結(jié)構(gòu)力學(xué)第三章習(xí)題解析

1、第三章 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析 與抗震計算 3.1 概述概述 3.2 單自由度體系的彈性地震反應(yīng)分析單自由度體系的彈性地震反應(yīng)分析 3.3 單自由度體系的水平地震作用與反應(yīng)譜單自由度體系的水平地震作用與反應(yīng)譜 3.4 多自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析多自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析 3.5 多自由度彈性體系最大地震反應(yīng)與水平地震作用多自由度彈性體系最大地震反應(yīng)與水平地震作用 3.6 豎向地震作用豎向地震作用 3.7 結(jié)構(gòu)平扭耦合地震反應(yīng)與雙向水平地震影響結(jié)構(gòu)平扭耦合地震反應(yīng)與雙向水平地震影響 3.8 結(jié)構(gòu)非彈性地震反應(yīng)分析結(jié)構(gòu)非彈性地震反應(yīng)分析 3.9 結(jié)構(gòu)抗震驗算結(jié)構(gòu)抗震驗算 3.1 3.1 概述概述

2、 由地震動引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形、由地震動引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形、 位移及結(jié)構(gòu)運動速度與加速度等位移及結(jié)構(gòu)運動速度與加速度等 一、結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)一、結(jié)構(gòu)地震反應(yīng) ：由地震動引起的結(jié)構(gòu)位移由地震動引起的結(jié)構(gòu)位移 地面運動地面運動 結(jié)構(gòu)動力特性：自振周期，振型和阻尼結(jié)構(gòu)動力特性：自振周期，振型和阻尼 1.1.結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng) 2.2.結(jié)構(gòu)地震位移反應(yīng)結(jié)構(gòu)地震位移反應(yīng) ： 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng) 影響因素影響因素 結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)就是指在地震作用下在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的彎矩、剪力、軸向力結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)就是指在地震作用下在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的彎矩、剪力、軸向力 和位移等。和位移等。 3.1 3.1 概述概述

3、 ：能引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形等反應(yīng)的各種因素能引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力、變形等反應(yīng)的各種因素 二、地震作用二、地震作用 作用分作用分 類類 各種荷載：如重力、風(fēng)載、土壓力等各種荷載：如重力、風(fēng)載、土壓力等 各種非荷載作用：如溫度、基礎(chǔ)沉降、地震等各種非荷載作用：如溫度、基礎(chǔ)沉降、地震等 等效地震荷載等效地震荷載 ：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用 作用作用 直接作用直接作用 間接作用間接作用 結(jié)構(gòu)的地震作用結(jié)構(gòu)的地震作用: :地震時，由于地面運動使原來處于靜止的結(jié)構(gòu)受到動力作地震時，由于地面運動使原來處于靜止的結(jié)構(gòu)受到動力作 用，產(chǎn)生受迫振動，由于地面

4、的強(qiáng)迫振動在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的慣性力用，產(chǎn)生受迫振動，由于地面的強(qiáng)迫振動在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的慣性力 地震作用的確定：反應(yīng)譜理論和動力理論 反應(yīng)譜理論：將多個實測的地面振動波分別代入單自由度反應(yīng)方程，計算出反應(yīng)譜理論：將多個實測的地面振動波分別代入單自由度反應(yīng)方程，計算出 各自最大彈性地震反應(yīng)（加速度、速度、位移），從而得出結(jié)構(gòu)最大地震各自最大彈性地震反應(yīng)（加速度、速度、位移），從而得出結(jié)構(gòu)最大地震 反應(yīng)與該結(jié)構(gòu)自振周期的關(guān)系曲線，這個曲線就是反應(yīng)譜，在工程中應(yīng)用反應(yīng)與該結(jié)構(gòu)自振周期的關(guān)系曲線，這個曲線就是反應(yīng)譜，在工程中應(yīng)用 比較廣泛的是加速度反應(yīng)譜。由于反應(yīng)譜可計算出最大地震作用，然后按比較廣泛的是加速

5、度反應(yīng)譜。由于反應(yīng)譜可計算出最大地震作用，然后按 靜分析法計算地震反，所以仍屬于靜力法。但由于反應(yīng)批理論較真實地考靜分析法計算地震反，所以仍屬于靜力法。但由于反應(yīng)批理論較真實地考 慮了結(jié)構(gòu)振動特點，計算簡單實用，因此目前是各國建筑抗震規(guī)范中給出慮了結(jié)構(gòu)振動特點，計算簡單實用，因此目前是各國建筑抗震規(guī)范中給出 的一種主要抗震分析方法。的一種主要抗震分析方法。 動力理論是直接通過動力方程采取逐步積分法求解出地震反應(yīng)與時間的關(guān)動力理論是直接通過動力方程采取逐步積分法求解出地震反應(yīng)與時間的關(guān) 系曲線，這條曲線成為時程曲線，因此該方法又稱為時程分析法。時程分系曲線，這條曲線成為時程曲線，因此該方法又稱為

6、時程分析法。時程分 析法能更真實地反映結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)隨時間變化的全過程，并可處理強(qiáng)震下析法能更真實地反映結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)隨時間變化的全過程，并可處理強(qiáng)震下 結(jié)構(gòu)的彈塑性變形，因此已成為抗震分析的一種重要方法，但由于時程法結(jié)構(gòu)的彈塑性變形，因此已成為抗震分析的一種重要方法，但由于時程法 只能使用特定的地震波，而且計算分析量大，因此目前我國規(guī)范仍主要采只能使用特定的地震波，而且計算分析量大，因此目前我國規(guī)范仍主要采 用反應(yīng)譜法進(jìn)行抗震分析。用反應(yīng)譜法進(jìn)行抗震分析。 隨著計算機(jī)技術(shù)和有限元理論的發(fā)展，利用大型有限元軟件如隨著計算機(jī)技術(shù)和有限元理論的發(fā)展，利用大型有限元軟件如Ansys,Ansys, MSC

7、.MarcMSC.Marc等對結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震發(fā)應(yīng)分析和有限元仿真分析已開始等到廣等對結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震發(fā)應(yīng)分析和有限元仿真分析已開始等到廣 泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。 3.1 3.1 概述概述 1. 1. 連續(xù)化描述（分布質(zhì)量）連續(xù)化描述（分布質(zhì)量） 三、三、結(jié)構(gòu)動力計算簡圖及體系自由度結(jié)構(gòu)動力計算簡圖及體系自由度 描述結(jié)構(gòu)質(zhì)量的兩種方法描述結(jié)構(gòu)質(zhì)量的兩種方法 采用集中質(zhì)量方法確定結(jié)構(gòu)計算簡圖采用集中質(zhì)量方法確定結(jié)構(gòu)計算簡圖 （步驟）：（步驟）： 2. 2. 集中化描述（集中質(zhì)量）集中化描述（集中質(zhì)量）工程上常用工程上常用 定出結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中定出結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中 位置（質(zhì)心）位置（質(zhì)心） 將區(qū)域主要質(zhì)量集中在質(zhì)心

8、；將區(qū)域主要質(zhì)量集中在質(zhì)心； 將次要質(zhì)量合并到相鄰主要質(zhì)量的質(zhì)點上去將次要質(zhì)量合并到相鄰主要質(zhì)量的質(zhì)點上去 集中化描述舉例集中化描述舉例 a a、水塔建筑、水塔建筑 (a) 水塔 hh (b) 廠房 (c) 多、高層建筑(d) 煙囪 主要質(zhì)量：水箱部分主要質(zhì)量：水箱部分 次要質(zhì)量：塔柱部分次要質(zhì)量：塔柱部分 水箱全部質(zhì)量水箱全部質(zhì)量 部分塔柱質(zhì)量部分塔柱質(zhì)量 集中到水箱質(zhì)心集中到水箱質(zhì)心 單質(zhì)點體系單質(zhì)點體系 b b、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板）、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板） (a) 水 塔 hh (b) 廠 房 (c) 多 、 高 層 建 筑(d) 煙 囪 主要質(zhì)量：屋面部分主要質(zhì)量：屋面部

9、分 廠房各跨質(zhì)量廠房各跨質(zhì)量集中到各跨屋蓋標(biāo)高處集中到各跨屋蓋標(biāo)高處 集中化描述舉例集中化描述舉例 c c、多、高層建筑、多、高層建筑 主要質(zhì)量：樓蓋部分主要質(zhì)量：樓蓋部分 多質(zhì)點體系多質(zhì)點體系 d d、煙囪、煙囪 結(jié)構(gòu)無主要質(zhì)量部分結(jié)構(gòu)無主要質(zhì)量部分 結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域 集中到各區(qū)域質(zhì)心集中到各區(qū)域質(zhì)心 (a) 水 塔 hh (b) 廠 房 (c) 多 、 高 層 建 筑(d) 煙 囪 ( a ) 水 塔 hh ( b ) 廠 房 ( c ) 多 、 高 層 建 筑( d ) 煙 囪 多質(zhì)點體系多質(zhì)點體系 3.2 3.2 單自由度彈性體系的地震反應(yīng)單自由度彈性體系的地震反應(yīng) 一

10、、運動方程一、運動方程 c f 地面水平運動的位移 質(zhì)點相對地面的水平位移 質(zhì)點的絕對位移 相應(yīng)的絕對加速度 )( 0 tx )(tx )()( 0 txtx )()( 0 txtx 慣性力I為質(zhì)點的質(zhì)量m與絕對加速度的乘積 彈性恢復(fù)力S是使質(zhì)點從振動位置恢復(fù)到平衡位置的一種力，它的大小與質(zhì)點 離開平衡位置的位移成正比 阻尼力D是一種使結(jié)構(gòu)振動不斷衰減的力，即結(jié)構(gòu)在振動過程中，由于材料的內(nèi) 摩擦、構(gòu)件連接處的摩擦、地基土的內(nèi)摩擦以及周圍介質(zhì)對振動的阻力等，使得 結(jié)構(gòu)的振動能量受到損耗而導(dǎo)致其振幅逐漸衰減的一種力。阻尼力有集中不同的 理論，目前應(yīng)用最廣泛的是所謂的粘滯阻溺理論，它假定阻尼力的大小

11、與質(zhì)點的 速度成正比 )()()( 0 txtxmtI )()(tkxtS )()(txctD 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，物體在運動中的任意瞬時，作用在物體上的外力與慣性力互相 平衡 力的平衡條件：力的平衡條件： 令令 k m m c 2 二、運動方程的解二、運動方程的解 1. 1.方程的齊次解方程的齊次解自由振動自由振動 齊次方程齊次方程：02 2 xxx 自由振動：在沒有外界激勵的自由振動：在沒有外界激勵的 情況下結(jié)構(gòu)體系的運動情況下結(jié)構(gòu)體系的運動 )()()()( 0 txmtkxtxctxm )()()(2)( 0 2 txtxtxtx 0)()()(tItDtS 01 為共軛復(fù)數(shù)為共軛復(fù)數(shù)，

12、（2 2）若）若 方程的解：方程的解： 特征方程特征方程 02 22 rr 特征根特征根 1 2 1 r 1 2 2 r （4 4）若）若 ， 、 為負(fù)實數(shù)為負(fù)實數(shù)1 1 r 2 r trtr ecectx 21 21 )( 1 21 rr t etcctx )()( 21 （3 3）若）若， 1 r 2 r、)sincos()( 21 tctcetx DD t 物體從開始的最大位移處緩慢地逼近平衡位置，物體從開始的最大位移處緩慢地逼近平衡位置， 完全不可能再作往復(fù)振動完全不可能再作往復(fù)振動過阻尼狀態(tài)過阻尼狀態(tài) 物體從開始的最大位移處快速逼近平衡位置物體從開始的最大位移處快速逼近平衡位置 臨界

13、阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài) 體系產(chǎn)生振動體系產(chǎn)生振動 欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài) 2 1 D 其中其中 圖圖 各種阻尼下單自由度體系的自由振動各種阻尼下單自由度體系的自由振動 當(dāng)當(dāng) 1 臨界阻尼系數(shù)：臨界阻尼系數(shù)：mcr2 臨界阻尼比（簡稱阻尼比）臨界阻尼比（簡稱阻尼比） r c c （1 1）若）若 t x(t)x(t) 0= 10 1 12 ( )cossinx tctct 1 0 體系產(chǎn)生振動體系產(chǎn)生振動 無阻尼狀態(tài)無阻尼狀態(tài) 任何一個振動系統(tǒng)，當(dāng)任何一個振動系統(tǒng)，當(dāng)阻尼阻尼增加到一定程度時，物體的運動是增加到一定程度時，物體的運動是 非周期性的，物體振動連一次都不能完成，只是慢慢地回到平非周期性的

14、，物體振動連一次都不能完成，只是慢慢地回到平 衡位置就停止了。當(dāng)阻力使振動物體剛能不作周期性振動而又衡位置就停止了。當(dāng)阻力使振動物體剛能不作周期性振動而又 能最快地回到平衡位置的情況，稱為能最快地回到平衡位置的情況，稱為“臨界阻尼臨界阻尼”，或中肯阻，或中肯阻 尼狀態(tài)。如果阻尼再增大，系統(tǒng)則需要很長時間才能達(dá)到平衡尼狀態(tài)。如果阻尼再增大，系統(tǒng)則需要很長時間才能達(dá)到平衡 位置，這樣的運動叫過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)如果所受的阻尼力較小位置，這樣的運動叫過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)如果所受的阻尼力較小 ，則要振動很多次，而振幅則在逐漸減小，最后才能達(dá)到平衡，則要振動很多次，而振幅則在逐漸減小，最后才能達(dá)到平衡 位置，這

15、叫做位置，這叫做“欠阻尼欠阻尼”狀態(tài)。狀態(tài)。 所謂“欠”阻尼，說明阻尼不夠大，因此這個阻尼并不足以阻止振動越過平 衡位置。此時系統(tǒng)將做振幅逐漸減小的周期性阻尼振動。系統(tǒng)的運動被不斷 阻礙，所以振幅減衰，并且振動周期也是越來越長。經(jīng)過較長時間后，振動 停止。此時的振動方程是正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。振動曲線如圖所示。 欠阻尼 圖所 所謂所謂“過過”阻尼，說明阻尼太大，振動根本無法越過平衡位置，只能以非周期運動形阻尼，說明阻尼太大，振動根本無法越過平衡位置，只能以非周期運動形 式緩慢地向平衡位置移動。為什么又要式緩慢地向平衡位置移動。為什么又要“緩慢地緩慢地”？是因為阻尼過大，所以這阻礙了？是因為阻

16、尼過大，所以這阻礙了 振動向平衡位置的移動，導(dǎo)致這種阻尼振動的停止也很緩慢。此時已經(jīng)沒有振幅、周振動向平衡位置的移動，導(dǎo)致這種阻尼振動的停止也很緩慢。此時已經(jīng)沒有振幅、周 期一說了。這種振動的方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。振動曲線如圖所示。期一說了。這種振動的方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積。振動曲線如圖所示。 過阻尼 臨界阻尼 欠阻尼、過阻尼使振動回到平衡位置所需時間都較長，那怎樣使所需時間最短呢？當(dāng)欠阻尼、過阻尼使振動回到平衡位置所需時間都較長，那怎樣使所需時間最短呢？當(dāng) 阻尼取一個特定的值的時候，振動會很快地靠近平衡位置，但又不越過平衡位置。這阻尼取一個特定的值的時候，振動會很快地靠

17、近平衡位置，但又不越過平衡位置。這 種振動的振動曲線似乎和過阻尼很像，但它們的振動方程完全不一樣。過阻尼的振動種振動的振動曲線似乎和過阻尼很像，但它們的振動方程完全不一樣。過阻尼的振動 方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積，而臨界阻尼的振動方程是正比例函數(shù)、指數(shù)函方程是雙曲正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積，而臨界阻尼的振動方程是正比例函數(shù)、指數(shù)函 數(shù)的積。三種阻尼振動中，以臨界阻尼回到平衡位置所需時間最短。其阻尼大小小于數(shù)的積。三種阻尼振動中，以臨界阻尼回到平衡位置所需時間最短。其阻尼大小小于 過阻尼，而大于欠阻尼。所以，在各種需要盡快停止振動的地方，都盡力地調(diào)節(jié)其振過阻尼，而大于欠阻尼。所以，在各種需要盡

18、快停止振動的地方，都盡力地調(diào)節(jié)其振 動的頻率、阻尼大小，使其達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，最大程度地消除振動的影響。動的頻率、阻尼大小，使其達(dá)到臨界阻尼狀態(tài)，最大程度地消除振動的影響。 初始條件初始條件: :)0( 0 xx )0( 0 xx , 初始速度初始速度 01 xc D xx c 00 2 則則 體系自由振動位移時程體系自由振動位移時程 sincos)( 00 0 t xx txetx D D D t 初始位移初始位移 當(dāng)當(dāng) （無阻尼）（無阻尼）0 0 0 ( )cossin x x txtt k m 固有頻率，體系的圓頻率，質(zhì)點在固有頻率，體系的圓頻率，質(zhì)點在2時間時間 內(nèi)的振動次數(shù)內(nèi)的振動次

19、數(shù) k m T 2 2 固有周期固有周期 無阻尼單自由度體系無阻尼單自由度體系 自由振動為簡諧振動自由振動為簡諧振動 自振的振幅將不斷衰減，直至消失自振的振幅將不斷衰減，直至消失 有阻尼體系有阻尼體系 無阻尼體系自由振動時的振幅不變，而有阻尼體系自由振動的曲線則是一條逐漸衰無阻尼體系自由振動時的振幅不變，而有阻尼體系自由振動的曲線則是一條逐漸衰 減的波動曲線，即振幅隨時間的增加而減小，并且體系的阻尼越大，其振幅的衰減減的波動曲線，即振幅隨時間的增加而減小，并且體系的阻尼越大，其振幅的衰減 就越快。就越快。 嚴(yán)格地說，有阻尼單自由度體系的自由振動不具有周期性，因為體系在自由振動過程嚴(yán)格地說，有阻

20、尼單自由度體系的自由振動不具有周期性，因為體系在自由振動過程 中其振幅不斷衰減。但由于體系的運動是往復(fù)的，指點每振動一個循環(huán)所需要的時間中其振幅不斷衰減。但由于體系的運動是往復(fù)的，指點每振動一個循環(huán)所需要的時間 間隔是相等的，因此就把這個時間間隔稱為有阻尼體系的周期間隔是相等的，因此就把這個時間間隔稱為有阻尼體系的周期 2 T 2 1 有阻尼時的自振頻率小于無阻尼時的自振頻率，這說明由于阻尼的存在，將使結(jié)構(gòu)有阻尼時的自振頻率小于無阻尼時的自振頻率，這說明由于阻尼的存在，將使結(jié)構(gòu) 的自振頻率減小，周期增大。的自振頻率減小，周期增大。 在實際結(jié)構(gòu)中，阻尼比的數(shù)值一般都很小，其值大約在實際結(jié)構(gòu)中，阻

21、尼比的數(shù)值一般都很小，其值大約 在之間。因此有在之間。因此有 阻尼頻率與無阻尼頻率相差不大，在實際計算中可以近似地取阻尼頻率與無阻尼頻率相差不大，在實際計算中可以近似地取 1 . 001. 0 例題例題3-13-1 kg10000mkN/cm1k 已知一水塔結(jié)構(gòu)，可簡化為單自由度體系（見圖）。已知一水塔結(jié)構(gòu)，可簡化為單自由度體系（見圖）。 ， 求該結(jié)構(gòu)的自振周期。求該結(jié)構(gòu)的自振周期。 解解：直接由式：直接由式 (a) 水塔 hh (b) 廠房 (c) 多、高層建筑(d) 煙囪 k m T 2 2 并采用國際單位可得并采用國際單位可得: : s k m T99. 1 10/101 10000 2

22、2 23 3.3.方程的特解方程的特解IIII瞬時沖量瞬時沖量 沖量等于動量的增量沖量等于動量的增量 0 mvmvPdt m Pdt v 自由振動 0)0(x m Pdt x)0 ( t m Pdt etx t sin)( sin )0()0( cos)0()(t xx txetx t 求解方法：求解方法： 將地面運動分解為很多個脈沖運動將地面運動分解為很多個脈沖運動 t時刻的地面運動脈沖時刻的地面運動脈沖 4.4.方程的特解方程的特解III III 一般強(qiáng)迫振動一般強(qiáng)迫振動 )()()(2)( 0 2 txtxtxtx dx)( 0 引起的體系反應(yīng)為：引起的體系反應(yīng)為： 疊加：體系在疊加：體

23、系在t t時刻的地震反應(yīng)為：時刻的地震反應(yīng)為： 方程通解（單自由度體系）：方程通解（單自由度體系）： 體系地震反應(yīng)（通解）體系地震反應(yīng)（通解）=自由振動（齊次解）自由振動（齊次解）+強(qiáng)迫振動（特解）強(qiáng)迫振動（特解） 初位移、初速度引起初位移、初速度引起 迅速衰減，可不考慮迅速衰減，可不考慮 地面運動地面運動 引起引起 地面運動脈沖引起的單自由度體系反應(yīng)地面運動脈沖引起的單自由度體系反應(yīng) 杜哈密積分杜哈密積分 dt x etdx t )(sin )( )( 0)( dtextdxtx t tt )(sin)( 1 )()( )( 0 0 0 t m Pdt etx t sin)( 在實際計算中可

24、以近似地取 dtextx t t )(sin)( 1 )( )( 0 0 dtext xx txetx t t t )(sin)( 1 sin ) 0() 0( cos) 0()( )( 0 0 通解 3.33.3單自由度體系的水平地震作用與反應(yīng)譜單自由度體系的水平地震作用與反應(yīng)譜 反應(yīng)譜是指單自由度體系最大地震反應(yīng)與體系自振周期的關(guān)系曲線，根據(jù)反應(yīng)量的反應(yīng)譜是指單自由度體系最大地震反應(yīng)與體系自振周期的關(guān)系曲線，根據(jù)反應(yīng)量的 不同，又分為位移反應(yīng)譜、速度反應(yīng)譜和加速度反應(yīng)譜。由于結(jié)構(gòu)所有的地震作用不同，又分為位移反應(yīng)譜、速度反應(yīng)譜和加速度反應(yīng)譜。由于結(jié)構(gòu)所有的地震作用 （即質(zhì)點上的慣性力）與質(zhì)

25、點運動的加速度直接相關(guān)，因此工程抗震領(lǐng)域，常采用（即質(zhì)點上的慣性力）與質(zhì)點運動的加速度直接相關(guān)，因此工程抗震領(lǐng)域，常采用 加速度反應(yīng)譜計算結(jié)構(gòu)的地震作用。加速度反應(yīng)譜計算結(jié)構(gòu)的地震作用。 一、水平地震作用的定義一、水平地震作用的定義 地震作用就是地震時結(jié)構(gòu)上受到的慣性力地震作用就是地震時結(jié)構(gòu)上受到的慣性力 )()()()( 0 txctkxtxtxm )()()( 0 tkxtxtxm 在地震作用下，質(zhì)點在任一時刻的相對位移將與該時刻的瞬時慣性力成正比。因此在地震作用下，質(zhì)點在任一時刻的相對位移將與該時刻的瞬時慣性力成正比。因此 可以認(rèn)為這一相對位移是在慣性力的作用下引起的，雖然慣性力并不是真

26、實作用于可以認(rèn)為這一相對位移是在慣性力的作用下引起的，雖然慣性力并不是真實作用于 質(zhì)點上的力，但慣性力對結(jié)構(gòu)的作用和地震對結(jié)構(gòu)的作用效果相當(dāng)，所以可以認(rèn)為質(zhì)點上的力，但慣性力對結(jié)構(gòu)的作用和地震對結(jié)構(gòu)的作用效果相當(dāng)，所以可以認(rèn)為 是一種反映地震影響效果的等效力，利用它的最大值來對結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震驗算，就可是一種反映地震影響效果的等效力，利用它的最大值來對結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震驗算，就可 以使抗震設(shè)計這一動力計算問題轉(zhuǎn)化為相當(dāng)于靜力荷載作用下的靜力計算問題。以使抗震設(shè)計這一動力計算問題轉(zhuǎn)化為相當(dāng)于靜力荷載作用下的靜力計算問題。 0)()()()( 0 txtxmtxcxk 上式等號右邊的阻尼項 相對于彈性恢復(fù)力

27、 來說是非常的小，可以忽略 )(tx c )(tkx 質(zhì)點的絕對加速度質(zhì)點的絕對加速度 )()()()()( 2 0 txtx m k txtxta dtextx t t )(sin)( 1 )( )( 0 0 )()()()()( 2 0 txtx m k txtxta dtexta t t )(sin)()( )( 0 0 由于地面運動的加速度是隨時間而變化的，故為了求得結(jié)構(gòu)在地震持續(xù)過程中所經(jīng)受 的最大地震作用，以便用一進(jìn)行抗震設(shè)計，必須計算出質(zhì)點的最大絕對加速度，即 max )( 2 0 0 max )( 0 0max |)(sin)(| 2 |)(sin)(| )(| dtex T

28、dtextaS t T t t t a 由上式可知，質(zhì)點的絕對最大加速度取決于地震時的地面運動加速度，結(jié)構(gòu)的自振 頻率或自振周期以及結(jié)構(gòu)的阻尼比。然而，由于地面水平運動的加速度極不規(guī)則， 無法用簡單的解析式來計算，故在計算 時，一般采用數(shù)值積分法。 a S )()()( 0 tkxtxtxm 二、地震反應(yīng)譜二、地震反應(yīng)譜 根據(jù)上式，若給定地震時地面運動的加速度讀記錄和體系的阻尼比 ，則可以 計算出質(zhì)點的最大加速度反應(yīng)與自振周期的關(guān)系曲線，對于不同的阻尼比可以得到 不同的 曲線。圖3-6是根據(jù)1940年埃爾森特羅(El-Centro)地震時地面加速 度記錄繪制的加速度反應(yīng)譜曲線。 （TAFT波和

29、天津?qū)幒拥卣鸩úê吞旖驅(qū)幒拥卣鸩?） a S 圖3-6 1940年埃爾森特羅(El-Centro)地震波加速度反應(yīng)譜曲線 由圖埃爾森特羅(El-Centro)地震波加速度反應(yīng)譜曲線可知加速度反應(yīng)譜曲線有下 列特點：加速度反應(yīng)譜曲線為一多峰點曲線；當(dāng)阻尼比等于零時，加速度反 應(yīng)譜的譜值最大，峰點越突出，即便是不大的阻尼比也能使峰點下降很多，并且 譜值隨阻尼比的增大而減??；當(dāng)結(jié)構(gòu)的周期較小時，隨著周期的增大其譜值急 劇增大，但至峰點后，則隨著周期的增大其反應(yīng)逐漸減小，而且逐漸平緩。 根據(jù)反應(yīng)譜曲線，對于任何一個自由度彈性體系，如果已知其自振周期和結(jié)構(gòu)的 阻尼比就可以從曲線中查得該體系在特定地震記錄

30、下的最大加速度Sa。Sa與質(zhì) 點質(zhì)量的乘積即為水平地震作用下的絕對最大值，即 a mSF 三、標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜三、標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜 為了便于應(yīng)用，在上式中引入能反應(yīng)地面運動強(qiáng)弱的地面運動最大加速度， 并將其改寫為下列形式 max0 | )(|t x Gk x S g x mgmSF a a ) | )( | ( max0 max0 （1）地震系數(shù) 可知地震系數(shù)k為 g x k max0 | | 它表示地面運動的最大加速度與重力加速度之比。一般地，地面運動加速度越大，地面運動的最大加速度與重力加速度之比。一般地，地面運動加速度越大， 則地震烈度越大，所以地震系數(shù)與地震烈度之間存在著意定的對應(yīng)關(guān)系。如表則地震

31、烈度越大，所以地震系數(shù)與地震烈度之間存在著意定的對應(yīng)關(guān)系。如表3-1 所示。需要注意的是，地震烈度的大小取決于地面運動最大加速度，而且還與地震 的持續(xù)時間和地震波的頻譜特性等有關(guān)。 表3-1地震系數(shù)k與地震烈度的關(guān)系 抗震設(shè)防 烈度 6度7度8度9度 地震系數(shù)k0.05 0.10 （0.15） 0.20 （0.30） 0.40 （2）動力系數(shù) 同樣，由（3-31）可知動力系數(shù)為 max0 | x Sa max )( 2 0 0 max0 max |)(sin)(| | 12 | )(| dtex xT ta t T t 它是單質(zhì)點最大絕對加速與地面加速度的比值，表示由于動力效應(yīng)，質(zhì)點的最大絕單

32、質(zhì)點最大絕對加速與地面加速度的比值，表示由于動力效應(yīng)，質(zhì)點的最大絕 對加速度比地面最大加速度放大多少倍。因為當(dāng)對加速度比地面最大加速度放大多少倍。因為當(dāng) 增大或減小時，增大或減小時， 相應(yīng)隨相應(yīng)隨 之增大或減小，因此值之增大或減小，因此值 與地震烈度無關(guān)，這就可以利用所有不同烈度的地震記錄與地震烈度無關(guān)，這就可以利用所有不同烈度的地震記錄 進(jìn)行統(tǒng)計和計算。進(jìn)行統(tǒng)計和計算。 max0 | )(|t x a S 這樣就得到了 與 的關(guān)系曲線，稱為 譜曲線，它實際上就是相對于地面最大 加速度的加速度反應(yīng)譜，兩者形狀上完全一樣。 T 根據(jù)不同的地面運動記錄的統(tǒng)計分析可以看出，場地土的特點、震級以及震中

33、距等 都對反應(yīng)譜曲線有明顯的影響。場地土特性的影響：對于土質(zhì)松軟的場地， 譜 曲線的主要峰點偏于較長的周期，而地質(zhì)堅硬時則一般偏于較短的周期，同時，場 地土越軟，并且該松軟土層越厚時， 譜曲線譜值越大，見圖3-7（a）；震中距 的影響：當(dāng)烈度相同時，震中距遠(yuǎn)時加速度反應(yīng)譜的峰點偏于較長的周期，近時則偏 于較短的周期，3-7（b）。因此，在離大地震震中較遠(yuǎn)的地方，高柔結(jié)構(gòu)因其周期較 長所受到的地震破壞，將比在等烈度下較小或中等地震的震中地區(qū)所受的破壞嚴(yán)重， 而剛性結(jié)構(gòu)的地震破壞情況則相反。 圖3-7各種因素對反應(yīng)譜的影響 （a）場地條件對 譜曲線的影響；（b）同等烈度下震中距對加速度譜曲線的影響

34、 四、設(shè)計反應(yīng)譜四、設(shè)計反應(yīng)譜 為了便于計算，建筑抗震設(shè)計規(guī)范采用相對于重力加速度的單質(zhì)點絕對最大 加速度，即 用 表示， 稱為地震影響系數(shù)。由式（3-31）知 g Sa k g Sa Gk x S g x mgmSF a a ) | )( | ( max0 max0 GF 實際上就是作用于單質(zhì)點彈性體系上的水平地震力與結(jié)構(gòu)重力之比。 （1）地震影響系數(shù)的確定。建筑結(jié)構(gòu)地震影響系數(shù)曲線(圖3-8)的阻尼調(diào)整和形狀參 數(shù)應(yīng)符合下列要求：除有專門規(guī)定外，建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比應(yīng)取0.05，地震影響系數(shù)曲 線的阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按1.0采用，形狀參數(shù)應(yīng)符合下列規(guī)定： Gk x S g x mgmSF a a

35、) | )( | ( max0 max0 圖3-8地震影響系數(shù) 曲線 地震影響系數(shù)最大值 1 直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)； g T 2 T 曲線下降段的衰減指數(shù)； 特征周期； 阻尼調(diào)整系數(shù)； 結(jié)構(gòu)自振周期 1直線上升段，周期小于0.1s的區(qū)段。 2)水平段，自0.1s至特征周期區(qū)段，應(yīng)取最大值。 3)曲線下降段，自特征周期至5倍特征周期區(qū)段，衰減指數(shù)應(yīng)取0.9。 4)直線下降段，自5倍特征周期至6s區(qū)段，下降斜率調(diào)整系數(shù)應(yīng)取0.02。 當(dāng)建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比按有關(guān)規(guī)定不等于0.05時，地震影響系數(shù)曲線的阻尼調(diào)整系數(shù) 和形狀參數(shù)應(yīng)符合下列規(guī)定： 1）曲線下降段的衰減指數(shù)應(yīng)按下式確定： 55 . 0

36、 05. 0 9 . 0 式中 曲線下降段的衰減指數(shù)；阻尼比。 2) 直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)應(yīng)按下式確定： 8 )05. 0( 02. 0 1 1 直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)，小于0時取0。 3) 阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按下式確定： 7 . 106. 0 05. 0 1 2 2 阻尼調(diào)整系數(shù)，當(dāng)小于0.55時，應(yīng)取0.55。 （2）特征周期Tg的確定。在地震影響系數(shù)的變化曲線中，需要用到特征周期。它是 對應(yīng)于反應(yīng)譜值區(qū)拐點處的周期，根據(jù)場地類別、地震震級和震中距確定。建筑抗 震設(shè)計規(guī)范按后兩影響將設(shè)計地震分成三組，特征周期可以根據(jù)場地類別和設(shè)計地 震分組確定，如表3-2所示。但在計算8、9度漢

37、語地震作用時，其特征周期應(yīng)增加 0.05s。 表3-2特征周期（s） （3）水平地震影響系數(shù)的最大值 水平地震影響系數(shù)的最大值為 max max maxmax k 建筑抗震設(shè)計規(guī)范取動力系數(shù)的最大值 ，相應(yīng)的地震系數(shù)k對多遇地震 取基本烈度時的0.35，對罕遇地震取基本烈度時的2倍左右，故 如表3-3所示。 25. 2 max max 表3-3水平地震影響系數(shù)最大值 例題例題3-23-2 kg10000m kN/cm1k 水塔結(jié)構(gòu)，同例水塔結(jié)構(gòu)，同例3-13-1。 ， (a) 水 塔 hh (b) 廠 房 (c) 多 、 高 層 建 筑(d) 煙 囪 位于位于IIII類場地第二組，基本烈度為類

38、場地第二組，基本烈度為7 7度度 （地震加速度為（地震加速度為0.10g),0.10g),阻尼比阻尼比03. 0 求該結(jié)構(gòu)多遇地震下的水平地震作用求該結(jié)構(gòu)多遇地震下的水平地震作用 08. 0 max sTg4 . 0 解；查表解；查表3-3， 查表查表3-2， 18. 1 03. 07 . 106. 0 03. 005. 0 1 7 . 106. 0 05. 0 1 2 931. 0 03. 055 . 0 03. 005. 0 9 . 0 55 . 0 05. 0 9 . 0 0.931 max 0.4 ()()(0.08 1.18) 1.99 g T T 由圖由圖3-123-12（地震影響

39、系數(shù)譜曲線）（地震影響系數(shù)譜曲線） N207981. 9100000212. 0GF 0.0212 此時應(yīng)考慮阻尼比對地震影響系數(shù)形狀的調(diào)整。此時應(yīng)考慮阻尼比對地震影響系數(shù)形狀的調(diào)整。 返回目錄返回目錄 3.4 3.4 多自由度彈性體系的水平地震反應(yīng)的振型分解法多自由度彈性體系的水平地震反應(yīng)的振型分解法 一、計算簡圖 對質(zhì)量比較集中的結(jié)構(gòu)，一般可將其視為單質(zhì)點體系，并按單質(zhì)點體系進(jìn)行結(jié)構(gòu)的 地震反應(yīng)分析。然而對于質(zhì)量分布比較分散的結(jié)構(gòu)，為了能較真實地反映其動力性 能，可將其簡化為多質(zhì)點體系，并按多質(zhì)點體系進(jìn)行結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析 圖3-11 多質(zhì)點體系 二、運動方程 圖3-12兩自由度體系得瞬時

40、動力平衡 圖3-13剛度系數(shù) 質(zhì)點1作為隔離體 慣性力為： 彈性恢復(fù)力為 阻尼力 )( 1011 xxmI )( 2121111 xkxkS )( 2121111 xCxCD 0121211121211111 xmxkxkxCxCxm 質(zhì)點2作為隔離體，同理 0222211222211222 xmxkxkxCxCxm 式中 k11為使質(zhì)點1產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點2不動時，在質(zhì)點1處所施加的水平力； k12為使質(zhì)點2產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點1不動時，在質(zhì)點1處所施加的水平力； c11為使質(zhì)點1產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點2不動時，在質(zhì)點1處所施加的阻尼力； c12為使質(zhì)點2產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點1不動時，在質(zhì)點1處所施

41、加的阻尼力； kij反映了結(jié)構(gòu)剛度的大小，稱為剛度系數(shù) 222 22112 2111 kk kkk kkk 222 22112 2111 cc ccc ccc 運動方程寫成矩陣的形式 0 1 xmxkxcxm 2 1 2 1 2 1 2221 1211 2221 1211 2 1 0 0 x x x x x x x x x kk kk k cc cc c m m m 當(dāng)為一般的多自由度體系時，式中的各項為 nnn nnn n n nnnn n n n x x x x x x x x x x x x kkk kkk kkk k ccc ccc ccc c m m m m 2 1 2 1 2 1

42、321 22221 11211 21 22221 11211 2 1 0 0 三、自由振動 1、自振頻率 0 0 22212122 21211111 xkxkxm xkxkxm 微分方程組的解為 )sin( )sin( 22 11 tXx tXx 0)( 0)( 2 2 222121 2121 2 111 XmkXk XkXmk 有非零解，其系數(shù)行列式必須為零 0 2 22221 12 2 111 mkk kmk 0)( 21 211222112 2 22 1 1122 mm kkkk m k m k 21 21122211 2 2 22 1 11 2 22 1 112 2 1 2 1 mm

43、kkkk m k m k m k m k 對于一般的多自由度體系 0)( 0)( 0)( 2 2211 22 2 222121 12121 2 111 nnnnnn nn nn XmkXkXk XkXmkXk XkXkXmk 寫成矩陣形式 0)( 2 XmK nnnn n n n X X X x kkk kkk kkk k m m m m 2 1 321 22221 11211 2 1 , 0 0 頻率方程 0| | 2 mK -振型方程 -頻率方程 2、主振型 對于 對于 1 2 12 11 2 11 11 12 k km X X 12 11 2 21 12 22 k km X X 質(zhì)點的位

44、移為 )sin( )sin( 111212 111111 tXx tXx )sin( )sin( 222222 222121 tXx tXx 振動過程中兩質(zhì)點的位移比值為 12 11 2 11 11 12 k km x x 12 11 2 21 12 22 k km x x 由此可見，這一比值不僅與時間無關(guān)，而且為常數(shù)。也就是說，在結(jié)構(gòu)振動過程 中的任意時刻，這兩個質(zhì)點的位移比值始終保持不變。這種振動形式通常稱為主 振型。當(dāng)體系按 振動時稱為第一振型或基本振型，按 振動時稱為第二振型 。因主振型只取決于質(zhì)點位移之間的相對值，所以通常將其中某一個質(zhì)點的位移 值定為1。一般，體系有多少個自由度就有

45、多少個頻率，相應(yīng)就有多少個主振型， 它們是體系的固有屬性。 1 2 第1階模態(tài)位移云圖 第2階模態(tài)位移云圖 第3階模態(tài)位移云圖 第4階模態(tài)位移云圖 在一般的初始條件下，體系得振動曲線將包含全部振型。這可由自由振動方程 （3-79）的通解看出，該方程的特解見式（3-88）,其通解為這些特解的線性 組合，即： )sin()sin( 222211122 tXtXx )sin()sin( 222111111 tXtXx 在一般初始條件下，任一質(zhì)點的振動都是由各主振型的簡諧振動疊加而成的復(fù)合 振動，它不在時簡諧振動，而且質(zhì)點之間位移的比值也不再是常數(shù)，其值將隨時 間而發(fā)生變化。 3、主振型的正交性 根據(jù)

46、功的互等定理，即第一狀態(tài)的力在第二狀態(tài)的位移上所作的功，等于第二狀態(tài) 的力在第一狀態(tài)的位移上所作的功，得： 1222 2 221121 2 212212 2 122111 2 11 XXmXXmXXmXXm 0 2212221111 2 2 2 1 XXmXXm）（ 0 2212221111 XXmXXm 對于兩個以上的多自由度體系，任意兩個振型j和k之間也都有著上述的正交性， 它們可以表示為 0 222111 knjnnkjkj XXmXXmXXm 0 1 n i kijii XXm 用矩陣表達(dá) 0X k T j Xm kn k k k n jnjj T j X X X X m m m mX

47、XX 2 1 2 1 21 0 0 X 表示多自由度體系任意兩個振型對質(zhì)量矩陣的正交性，事實上，多自由度任意兩個 振型對剛度矩陣也有正交性 0)( 2 XmK 等式兩邊各前乘 kkk XmXk 2 T j X k T jkk T j XmXXkX 2 0 k T j XkX 0X k T j Xm 例3-3:計算圖3.15（a）所示二層框架結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型，并驗算其主振型的 正交性。各層質(zhì)量為 。第一層側(cè)向剛度為 ，第一 層側(cè)向剛度為 tmtm50,60 21 mkNk/105 4 1 mkNk/103 4 2 解，求框架各層的層間剛度系數(shù)： KN/m103 KN/m103 KN/m108

48、 4 222 4 22112 4 2111 kk kkk kkk 由式（3-82），可得頻率方程為 0 50103103 10360108 244 424 解上式得 sradsrad/32.40;/54.17 21 由式（3-89）可得振型為 第一振型 第二振型 488. 0 1 103 1086 .30760 4 4 12 11 2 11 11 12 k km X X 71. 1 1 103 1088 .162560 4 4 12 11 2 21 12 22 k km X X 驗算主振型的正交 對質(zhì)量矩陣 對剛度矩陣 0 1 71. 1 500 060 1 488. 0 X mX 2 T 1

49、 T 0 1 71. 1 33 38 1 488. 0 10X kX 4 2 T 1 T 例題例題3-43-4 三層剪切型結(jié)構(gòu)如圖所示，三層剪切型結(jié)構(gòu)如圖所示， 求該結(jié)構(gòu)的自振圓頻率和振型求該結(jié)構(gòu)的自振圓頻率和振型 解：該結(jié)構(gòu)為解：該結(jié)構(gòu)為3 3自由度體系，自由度體系， 質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為 kg10 100 05 . 10 002 3 M m/N10 6 . 06 . 00 6 . 08 . 12 . 1 02 . 13 6 K 先由特征值方程求自振圓頻率，令先由特征值方程求自振圓頻率，令 600 B 2 得得 0 B11-0 1B5 . 132 02-B25 |

50、 | 2 MK 或或02-B5 . 7B5 . 5B 23 由上式可解得由上式可解得 351. 0B161. 1B254. 3B3 從而由從而由 B600得得 rad/s5 .14 1 rad/s3 .31 2 rad/s1 .46 3 由自振周期與自振頻率的關(guān)系由自振周期與自振頻率的關(guān)系 /2T ，可得結(jié)構(gòu)的各階自振，可得結(jié)構(gòu)的各階自振 s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T3 周期分別為周期分別為 8 .3896000 6006 .14841200 012005 .2579 )( 2 1 MK 1 1 1 1 nini n i BA 由由得得 648. 0 301. 0 60

51、0 0 6 .14841200 12005 .2579 1 12 11 代入代入 0 1 T 1 i n ini CB 校核校核 08 .389 648. 0 301. 0 600, 0 則第一階振型為則第一階振型為 1 648. 0 301. 0 1 同樣可求得第二階和第三階振型為同樣可求得第二階和第三階振型為 1 601. 0 676. 0 2 1 57. 2 47. 2 3 為求第一階振型，將為求第一階振型，將 rad/s5 .14 1 代入代入 將各階振型用圖形表示將各階振型用圖形表示: : 111 0.648 0.301 -0.601 -0.676 -2.57 -2.47 第一階振型

52、第一階振型第二階振型第二階振型第三階振型第三階振型 振型具有如下特征振型具有如下特征: : 對于串聯(lián)多質(zhì)點多自由度體系，其第幾階振型，在振型圖對于串聯(lián)多質(zhì)點多自由度體系，其第幾階振型，在振型圖 上就有幾個節(jié)點（振型曲線與體系平衡位置的交點上就有幾個節(jié)點（振型曲線與體系平衡位置的交點 ) ) 利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否 4、振型分解法 在一般的初始條件下，體系的振型曲線將包含全部振型，如兩自由度體系。 )sin()sin( 222111111 tXtXx )sin()sin( 222211122 tXtXx 如果用體系的振

53、型作為基底，而用另一個函數(shù)q(t)作為坐標(biāo)，就可以把聯(lián)立方程 組變成幾個獨立的方程，每個方程只包含一個未知項。這樣可以分別獨立求解， 從而使計算簡化。這一方法稱為振型分解法，它是求解多自由度體系地震反應(yīng)的 重要方法。 0 xmxkxcxm )()()(2)( 0 2 txtxtxtx 為簡便起見，先考慮兩自由度體系，如圖3.16所示。將質(zhì)點m1和m2在地震作用 下任一時刻的位移x1(t)和x2(t)用其兩個振型線性組合來表示，即 2221212 2121111 )()()( )()()( XtqXtqtx XtqXtqtx 這里用新坐標(biāo)q1(t),q2(t)代替原有的兩個幾何坐標(biāo)幾何坐標(biāo)x1(

54、t)、x2(t)。只要q1(t),q2(t) 確定，x1(t)、x2(t)也就可以確定，而q1(t),q2(t)實際上代表質(zhì)點任一時刻的變位 中第一振型與第二振型所占的分量。由于x1(t)、x2(t)為時間的函數(shù)，所以q1(t), q2(t)也為時間函數(shù)，一般稱為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)。 當(dāng)為多自由度體系時，上式可寫成： n j jiji Xtqtx 1 )()( 也可以寫成下屬矩陣的形式 qXx 21 n j XXXXX n i x x x x x 2 1 nnjnnn nj nj XXXX XXXX XXXX X 21 222212 112111 n i q q q q q 2 1 體系的位移可

55、以看成是由各振型乘以體系的位移可以看成是由各振型乘以 相應(yīng)的組合系數(shù)疊加而成，即將位移相應(yīng)的組合系數(shù)疊加而成，即將位移 按振型加以分解，故稱為振型分解法按振型加以分解，故稱為振型分解法 q為時間函數(shù)為時間函數(shù) 阻尼矩陣的處理阻尼矩陣的處理 振型關(guān)于下列矩陣正交：振型關(guān)于下列矩陣正交： 剛度矩陣剛度矩陣 阻尼矩陣阻尼矩陣 振型分解法的前提：振型分解法的前提： 質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣 無條件滿足無條件滿足 采用瑞雷阻尼矩陣采用瑞雷阻尼矩陣 kmc 21 0 xmxkxcxm 令 kmc 21 可得 021 xmqXkqXkmqXm 兩邊各項乘以 T j X 021 xmXqXkXqXkmXqXmX T

56、j T j T j T j 上式等號左邊的第一項 nn T jjj T j T j T j n j nj T j T j qXmXqXmXqXmXqXmX q q q q XXXXmXqXmX 2211 2 1 21 根據(jù)振型對質(zhì)量的矩陣的正交性，上式除了 一項外，其余項均為 零，故有 jj T j qXmX jj T j T j qXmXqXmX 同理，利用振型對剛度矩陣的正交性，（3-96）式左邊第三項也可寫成 jj T j T j qXkXqXkX 根據(jù)式（3-85），對于j振型有 ，故上式可以寫成 jjj XmXk 2 jj T jjj T j qXmXqXkX 2 對于式（3-96）

57、等式右邊的第二項，同理可寫成： jj T jj T j qXmXqXkmX)()( 2 2121 綜合得 ), 2, 1( 0 22 21 njxqqq jjjjjj n i jii n i jii j T j T j j Xm Xm XmX mX 1 2 1 1 令 jjj 2 2 21 則式（3-100）可寫成 ), 2, 1(2 0 2 njxqqq jjjjjjj 在式（3-103）中， 為對應(yīng)于j振型的阻尼比，系數(shù) 通常根據(jù)第 一、第二振型的頻率和阻尼比確定，即由式（3-103）得： j 21 、 22 2 221 11 2 121 2 2 2 1 2 2 1122 2 2 1 2

58、2 122121 1 2 2 可以看出，式（3-103）與單自由度體系在地震作用下的運動微分方程在形式上 基本相同，只是方程式（3-103）的等號右邊多了一個系數(shù) ，所以方程 （3-103）的解為： j t j t j j j dtextq jj 0 )( 0 )(sin)()( 或)()(ttq jjj t j t j j dtext jj 0 )( 0 )(sin)( 1 )( 將式（3-106）代入（3-94），得 n j jijj n j jiji XtXtqtx 11 )()()( 上式就是振型分解法分析時，多自由度彈性體系在地震作用下其中任一質(zhì)點mi位 移的計算公式。 式（3-10

59、8）中 的表達(dá)式見式（3-101），稱 為體系在地震反應(yīng)中第j振 型的振型參與系數(shù)振型參與系數(shù)。實際上，就是當(dāng) 質(zhì)點位移 時的 值。證明如下： j j 1 21 nj xxxx j q 考慮兩質(zhì)點體系，令式（3-93）中的 ，得： 1 21 xx 222121 212111 )()(1 )()(1 XtqXtq XtqXtq 以 和 分別代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得 111X m 122X m 221222 2 1212122 211121 2 1111111 )()( )()( XXtqmXtqmXm XXtqmXtqmXm 將上述兩式相加，并利用振型的正交性，可得 1 2

60、122 2 111 122111 1 )( XmXm XmXm tq 同理，將 和 分別代入式（3-109）中的第一式和第二式，可得： 211X m 222X m 2 2 222 2 211 222211 2 )( XmXm XmXm tq 故式（3-109）即可寫成： 222121 212111 1 1 XX XX 對于兩個以上的自由度體系，還可寫成一般關(guān)系式 1 1 ji n j jX nj, 2, 1 n i jii n i jii j T j T j j Xm Xm XmX mX 1 2 1 1 3.53.5自振頻率和振型的近似計算自振頻率和振型的近似計算 在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的地震作用計算時，