2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何第五節(jié)橢圓教案理（含解析）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第五節(jié) 橢 圓1橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點f1，f2的距離的和等于常數(shù)(大于f1f2）的點的軌跡叫做橢圓兩定點f1，f2叫做橢圓的焦點集合pmmf1mf22a，f1f22c,其中a0，c0，且a，c為常數(shù)（1)當2af1f2時，p點的軌跡是橢圓;(2）當2af1f2時，p點的軌跡是線段；（3）當2af1f2時，p點不存在2橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1（ab0)1（ab0）圖形性 質(zhì)范圍xa，a，yb，bxb，b,ya，a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點a1(a,0）,a2（a,0） b1（0,b）,b2（0，b）a1（0,a），a2（0，a） b1（b,0

2、)，b2(b，0）離心率e,且e(0，1)a,b，c的關(guān)系c2a2b2小題體驗1已知橢圓1的兩焦點為f1,f2，過f1作直線交橢圓于a,b兩點,則abf2的周長為_答案：122已知直線x2y20過橢圓1(ab0)的左焦點和一個頂點，則橢圓的方程為_解析：直線x2y20與x軸的交點為（2,0),即為橢圓的左焦點，故c2.直線x2y20與y軸的交點為（0,1），即為橢圓的頂點，故b1,所以a2b2c25,故橢圓的方程為y21.答案：y213已知橢圓的一個焦點為f(1，0),離心率為，則橢圓的標準方程為_解析：設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0）因為橢圓的一個焦點為f(1,0),離心率e,所以解得故橢圓的

3、標準方程為1.答案:11求橢圓的標準方程時易忽視判斷焦點的位置,而直接設(shè)方程為1（ab0）2注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓1(ab0）上點的坐標為p(x，y）時，x|a，|y|b，這往往在求與點p有關(guān)的最值問題中特別有用,也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯誤的原因小題糾偏1（2019無錫一中月考）已知橢圓1的焦距為6，則m_.解析：橢圓1的焦距為6，當焦點在x軸時，(13m）(m2）9，解得m3；當焦點在y軸時，(m2)（13m）9,解得m12。答案：3或122若方程1表示橢圓，則k的取值范圍是_解析：由已知得解得3k5且k4。答案:（3,4)（4，5）題組練透1與橢圓1有相同的焦點，且離心率為的橢圓的標

4、準方程為_解析:由橢圓1，得a29，b24，c2a2b25，該橢圓的焦點坐標為(，0)設(shè)所求橢圓方程為1，ab0，則c,又，解得a5。b225520,所求橢圓的標準方程為1.答案：12(2018海門中學(xué)測試)已知中心在坐標原點的橢圓c的右焦點為f(1,0)，點f關(guān)于直線yx的對稱點在橢圓c上，求橢圓c的標準方程解:設(shè)點f關(guān)于yx的對稱點為p（x0，y0），又f（1，0），所以解得又點p在橢圓上,設(shè)橢圓c的方程為1(ab0)，所以解得則橢圓c的方程為1。3求分別滿足下列條件的橢圓的標準方程:(1)經(jīng)過點p(2，0），q(0,2）兩點;（2）與橢圓1有相同的焦點且經(jīng)過點(2,）解：（1)由題意，p

5、，q分別是橢圓長軸和短軸上的端點，且橢圓的焦點在x軸上，所以a2,b2，所求橢圓的標準方程為1.(2)設(shè)橢圓1的左、右焦點分別為f1，f2，所以f1（1，0),f2(1,0)，所以所求橢圓焦點在x軸上，設(shè)方程為1（ab0）由題意得解得a242，b232或a242,b232（舍去)，所以橢圓的標準方程為1.謹記通法求橢圓標準方程的 2種常用方法定義法根據(jù)橢圓的定義,確定a2，b2的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程待定系數(shù)法若焦點位置明確,則可設(shè)出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為ax2by21(a0,b0，ab)典

6、例引領(lǐng)已知橢圓1（ab0)的右焦點為f2(1，0）,點h在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）點m在圓x2y2b2上，且點m在第一象限，過點m作圓x2y2b2的切線交橢圓于p,q兩點，求證:pf2q的周長是定值解：（1)設(shè)橢圓的左焦點為f1。根據(jù)已知，橢圓的左右焦點分別是f1（1，0)，f2（1，0)，半焦距c1，因為h在橢圓上，所以2ahf1hf2 6.所以a3，b2，故橢圓的方程是1。(2）證明：設(shè)p(x1，y1)，q(x2,y2),則1，所以pf2 .因為0x13,所以pf23x1。在圓x2y2b2中，m是切點，所以pm x1.所以pf2pm3x1x13.同理，qf2qm3,所以f2pf2q

7、pq336.因此pf2q的周長是定值6。由題悟法利用定義求方程、焦點三角形及最值的方法求方程通過對題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動點p滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程求焦點三角形利用定義求焦點三角形的周長和面積解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理其中pf1pf22a兩邊平方是常用技巧求最值抓住pf1與pf2之和為定值，可聯(lián)系到基本不等式求pf1pf2的最值；利用定義pf1pf22a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值即時應(yīng)用1已知橢圓的兩個焦點為f1（,0）,f2（，0)，點p是橢圓上的點，且pf1f2的周長是42,則橢圓的標準方程為_解析：橢圓的兩個焦點為f1(，0），f

8、2，橢圓的焦距為f1f22。pf1f2的周長是42，pf1pf2f1f242，可得pf1pf24。根據(jù)橢圓的定義,可得2apf1pf24，a2，又c，b，可得a24,b22。故橢圓的標準方程為1.答案:12已知f1,f2是橢圓c：1（ab0）的兩個焦點，p為橢圓c上的一點，且。若pf1f2的面積為9，則b_。解析：由題意知pf1pf22a，所以pfpff1f4c2,所以(pf1pf2)22pf1pf24c2，所以2pf1pf24a24c24b2.所以pf1pf22b2，所以spf1f2 pf1pf22b2b29.所以b3。答案：3鎖定考向橢圓的幾何性質(zhì)是高考的熱點,常見的命題角度有：（1)求離

9、心率的值或范圍；（2)根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍；(3）焦點三角形的研究 題點全練角度一：求離心率的值或范圍1（2019連云港調(diào)研）已知橢圓1(ab0）的左、右焦點分別為f1，f2,過f2且垂直于x軸的直線與橢圓交于a，b兩點，o為坐標原點，若f1aob，則橢圓的離心率為_解析：由題意,可得a，b。f1aob，1,可得a2c2ac，即e2e10，解得e（負值舍去）答案：2從橢圓1(ab0）上一點p向x軸作垂線,垂足恰為左焦點f1，a是橢圓與x軸正半軸的交點，b是橢圓與y軸正半軸的交點，且abop(o是坐標原點），則該橢圓的離心率是_解析：由題意可設(shè)p（c,y0）(c為半焦距）,kop，ka

10、b，由于opab，所以，y0，把p代入橢圓方程得1，即2，所以e.答案:角度二：根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍3若方程1表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：方程1表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，解得a7。實數(shù)a的取值范圍是（7，）答案：（7，)4如果x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_解析：x2ky22轉(zhuǎn)化為橢圓的標準方程,得1，因為x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，所以2，解得0k1.所以實數(shù)k的取值范圍是（0,1)答案:(0，1）角度三：焦點三角形的研究5已知橢圓c：1(ab0)的左、右焦點分別為f1,f2，點p為橢圓c上一點，且f1pf2

11、60。(1)求橢圓c的離心率的范圍；(2）求證：f1pf2的面積只與橢圓c的短半軸長有關(guān)解：(1）設(shè)pf1m，pf2n，則mn2a。在pf1f2中,由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60（mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2（當且僅當mn時取等號)所以，即e。又0e1，所以e的取值范圍是。(2)證明：由（1)知mnb2，所以spf1f2mnsin 60b2，即pf1f2的面積只與短半軸長有關(guān)通法在握1應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)的2個技巧(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形（2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式例如axa

12、，byb，0e1，在求橢圓的相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系2求橢圓離心率的方法(1）直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解（2)列出含有a，b,c的齊次方程(或不等式）,借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程（或不等式）求解演練沖關(guān)1已知橢圓1的離心率為,則k的值為_解析：當94k0，即5k4時,a3，c29(4k）5k,所以,解得k.當94k，即k5時，a，c2k5，所以，解得k21，所以k的值為或21。答案:或212過橢圓1(ab0）的左焦點f1作x軸的垂線交橢圓于點p，f2為橢圓的右焦點，若f1pf260，則橢圓的離心率為_解析：由題意,可設(shè)p。因為在rtpf1f2中，

13、pf1，f1f22c,f1pf260，所以.又因為b2a2c2，所以c22aca20，即e22e0，解得e或e，又因為e（0,1)，所以e.答案:3（2019南京一模）設(shè)橢圓c：1（ab0）的左、右焦點分別為f1,f2,p是橢圓c上的點，pf2f1f2，pf1f2,若cos ，則橢圓c的離心率為_解析：pf2f1f2，cospf1f2,f1f22c，pf16c，pf24c，又pf1pf22a，6c4c2a，橢圓c的離心率e32.答案:32典例引領(lǐng)如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓c:1(ab0)的離心率為，且過點.過橢圓c的左頂點a作直線交橢圓c于另一點p，交直線l：xm(ma)于點m.已知

14、點b（1，0),直線pb交l于點n。(1）求橢圓c的方程； （2)若mb是線段pn的垂直平分線，求實數(shù)m的值解:(1)因為橢圓c的離心率為,所以a24b2。又因為橢圓c過點，所以1，解得a24，b21.所以橢圓c的方程為y21.(2)設(shè)p（x0，y0），且2x02， x01，則y1.因為mb是pn的垂直平分線,所以點p關(guān)于點b的對稱點n（2x0,y0)，所以x02m。由a（2,0），p(x0，y0），可得直線ap的方程為y（x2），令xm，得y，即m.因為pbmb，所以kpbkmb1，所以kpbkmb1，即1。因為y1.所以1.因為x02m ，所以化簡得3m210m40，解得m.因為m2,所以

15、m.由題悟法直線與橢圓的位置關(guān)系的解題策略解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題即時應(yīng)用(2018南通、揚州調(diào)研）如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓1（ab0)的離心率為。a為橢圓上異于頂點的一點，點p滿足2。（1）若點p的坐標為（2，），求橢圓的方程；（2)設(shè)過點p的一條直線交橢圓于b，c兩點，且m,直線oa，ob的斜率之積為,求實數(shù)m的值解：(1） 因為2，而p(2，),所以a，代入橢圓方程,得1，又橢圓的離心率為，所以 。由，得a22，b21.故橢圓的方程為y21.（2)設(shè)a（x1，y1）

16、，b(x2，y2)，c（x3，y3）因為2,所以p（2x1，2y1），因為m,所以(2x1x2,2y1y2)m（x3x2,y3y2），即于是代入橢圓方程,得1，即1，因為a，b在橢圓上,所以1,1. 因為直線oa,ob的斜率之積為，即，結(jié)合知0。 將代入，得1，解得m。一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1已知橢圓的中心在原點，焦點f1，f2在x軸上，p(2，）是橢圓上一點，且pf1，f1f2，pf2成等差數(shù)列，則橢圓的方程為_解析：橢圓的中心在原點，焦點f1，f2在x軸上，設(shè)橢圓方程為1（ab0)，p（2，)是橢圓上一點,且pf1,f1f2,pf2成等差數(shù)列,且a2b2c2，解得a2，b,橢圓的方

17、程為1.答案：12已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，且長軸長為12,離心率為，則該橢圓方程為_解析:設(shè)橢圓的方程為1(ab0），因為2a12，所以a6，c3，b227.所以橢圓的方程為1.答案：13橢圓y21的左、右兩焦點分別為f1，f2，橢圓上一點p滿足f1pf260，則f1pf2的面積為_解析：由題意，橢圓y21的左、右兩焦點分別為f1,f2，則pf1pf22，f1f22。由余弦定理，得f1fpfpf2pf1pf2cos 60（pf1pf2)23pf1pf2，解得pf1pf2。故f1pf2的面積spf1pf2sin 60.答案：4（2019南京名校聯(lián)考）若n是2和8的等比中項，則圓錐

18、曲線x21的離心率是_解析：由n228,得n4，當n4時，曲線為橢圓，其離心率為e；當n4時,曲線為雙曲線，其離心率為e。答案：或5（2018北京東城模擬)已知橢圓c的中心在原點,一個焦點f（2，0），且長軸長與短軸長的比是2，則橢圓c的方程是_解析：設(shè)橢圓c的方程為1(ab0）由題意知解得a216，b212。所以橢圓c的方程為1。答案：16（2018啟東中學(xué)檢測)分別過橢圓c：1(ab0)的左右焦點f1，f2所作的兩條互相垂直的直線l1,l2的交點在橢圓上，則此橢圓的離心率的取值范圍是_解析：設(shè)兩直線交點為m，令mf1m，mf2n.由橢圓的定義可得mn2a，因為mf1mf2,所以m2n24c

19、2，因為(mn)2m2n22mn2(n2m2）,當且僅當mna時取等號，即4a22（4c2），所以ac，所以，即e，因為e1，所以e1.答案:二保高考，全練題型做到高考達標1（2019啟東模擬）設(shè)點p在圓x2（y2）21上移動,點q在橢圓y21上移動，則pq的最大值是_解析:已知圓心c(0，2），pqpccq1cq，故只需求cq的最大值即可設(shè)q（x，y），則 cq 。 1y1, 當y時，cqmax， pqmax1.答案：12(2019常州模擬）若橢圓c的長軸長是短軸長的3倍，則c的離心率為_解析：不妨設(shè)橢圓c的方程為1（ab0），則2a2b3，即a3b。所以a29b29（a2c2)即，所以e.

20、答案:3（2018鎮(zhèn)江期末)已知橢圓1(mn0)的左、右焦點分別為f1，f2，p是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點，則_.解析:法一:（）（）(）()|22n（mn)2nm.法二：設(shè)f1（c,0)，f2(c,0)，p(x,y)，則x2y2n，（xc）(xc)y2x2y2c2n（mn）2nm。答案:2nm 4(2018蘇北四市一模）如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知點a,b1,b2分別為橢圓c:1(ab0)的右、下、上頂點，f是橢圓c的右焦點若b2fab1,則橢圓c的離心率是_解析：因為f(c，0),b2(0，b),b1（0，b)，a（a，0），所以（c,b)，（a,b）因為b2fab1，所以a

21、cb20，即c2aca20，故e2e10，解得e（負值舍去）答案:5如圖，已知橢圓c的中心為原點o，f(2，0）為c的左焦點，p為c上一點，滿足opof，且pf4,則橢圓c的方程為_解析：設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0)，焦距為2c，右焦點為f，連結(jié)pf，如圖所示因為f（2,0)為c的左焦點,所以c2。由opofof知,fpf90，即fppf。在rtpff中，由勾股定理，得pf8.由橢圓定義，得pfpf2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以橢圓c的方程為1.答案：16。(2019啟東月考）如圖所示,a，b是橢圓的兩個頂點,c是ab的中點，f為橢圓的右焦點，oc的

22、延長線交橢圓于點m，且of，若mfoa,則橢圓的方程為_解析:f為橢圓的右焦點，of,c.設(shè)橢圓方程為1(b0），a，b是橢圓的兩個頂點，a，b(0，b）又c是ab的中點，c。由oc的延長線交橢圓于點m，mfoa,得m.komkoc,，b,故所求橢圓的方程為1。答案：17在平面直角坐標系xoy中，橢圓c的中心為原點，焦點f1，f2在x軸上，離心率為.過f1的直線l交c于a，b兩點，且abf2的周長為16，那么c的方程為_解析：設(shè)橢圓c的方程為1(ab0)，因為ab過f1且a，b在橢圓c上，所以abf2的周長abaf2bf2af1af2bf1bf24a16，所以a4。又離心率e，所以c2,所以b

23、2a2c28，所以橢圓c的方程為1.答案:18（2019句容月考)離心率e，焦距為4的橢圓的標準方程為_解析：橢圓的離心率e，焦距為4，c2，a6,b232，橢圓的標準方程為1或1.答案：1或19已知橢圓1(ab0），f1，f2分別為橢圓的左、右焦點，a為橢圓的上頂點,直線af2交橢圓于另一點b。（1）若f1ab90，求橢圓的離心率（2)若2，求橢圓的方程解：（1)若f1ab90，則aof2為等腰直角三角形，所以有oaof2，即bc。所以ac，e。（2)由題知a（0，b)，f1（c，0)，f2(c，0)，其中c,設(shè)b(x,y）由2，得(c，b）2（xc，y),解得x，y，即b.將b點坐標代入1

24、,得1,即1,解得a23c2.又由（c,b)，得b2c21,即有a22c21.由解得c21，a23，從而有b22.所以橢圓的方程為1。10(2018南京學(xué)情調(diào)研)如圖,在平面直角坐標系xoy中，橢圓c：1(ab0)的左、右焦點分別為f1，f2,p為橢圓上一點（在x軸上方），連結(jié)pf1并延長交橢圓于另一點q，設(shè).（1）若點p的坐標為，且pqf2的周長為8，求橢圓c的方程；(2)若pf2x軸,且橢圓c的離心率e，求實數(shù)的取值范圍解:(1）因為f1，f2為橢圓c的兩焦點，且p，q為橢圓上的點，所以pf1pf2qf1qf22a，從而pqf2的周長為4a，由題意得4a8,解得a2。因為點p的坐標為,且在橢圓上,所以1，解得b23.所以橢圓c的方程為1.(2)因為pf2x軸，且p在x軸上方，所以可設(shè)p(c，y0),且y00，q(x1,y1）因為點p在橢圓上，所以1,解得y0，即p.因為f1(c,0),所以，(x1c，y1）由，得2c(x1c)，y1，解得x1c，y1，所以q。因為點q在橢圓上，所以2e21，即（2）2e2(1e2)2，即（243）e221.因為10，所以（3)e