 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值33 第二章人壽保險的精算現(xiàn)值（躉繳純保費） o第二節(jié) 離散型人壽保險模型 o概念：是指以離散型未來壽命為基礎(chǔ)，保險金是在 被保險人所處的保單年度末支付而建立的各種人壽 保險的數(shù)學(xué)模型。 o若被保險人在投保

23、( 或簽單 ) 時的年齡為 Z 歲 , 其 未來壽命整年數(shù)為 K(x), 則其概率分布律為 , 2 , 1 , 0)(Pr( kqqpkxK xkkxxk 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值34 離散型人壽保險模型 o假設(shè)保險金額在 K(x)+1 處給付 , 給付數(shù)額為 bk+l 元 , 記 K+1 為在 K(x)+1 處給付1 個單位保險金在簽單時的利息貼現(xiàn)系數(shù) ,Z 為給付保 險金額在簽單時的現(xiàn)值。則 Z= bk+l K+1 (K=0,1,2, ) o因此 , 在離散型人壽保險模型下 , 現(xiàn)值隨機變量 Z 的期望值 E(Z) 的 一般表達(dá)式是 o對于人壽保險 , 現(xiàn)值隨機變量 Z

24、的期望值 E(Z) 稱為躉繳純保 費。躉繳意味著一次性繳付而不是按其他方式分期繳付。 xkk k k qbvZE 1 0 1 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值35 等額保險 o等額保險指保險利益固定的保險，支付時間不確定，可 以分為 n 年定期死亡保險險、終身壽險、兩全保險、 延期保險等。 o設(shè)年齡為x歲的人 , 投?；蚝灱s保險金額為 1 個單位的 n 年定期壽險 , 則給付現(xiàn)值函數(shù)是 o用換算符號，可以得 o在人壽保險中 , 純保費 通常稱為自然純保費 表示其躉繳純保費用符號 其他 1 n :x 1 A 0 1, 2 , 1 , 0 nkv Z k 1 0 11 n : x A n

25、 k kxx k k qpvZE 1 n : x A 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值36 另外，有 從而得到定期保險的一個遞推公式 ：一份n年期定期保險，可以拆成兩份保 險之和，它們分別是，一年期的定期保險和在一年后的n-1年期定期保險， 因為一年后的n-1年期定期保險只有在被保險人生存的情況下才有意義，所 以，其價值為一年后的 在現(xiàn)在的精算現(xiàn)值 1 11xn A ： 上述遞推關(guān)系式，也可以得到一種由生命表直接計算定期保險的方法，即： n年期定期保險的精算現(xiàn)值可以寫成一系列的一年期保險的精算現(xiàn)值之和 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值37 上式第一個等號的左邊可以看成是保險

26、人在賣出lx份保險后收集到的全部保 費在時刻1（即賣出保險1年后）的積累值，因為在1時還有l(wèi)x+1個被保險人 生存，所以保險公司應(yīng)該有l(wèi)x+1份n-1年期的保險的負(fù)債，同時，因為在第一 年死亡dx人，保險公司在時刻1時需要向每個在第一年內(nèi)死亡的人（或其受 益人）支付1元保險利益，根據(jù)收支（含負(fù)債）相等的原則，第一個等號成 立。第二個等號是因為lx+1=lx-dx，等號右邊的含義是：所有在x歲購買了n 年期定期保險的lx個人，在1年后都應(yīng)該有一份n-1年期的保險，同時對那些 在這年內(nèi)死亡的被保險人來說，他們還得到另外一筆金額為 的 支付 1 11 (1) xn A ： 2021-7-1第二章 人

27、壽保險的精算現(xiàn)值38 用x+1替代上式中的x，同時用n-1替代上式中的n，有 這表明：保險的精算現(xiàn)值其實就是保險期限內(nèi)各年度預(yù)期的年度花費的現(xiàn)值 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值39 o例2-9 假設(shè)i=4%，利用示例生命表（2000-2003非 養(yǎng)老保險生命表CL1），計算20歲被保險人的1000單 位保險利益的三年期定期死亡保險的精算現(xiàn)值。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值40 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值41 o2終身壽險 o注意到，如果令式(2-18)中 n，那么n年期定期保 險就變成了終身壽險，所以，終身壽險的精算現(xiàn)值為 上式的意義非常明顯：左邊可看

28、成是在保單發(fā)行時，所有的被保險人 (x)聚集的資金（相當(dāng)于保險公司為發(fā)行全部保單而建立的保險基 金），右邊則是預(yù)期的全部死亡賠付在保單發(fā)行時的現(xiàn)值。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值42 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值43 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值44 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值45 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值46 計算結(jié)果表明：基金預(yù)期金額與實際金額相差- 7115.78元，也就是說，實際結(jié)果比預(yù)期的理想。 造成實際結(jié)果比預(yù)期理想的原因是在第一年的實 際投資收益率是5%，超過預(yù)期！另外，從死亡人 數(shù)方面看，實際的死亡情況

29、比預(yù)期的還要好，因 為各年實際出現(xiàn)的死亡人數(shù)都比預(yù)期的要少。由 此也可以看出，利率假設(shè)在壽險產(chǎn)品定價中的重 要性 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值47 o 例 設(shè)現(xiàn)有 100 個年齡為 30 歲的人組成一個互助會 , 并建立一 筆基金 , 該項 基金專門用于在他們每個成員死亡時給付其指定受 益人 1000 元 ( 給付時間是在死亡的基金 年度末 ) 。經(jīng)商定 : 這筆基金總額是按 1990 年 -1993 年中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命 表 ( 非養(yǎng) 老金業(yè)務(wù)混合表 ) 和預(yù)定年利率 6% 來計算躉繳純保 費的 , 試問每個成員需要繳納多少資 金。若這個基金實際運作的 結(jié)果是：在第二年與第

30、五年分別有 1 人死亡，第一年的收益率 是 6%, 第二年和第三年的收益率是 6.5%, 第四年與第五年的收益 率是 7% 。試分析在第 五年度末該基金按計劃之初決定的期望值 與實際基金之間的差異 。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值48 例題 o解：每個成員需要繳納的資金 ( 也稱會費 ) 是 P=1000A30=86.63( 元 ) 則 100 個成員所建立的基金總額是 S=100p=100 86.63=8663( 元 ) 在第五年度末該項基金按計劃之初決定的期望值是 用 FK 表示第 k 個基金年度末的基金值 , 則實際運作的結(jié)果是 F0=S =8663( 元 )，F(xiàn)5=100

31、04.86 (1+7%)-1000=970520( 元 ) o兩者之間的差額是11061.69-9705.20=1356.49( 元 ) o這一結(jié)果反映了五年間的投資與死亡的經(jīng)驗 , 一方面反映了實際投資收益 超過了預(yù)期利率 6% 的年收益 , 而另一方面也反映了實際死亡人數(shù) 2 大 大高于預(yù)期死亡人數(shù) 0.44880 )(69.110611000100 35 30 35 元A l l 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值49 兩全保險 oN年兩全保險是由n年生存保險和n年定期壽險組成的， 假設(shè)（x）簽約保險金額為1個單位的n年兩全保險， 則其有關(guān)函數(shù)是 xn n x n k k k n

32、 k k k pvqv nkv nkv v nkb 1 0 1 1 n : xn : x 1 1 1 A)A( )( 1, 2 , 1 , 0 ) 1, 2 , 1 , 0( 1 表示用符號躉繳純保費 x nxnxx n : x D DMM A 得運用換算函數(shù)替代，可 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值50 例2-13 已知某(35)的壽命服從de Moivre律，=100，i=0.05，Z為對其發(fā) 行的20年定期兩全壽險的現(xiàn)值隨機變量，計算Z的期望和方差。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值51 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值52 延期壽險 o概念：人壽保險模型

33、, 是壽險保單一經(jīng)簽訂 , 保險保障即 生效的保險, 也可稱為即期壽險。 而本節(jié)我們考慮的情況 為 延期壽險 , 它意味著在保單簽發(fā)后的若干年后才提供 保障。 o函數(shù)：假設(shè) (x) 投保離散型的保險金 額為 1 個單位的延 期 h 年的 n 年定期壽險 ,則其有關(guān)函數(shù)是 其他 其他 0 ) 1, 2, 1,( Z , 2 , 1 , 0 0 ) 1, 2, 1,(1 1 11 1 1 1 nhhhhkv vb kvv nhhhhk b k kk k k k 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值53 延期壽險 nxxn hxxhx k k k x n k k k AE AEqv qv 1

34、n : x x h 1 xh 1k h 11 n : x h AA A A其躉躉繳純保費記 因此有： 值為：延期終身壽險的精算現(xiàn) 例證明 1 h : x 1 hn : x 1 n : x h AAA 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值54 n 1 : x hxk 1n 0k 1k xh h khxhxkxh 1n 0k 1kh1 h : x hxk 1hn hk 1k xk 1h 0k 1k xk 1hn 0k 1k1 h : x 1 hn : x :Aq vpv qppvvAqv qvqvAA 1 hx h A 證明： 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值55 例2-14 假設(shè)

35、利率i=4%，利用示例生命表，求： 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值56 我們討論了各種年度離散保險，類似地，我們還可以討論在死亡所在的1/m年 度末支付的保險。這種支付模式可能更有實際意義，因為在人壽保險實務(wù)中， 保險利益的支付并沒有必要等到年末，而是在保險事故發(fā)生后比較短的時間內(nèi) 支付，因此，在死亡的1/m年度末支付的保險可能更與實際情況接近。 這種保險的討論與上述討論完全類似，我們以終身壽險為例進(jìn)行討論。 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值57 1 ()(1)/ 00 Pr/( )(1)/ m mmkjm x kj Avkj mT xkjm 1 (1)/ /(1)/ 0

36、0 m mkjm kj mxkjmx kj vpp 1 (1)/ /(1)/ 00 m mkjm kxj mx kjmx k kj vppp 1 (1)/ (1)/ 00 m mkjm kxjmx kj mx k kj vpqq 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值58 變額保險（非均衡給付保險） o考慮保險金額的給付隨著被 保險人未來壽 命的變化而改變 , 這類人壽保險稱為變額保 險. o我們主要討論保險金額按算術(shù)數(shù)列 n 遞 增和遞減的情形. o 遞增的 n 年定期壽險,即假設(shè) (x) 投保離散 型的按算術(shù)數(shù)列遞增的 n 年期定期壽險 . 2021-7-1第二章 人壽保險的精算現(xiàn)值59 遞增的 n 年定期壽險 o若保險人在第 k +1 個保單年度內(nèi)死亡 , 則給付 (k+1) 元的保險金 (k=0,1,2, n-1). 則相應(yīng)的有關(guān)函數(shù)是 bk+1=k +l, (k =0,1,2, ,n -1) vk+1= (k =0,1,2, ,n -1) Z=bk+1 vk+1=(k+1) (k =0,1,2, ,n -1) 1k v 1k v xk 1k 1 0k 1 n : x 1 n : x qv1kZEIA ,IA n ）（ 則）精算現(xiàn)值記作（ 2021-7-1第