浙江省杭州市塘棲中學(xué)2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件(理) 第15章15.1 不等式和絕對值不等式

1、 0.0.10 ee abcde acbd 已知，求證： 00. 00. 1 0 1 11 . 0 . cdcd abacbd ac bd acbd ac bd bdac ee eeee bdacacbd 因為，所以 又因為，所以 因為， 所以不等式兩邊同乘， 得 在這個不等式兩邊同乘 ， 得，即故原不等 證明： 式成立 34 1, ,3 2. 2 xb b 若不等式 的解集中的整數(shù)有且僅 有，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 44 34 33 4 01 3 57. 4 34 3 bb xbx b b b 由 ，得， 所以，解得 解析： 23.13.xx解不等式 10201 2. (2)2,1 1) 221

2、 21 3213 1 12. 21 (2)( 3 1) xxxx xx xxxx x x xx xx 令和，得分界點(diǎn)， 于是，可分區(qū)間，化簡原 不等式， 得或 或，解得或 綜上，不等式的解集 ： ，是 解析 2 12 40.3f xxx x 求函數(shù)的最小值 3 222 2min 0 1233123312 33 2222 9. 3312 2. 22 9 x xxxx f x f x x xxx xx x x 因為， 所以 當(dāng)且僅當(dāng)，即時， 解析： 1 000. 2 1 2 3() . 4()00 .00. abababababab abb a abbca c abac bcabcdac bd a

3、bcacbcabcac bc abcdacbd 實(shí)數(shù)的大小關(guān)系與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系 ， ， 不等式的性質(zhì) 對稱性：； 傳遞性：，； 加 減 ：；， 乘 除 ：，；， ， 22 50(2) ()0( 2) 3 12. 2. 2 nn nn ababnn abab n n abababa b ab abab ab N N R 乘方：，且 開方 取算術(shù)平方根， 且 基本不等式 定理 ：設(shè) ，則當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立 定理 ：如果 ， 為正數(shù)，則當(dāng)且 僅當(dāng)時等號成立 3 2 3. 3 ab abab ab abc abcabc abc 我們稱為正數(shù) ， 的算術(shù)平均值，為正 數(shù) ， 的幾何平均值因而這一定

4、理可用語言 敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的 幾何平均值 定理 ：如果 ， ， 為正數(shù)，則 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立 3 12 12 1212 3 . 4 n n n n n abc abcabc abc aaan aaa a aaaa n a 我們稱為正數(shù) ， ， 的算術(shù)平均值， 為正數(shù) ， ， 的幾何平均值因而這一定理可用 語言敘述為： 三個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們 的幾何平均值 定理 ：一般形式的算術(shù)-幾何平均不等式： 如果 ， ， ， 為 個正數(shù)， 則，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立 4 10 . 20 3 1 0 axbc axbc c axbcaxbcaxbc axbccaxbc xax

5、bc xaxbc c ababab ab 絕對值不等式 ，型不等式的解法： 或； ，型不 等式的解法，一般用分區(qū)間討論法或數(shù)形結(jié)合法 絕對值的三角不等式 定理 ：若 ， 為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且 僅當(dāng)時，等號成立 2 0 abcacab bcabbcb ac 定理 ：若 ， ， 為實(shí)數(shù)，則 ，等號成立，即 落在 ， 之間 3 1 3 a abb a ab 例題1：已知 ， 是不相等的正數(shù)，且， 試比較 ， ， 與的大小 331 33( 11 31 3) a ba aa aab 解 當(dāng)時， 析： 與題設(shè)矛盾 3 31 3( 3)03. 1 3 2 131 31 1 10 1 31 3( 3)33. 12

6、 3. 2 a bab a a ab baa a ab ab 當(dāng)時， 因為，所以 又因為， 所以，即 于是 3 03333 . 3 2 3 2 a ab bab ab ba 當(dāng)時， 由，得且， 于是 () 比較大小問題通常應(yīng)用差值比較法，其 步驟是：作差-變形-判號，解題關(guān)鍵在于變 形，方法有：通分 分式型 、分解因式、配方等， 同時還應(yīng)注意分類討論思想方法 點(diǎn)評： 的應(yīng)用 11 0 (1 0. ) nn nn ababab ababnn N 拓展訓(xùn)練 設(shè)，且，試比較： 與，的大小 111 111 nnnnn nnn abababaab bbaabab 解析： 11 11 11 11 11 1

7、1 11 00 0 . 00 0 . . nn nn nnnn nn nn nnnn nnnn ababab abab ababab baabab abab ababab ababab 當(dāng)時， 則， 所以 當(dāng)時， 則， 所以 綜上所述， 4 6 1 27 2 0 OABM COMxC yCACB yx yx 如圖， 為數(shù)軸的原點(diǎn)， ， ，為數(shù) 軸上三點(diǎn)， 為線段上的動點(diǎn)，設(shè) 表示 與 原點(diǎn)的距離， 表示 到 距離的 倍與 到 距離 的 倍的和 將 表示為 的函數(shù)； 要使 的值不超過， 應(yīng)該在什么范 例題 ： 圍內(nèi)取值？ 410620 (030) 4|10| 6|20| 70 030 10160

8、70 10 030 9 930910 030 1020 1 2 yxxx xx x x x x x x xx x x 依題意， 滿足， 當(dāng)時，原不等式組等價于 ， 解 所以； 當(dāng) 析： 時， 28070 030 5 5301020 030 1016070 20 030 23 023202 9,23 3. 030 x x x xx x x x x x x x x x 原不等式組等價于 ，所以； 當(dāng)時，原不等式組等價于 ，所以 綜上所述， x第一問應(yīng)注意 的取值范圍；第二問解 不等式組時應(yīng)用零點(diǎn)分段法分類討論時要注 意做到分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù) 點(diǎn)評： ，不遺漏 214 . 12 2 3f xxx

9、f x yf x 設(shè)函數(shù) 解 例題 ： 不等式 ； 求函數(shù)的最小值 0yf xf x 這個絕對值不等式比較復(fù)雜，一方面 可以聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)與方程 的根的關(guān)系，從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，利用函數(shù) 圖象求不等式的解集；另一方面，可以用零 點(diǎn)分段法分類討論，脫去絕對值符 分析： 號求解 214 1 5 2 1 334. 2 54 2142 5 7, 1 2(2) 3 yxx xx yxx xx yxxy 令， ， 則， ， 作函數(shù)的圖象，它與直線 解 的交點(diǎn)為和， 析： 2 1 21 2 4. 5 (7)() 3 2 9 2 f x xyx x 所以的解集為 由函數(shù)圖 ， 最小值 象知，當(dāng)時， 取得 當(dāng)不等

10、式的一側(cè)有兩個或兩個以上的 絕對值符號時，常用零點(diǎn)分段法分類討論求 解，求最值可結(jié)合圖 點(diǎn)評： 形得出 134 2211. xxxa a xx 若關(guān)于 的不等式 的解集不是空集，求參數(shù) 的取值范圍 解不等式 拓展訓(xùn)練： 34341 341. 134 1. 20211 0. 0 1xxxx xx axxa a xxx x xx 因為， 所以的最小值是 因此，當(dāng)時，的解集是， 所以 當(dāng)時，原不等式可化為， 解得 又因為，所 析： 以 解 不存在； 1 0211 2 0. 11 00 22 1 211 2 1 |0 2. 22 2 1 x xxx x xx xxx xx x 當(dāng)時，原不等式可化為，

11、解得 又因為，所以； 當(dāng)時，原不等式可化為， 又因為，所以 綜上，原不等式的解集為 2 011xyxx已知，求函數(shù)的例題4： 最大值 a 2 3 m x 0110. 4 27 141 2 2 1 4 22 4() 327 2 1 23 2 . 3 xx x x yxxx xx x x xx xy 因為，所以 因此 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立 故時， 解 當(dāng) 析： () 應(yīng)用均值不等式時，要根據(jù)均值不等 式的條件創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境合理拆分項或配湊 因式是常用的解題技巧，而拆與湊的關(guān)鍵在 于合理地運(yùn)用和 或積 為常數(shù)，并應(yīng)考慮 等 號 能 點(diǎn)評： 否成立 23 0 346 (2009)xyz xyzx

12、y z 設(shè) ， ，且拓展訓(xùn)練：浙 ，求的 江模擬 最大值 23 23 6 23 634 46 22 1(4) 2 1 21 4 . 1 xyz xx yyyzx y z x x y zyz x x y z yz 因為 ， 所以當(dāng) 解析： 且僅當(dāng)時取等號 所 取得最 以， 大值 時， P PHab PAH 如圖，教室的墻壁 上掛著一塊黑板，它的上、 下邊緣分別在學(xué)生 的水平 備選題 視線的上方 米和 米， 則 距離墻壁多遠(yuǎn)時， 他看黑板 ： 的視角最大？ 2 . tantan tan(). 1 1 PAHx PPH APHBPHP ab xx ab tantanab xx abab tan ta

13、n x xx 設(shè)學(xué)生 與墻壁的距離是 米，黑板 上、下邊緣與 的水平視線的夾角分別為 ，則 看黑板 的視角為 由，得， 解析： 22 tan() abab xxab xx xab AHa P b 因為， 當(dāng)且僅當(dāng)時，最大 又因為 與墻壁的距離 為 為時， 銳角，所以此時最大 他看黑板的 ，即 視角最大 利用不等式解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題， 要建立合適的數(shù)學(xué)模型，寫出對應(yīng)函數(shù)的解析 式，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的最值 點(diǎn)評： 問題解決. 1 2 123 應(yīng)用不等式性質(zhì)時要特別注意不等式兩邊同 乘一個負(fù)數(shù)，不等號要改變方向 解絕對值不等式，關(guān)鍵是應(yīng)用絕對值的定義 或絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號基本方法有：

14、零點(diǎn)分段法； 平方法； 應(yīng)用絕對值不等式 的基本性質(zhì)等在應(yīng)用零點(diǎn)分段法分類討論時 要注意做到分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，分類方法既不重復(fù) 又不遺漏；在應(yīng)用平方法時要注意同解變形等 3 ( () 4 應(yīng)用算術(shù)-幾何平均不等式求最值時，要 注意 一正、二定、三等 即 各項或各因數(shù)都 為正數(shù)積 或和 為定值等號成立的條件 當(dāng)多次運(yùn)用算術(shù)-幾何平均不等式求最值時， 一定要注意是否每次都能保證等號成立，并且 要保證等號成立條件的前后一致性 要注意知識的綜合應(yīng)用如最值問題，既 可以應(yīng)用均值不等式求解，也可以從函數(shù)的單 調(diào)性入手，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)來解 21 11 xyxy xy 已知 ， 都是正實(shí)數(shù)，且，求例題： 的最小值

15、 1 11 2,22 11 222 2 11 2()22 2. xy xy xy xy xy xy xy 解法 ：因為 ， 都是正實(shí)數(shù)， 所以， 所以， 即 錯解： 11 2112 2. 11 12 2. 221 11111 2()2 224 2. 11 4 2. xy xy xy xyxy xyxy xyxyxy xy 因為，故得 所以的最小值為 解法 ：因為 ， 都是正實(shí)數(shù)，且， 所以 所以的最小值為 111 32 11 1 3 . 211 3 1111 2 966. xy xyxy xy xy x xy xy y xyxy 解法 ：因為 ， 都是正實(shí)數(shù)，所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號 由，解得 所以，即的最小值是 2 11 2 21 11 22 xy xy xy xy 解法 ，取等號的條件是且， 這與矛盾，故取不到等號 解 錯解分 法 ，取等號的條件是