傅里葉變換11

1、積分變換積分變換 第1-1頁 電子教案 工程數(shù)學 積 分 變 換 (第四版第四版) 積分變換積分變換 第1-2頁 電子教案 引言引言: 所謂積分變換所謂積分變換,就是通過積分運算就是通過積分運算,把一個函數(shù)把一個函數(shù) 變成另一個函數(shù)的變換變成另一個函數(shù)的變換. ( )( )( , ). b a Ff t K tdt ( )Af t中的函數(shù) ( )BF中的函數(shù) ( , )K t其中,是一個確定的二元函數(shù),.稱為積分變換的核 ( ,) j t K te 當時 ( , ) st K te 當時 Fourier變換變換 Laplace變換變換 ( )( )( )f tFf t稱為象原函數(shù), 稱為的象函

2、數(shù), 在一定條件下,它們是一一對應且變換可逆. 積分變換積分變換 第1-3頁 電子教案 第一章第一章 傅里葉變換傅里葉變換 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 1.2 1.2 傅里葉變換傅里葉變換 1.3 1.3 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 1.4 1.4 卷積與相關函數(shù)卷積與相關函數(shù) 1.5 1.5 傅里葉變換的應用傅里葉變換的應用 積分變換積分變換 第1-4頁 電子教案 傅里葉生平傅里葉生平 1、1768年生于法國年生于法國 2、1807年提出年提出“任何周期信號都可用正任何周期信號都可用正 弦函數(shù)級數(shù)表示弦函數(shù)級數(shù)表示” 3、拉格朗日反對發(fā)表、拉格朗日反對發(fā)表 4、1822年首次

3、發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱的解析理論熱的解析理論” 一書中一書中 5、1829年狄里赫利第一個給出收斂條件年狄里赫利第一個給出收斂條件 2、非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示、非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示 傅里葉的兩個最主要的貢獻傅里葉的兩個最主要的貢獻 1、周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和、周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 積分變換積分變換 第1-5頁 電子教案 傅里葉分析的工程意義傅里葉分析的工程意義 各種頻率的正弦信號的產(chǎn)生、傳輸、分離和變換各種頻率的正弦信號的產(chǎn)生、傳輸、分離和

4、變換 容易工程實現(xiàn)。容易工程實現(xiàn)。 正弦量只需三要素即可描述，正弦量只需三要素即可描述，LTILTI系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)的輸入和 輸出的差別只有兩要素，即系統(tǒng)的作用只改變信號輸出的差別只有兩要素，即系統(tǒng)的作用只改變信號 的振幅和相位。的振幅和相位。 是是LTILTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，系統(tǒng)的特征函數(shù)， 響應易求且簡單。響應易求且簡單。 tt t jsincose j 1 1、傅里葉分析的基本信號單元、傅里葉分析的基本信號單元 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 積分變換積分變換 第1-6頁 電子教案 2、適用于廣泛的信號、適用于廣泛的信號 由虛指數(shù)或正弦信號的線性組合可以組成工程中各種信號，由虛指數(shù)

5、或正弦信號的線性組合可以組成工程中各種信號， 使得對任意信號作用下的使得對任意信號作用下的LTILTI系統(tǒng)進行頻域分析成為一件容易系統(tǒng)進行頻域分析成為一件容易 的事情。的事情。利于濾波、壓縮處理。利于濾波、壓縮處理。 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 3、頻域分析的優(yōu)勢、頻域分析的優(yōu)勢 任意信號分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號的線性組合，任意信號分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號的線性組合， 分析分析LTILTI系統(tǒng)對這些不同頻率單元信號作用的響應特性的過程系統(tǒng)對這些不同頻率單元信號作用的響應特性的過程 就是頻域分析。就是頻域分析。 頻域分析可以方便求解系統(tǒng)響應。頻域分析可以方便求解系統(tǒng)響應

6、。 例如相量法。例如相量法。 頻域分析的結果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無頻域分析的結果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無 失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結果。失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結果。 可直接在頻域內(nèi)設計可實現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設計。可直接在頻域內(nèi)設計可實現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設計。 積分變換積分變換 第1-7頁 電子教案 在工程計算中在工程計算中, 無論是電學還是力學無論是電學還是力學, 經(jīng)常要和隨時間而變的周期經(jīng)常要和隨時間而變的周期 函數(shù)函數(shù)fT(t)打交道打交道. 例如例如: 具有性質(zhì)具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中其中T稱作周期稱作周期, 而而1/T代表單位時

7、間振代表單位時間振 動的次數(shù)動的次數(shù), 單位時間通常取秒單位時間通常取秒, 即每秒重復多少次即每秒重復多少次, 單位是赫單位是赫 茲茲(Hz). 一、周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) t 積分變換積分變換 第1-8頁 電子教案 最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù) fT(t)=Asin( t+j j) 其中其中 =2p p/T 而而Asin( t+j j)又可以看作是兩個周期函數(shù)又可以看作是兩個周期函數(shù) sin t和和cos t的線性組合的線性組合 Asin( t+j j)=asin t+bcos t t 積分變換積分變換 第1-9頁 電子教案 人們發(fā)現(xiàn)人們

8、發(fā)現(xiàn), 所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的 三角函數(shù)的線性組合來逼近三角函數(shù)的線性組合來逼近. 方波方波 4個正弦波的逼近個正弦波的逼近 100個正弦波的逼近個正弦波的逼近 積分變換積分變換 第1-10頁 電子教案 狄利赫利條件狄利赫利條件 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況內(nèi)函數(shù)變化的情況. 并非理論上的并非理論上的 所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近所有周期函數(shù)都可以

9、用傅里葉級數(shù)逼近, 而是要滿足狄利赫利而是要滿足狄利赫利 (Dirichlet)條件條件, 即在區(qū)間即在區(qū)間-T/2,T/2上上 1, 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點連續(xù)或只有有限個第一類間斷點 2, 只有有限個極值點只有有限個極值點 這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù)這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù). 積分變換積分變換 第1-11頁 電子教案 第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別: 第二類間斷點第二類間斷點 第一類間斷點第一類間斷點 積分變換積分變換 第1-12頁 電子教案 是在區(qū)間是在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交

10、函數(shù)集。 完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集 （1）三角函數(shù)集）三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(n t)，n=1,2, 將任一函數(shù)將任一函數(shù)f(t)用這用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似。個正交函數(shù)的線性組合來近似。 1.1 1.1 傅里葉積分傅里葉積分 ), 3 , 2 , 1,(0dcoscos ), 3 , 2 , 1,(0dsinsin ), 3 , 2 , 1,(0dcossin ), 3 , 2 , 1(0dsin ), 3 , 2 , 1(0dcos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mnmnttmtn mnmnttmtn mnmnttmtn nttn nttn Tt t T

11、t t Tt t Tt t Tt t 積分變換積分變換 第1-13頁 電子教案 （2）虛指數(shù)函數(shù)集）虛指數(shù)函數(shù)集 ejnt，n=0，1，2， 將任一函數(shù)將任一函數(shù)f(t)用這用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似。個正交函數(shù)的線性組合來近似。 ejntcos(nt）+ j sin(nt） e-jntcos(nt）- j sin(nt） 是在區(qū)間是在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交函數(shù)集。 因為因為 積分變換積分變換 第1-14頁 電子教案 1、傅里葉級數(shù)的三角形式、傅里葉級數(shù)的三角形式 設周期信號設周期信號f(t)，其周期為，其周期為T，角頻率，角頻率=2p p/T

12、，當滿足，當滿足狄里赫利狄里赫利 (Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù)條件時，它可分解為如下三角級數(shù) 稱為稱為f(t)的的傅傅 里葉級數(shù)里葉級數(shù) 11 0 )sin()cos( 2 )( n n n n tnbtna a tf 系數(shù)系數(shù)an , bn稱為稱為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 2 2 d)cos()( 2 T Tn ttntf T a 2 2 d)sin()( 2 T Tn ttntf T b 可見，可見， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 積分變換積分變換 第1-15頁 電子教案 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tfj 式

13、中，式中，A0 = a0 22 nnn baA n n n a b arctanj 上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中，其中， A0/2為為直流分量直流分量； A1cos(t+j j1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，它的角頻率與原周期，它的角頻率與原周期 信號相同；信號相同； A2cos(2t+j j2)稱為稱為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波的，它的頻率是基波的2倍；倍； 一般而言，一般而言，Ancos(nt+j jn)稱為稱為n次諧波次諧波。 可見可見An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， j jn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。

14、an = Ancosj jn， bn = Ansin j jn，n=1,2, 將上式同頻率項合并，可寫為將上式同頻率項合并，可寫為 積分變換積分變換 第1-16頁 電子教案 2、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 三角形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因 而經(jīng)常采用而經(jīng)常采用指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。的傅里葉級數(shù)。 1 jj 0 1 jjjj 0 jjjj 2 j 2 j 2 2 j 22 )( : 2 jsin, 2 cos n tn nn tn nn n tntn n tntn nT e ba e baa ee

15、 b ee a a tf eeee jjjj jj得由 如令如令 n=n (n=0, 1, 2,.) n tj n n tj n tj nT nn n nn n nnn ecececctf n jba c jba c a c 1 0 0 0 )( , 3 , 2 , 1, 2 , 2 , 2 且令 積分變換積分變換 第1-17頁 電子教案 給定給定fT(t), cn的計算如下的計算如下: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d)( 1 dsin)cos( 1 dsin)( 1 dcos)( 1 2 1 d)( 1 2 0 0 T T T T T T T T T T tetf T ttnjt

16、ntf T ttntf T jttntf T jba c n ttf T a c tjn TT TT nn n T 時當 n t T n t nT t Tn tn Tn nn n n T T nn T T n T T eef T ectf ndtetf T c dtetf T c ba c jjj j j 2 2 2 2 2 2 d)( 1 )( ), 2, 1, 0()( 1 )( 1 2 j 子因此可以合寫成一個式 而 積分變換積分變換 第1-18頁 電子教案 11 0 )sin()cos( 2 )( n n n n tnbtna a tf n tjn n ctf e)( 1 0 )cos

17、( 2 )( n nn tnA A tfj 3、三角形式與指數(shù)形式的比較、三角形式與指數(shù)形式的比較 三角形式便于電路計算，便于對稱性分析三角形式便于電路計算，便于對稱性分析 可推出傅里葉變換可推出傅里葉變換 代表頻譜代表頻譜 表達最簡練表達最簡練 n = 0, 1, 2， 2 2 de)( 1 T T tjn n ttf T c 2 2 d)cos()( 2 T Tn ttntf T a 2 2 d)sin()( 2 T Tn ttntf T b 指數(shù)形式的優(yōu)勢指數(shù)形式的優(yōu)勢 n j nn ecc j 積分變換積分變換 第1-19頁 電子教案 An n = 0, 1, 2， cn n = 0,

18、 1, 2， nn j n j n T T tjn n eceAttf T c jj 2 1 de)( 1 2 2 4、周期函數(shù)的頻譜及特點、周期函數(shù)的頻譜及特點 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 周期信號的傅里葉級數(shù)周期信號的傅里葉級數(shù) 幅度關系幅度關系 n次正弦諧波分量的振幅 n A cn n次指數(shù)諧波分量的模 相位關系相位關系 nn jj 正弦諧波初相 指數(shù)諧波輻角 n tjn n ctf e)( nnn Acc 2 1 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tfj 積分變換積分變換 第1-20頁 電子教案 （1）信號頻譜的概念）信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種從廣義上說，信號的

19、某種特征量特征量隨信號頻率變化的關系，隨信號頻率變化的關系， 稱為稱為信號的頻譜信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖頻譜圖。 周期信號的頻譜周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨 頻率的變化關系，即頻率的變化關系，即 將將An和和j jn的關系分別畫在以的關系分別畫在以為橫軸的平面上得到為橫軸的平面上得到 的兩個圖，分別稱為的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位頻譜圖相位頻譜圖。因為。因為n0，所，所 以稱這種頻譜為以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可畫也可畫|cn|和和j jn的關系，稱為的關系，稱為雙邊譜雙邊譜。

20、若。若cn為實數(shù)，為實數(shù)， 也可直接畫也可直接畫cn 。 積分變換積分變換 第1-21頁 電子教案 指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖 p 2 25. 0 15. 0 O n j j p 1 A 2 A 2O 2 4.2 11 n A 2 n A 三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖 2 5 . 0 O 12. 1 2 12. 1 5 . 01 n F p p p p 2 25. 0 15. 0 O 15. 0 2 25. 0 n j j 例例 積分變換積分變換 第1-22頁 電子教案 復復 習習 周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 11 0 )sin()cos( 2 )( n n n

21、 n tnbtna a tf 1、三角形式、三角形式 之一之一 2 2 d)cos()( 2 T Tn ttntf T a 2 2 d)sin()( 2 T Tn ttntf T b 積分變換積分變換 第1-23頁 電子教案 復復 習習 周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 2、三角形式、三角形式 之二之二 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tfj A0 = a0 22 nnn baA n n n a b arctanj 積分變換積分變換 第1-24頁 電子教案 復復 習習 周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 3、虛指數(shù)形式、虛指數(shù)形式 n tjn n ctf e)

22、( n = 0, 1, 2， 2 2 de)( 1 T T tjn n ttf T c 積分變換積分變換 第1-25頁 電子教案 j jn，相位頻譜圖相位頻譜圖 周期函數(shù)的頻譜周期函數(shù)的頻譜 1、三角形式（、三角形式（單邊譜單邊譜） |cn| 2、虛指數(shù)形式（、虛指數(shù)形式（雙邊譜雙邊譜） An，振幅頻譜圖振幅頻譜圖 j jn 積分變換積分變換 第1-26頁 電子教案 （2）周期信號頻譜的特點）周期信號頻譜的特點 舉例：有一幅度為舉例：有一幅度為1，脈沖寬度，脈沖寬度 為為 的周期矩形脈沖，其周期為的周期矩形脈沖，其周期為 T，如圖所示。求頻譜。，如圖所示。求頻譜。 f(t) t 0 T-T 1

23、 2 2 t T ttf T c tjn T T tjn n de 1 de)( 1 2 2 2 2 2 2 sin n n T 令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)） n n TjnT tjn) 2 sin( 2e1 2 2 O pppp 1 Sa(x) x 積分變換積分變換 第1-27頁 電子教案 )() 2 ( T n Sa T n Sa T cn p , n = 0 ,1，2， cn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設T = 4畫圖。畫圖。 零點為零點為 p m n 2 所以所以 p m n 2 ，m為整數(shù)。為整數(shù)。 特點特點： (1)周期

24、信號的頻譜具有諧波周期信號的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置是基性。譜線位置是基 頻頻的整數(shù)倍；的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。一般具有收斂性?？傏厔轀p小。 p 2 B (3)主要能量在第一過零點內(nèi)。主頻帶寬度為：主要能量在第一過零點內(nèi)。主頻帶寬度為： 積分變換積分變換 第1-28頁 電子教案 譜線的結構與波形參數(shù)的關系：譜線的結構與波形參數(shù)的關系： (a) T一定，一定， 變小，此時變小，此時（譜線間隔）不變。兩零點之間的（譜線間隔）不變。兩零點之間的 譜線數(shù)目：譜線數(shù)目： 1/=（2p p/ ）/(2p p/T)=T/ 增多。增多。 積分變換積分變換 第1-29頁 電子教案

25、 如果周期如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線 間隔將趨近于零，周期信號的間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜離散頻譜就過渡到非周期信號就過渡到非周期信號 的的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。 (b) 一定，一定，T增大，間隔增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。減小，頻譜變密。幅度減小。 積分變換積分變換 第1-30頁 電子教案 二、傅里葉積分二、傅里葉積分 對任何一個非周期函數(shù)對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t) 當當T時轉化而來

26、的。時轉化而來的。 作周期為作周期為T的函數(shù)的函數(shù)fT(t)， 使其在使其在 T/2,T/2之內(nèi)等于之內(nèi)等于f(t)， 在在 T/2,T/2之外按周期之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上，延拓到整個數(shù)軸上， 則則T越大，越大， fT(t)與與 f(t)相等的范圍也越大，相等的范圍也越大， 這就說明當這就說明當T時，時， 周期函數(shù)周期函數(shù)fT(t)便便 可轉化為可轉化為f(t)，即有，即有 lim( )( ) T T ftf t 積分變換積分變換 第1-31頁 電子教案 O t f(t) Ot fT1(t) Ot fT2(t) 積分變換積分變換 第1-32頁 電子教案 , 2 , , d)( 1 lim

27、)( d)( 1 )( 1 jj jj 2 2 2 2 n nnn n n t T T n t TT T T n eef T tf eef T tf n T T n n T T n pp 或 兩個相鄰的點的距離為布在整個數(shù)軸上 所對應的點便均勻分取一切整數(shù)時當 T p2 O 1 2 3 n-1n T p2 T p2 T p2 由周期函數(shù)傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式由周期函數(shù)傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 可知可知 積分變換積分變換 第1-33頁 電子教案 如圖 n n t T n t T T n T T n n n T T n eef eef T tf p jj 0 jj 2 2 2 2 d)( 2 1 lim

28、 d)( 1 lim)( 當當T+時，有時，有n0，所以，所以 t n nnTn n nnT t TnT nn n n T T n eef T tf eef p p jj 0 jj d)( 2 1 )( )()(, 0 )(lim)( d)( 2 1 )( 2 2 即當 令 積分變換積分變換 第1-34頁 電子教案 jj 0 jj 1 ()( )d 2 ( )lim() ()d( )d 1 ( )( )dd 2 nn n t n Tnn n nn t fee f t f tfee p p 由 最后得 此公式稱為函數(shù)此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式，的傅里葉積分公式， 簡稱簡稱傅氏積分公式傅氏積分公式。 上式為傅里葉積分公式的復指數(shù)形式上式為傅里葉積分公式的復指數(shù)形式 積分變換積分變換 第1-35頁 電子教案 傅氏積分定理傅氏積分定理 若若f(t)在在( , + )上滿足條件上滿足條件: 1. f(t)在任一有限在任一有限 區(qū)間上滿足狄氏條件區(qū)間上滿足狄氏條件; 2. f(t)在無限區(qū)間在無限區(qū)間( , + )上絕對可積上絕對可積, 則有則有 來代替。 處，應以在它的間斷點成立，