第六章 相似原理

1、第六章第六章 相似原理與應用相似原理與應用 實際問題的分析方法：實際問題的分析方法： 理論方程：理論方程： e.g.流速與流量的關系流速與流量的關系 Q=vA 數值仿真：計算機模擬數值仿真：計算機模擬 試驗方法：未知復雜問題試驗方法：未知復雜問題 量綱分析方法量綱分析方法是一通過是一通過試驗試驗去探索事物去探索事物 規(guī)律的重要方法，特別是對那些很難從理論規(guī)律的重要方法，特別是對那些很難從理論 上進行分析的復雜現象，更能顯示出該方法上進行分析的復雜現象，更能顯示出該方法 的優(yōu)越性。的優(yōu)越性。 一、單位與量綱一、單位與量綱 單位（單位（unit）：）：量度各種物理量量度各種物理量數值大小數值大小的

2、標準量，的標準量， 稱單位。稱單位。 如長度單位為如長度單位為m或或cm等。等?！傲苛俊钡谋碚?。的表征。 量綱（量綱（dimension）：）：是指撇開單位的大小后，表征是指撇開單位的大小后，表征 物理量的物理量的性質性質和和類別類別。 如長度量綱為如長度量綱為L。 “質質” 的表征。的表征。 T: 時間時間 : 小時、分、秒小時、分、秒 L: 長度長度 ：米、厘米、毫米米、厘米、毫米 M: 質量質量 : 噸、千克、克噸、千克、克 量綱量綱 誘導量綱：非獨立量綱量綱：非獨立量綱 基本量綱：獨立量綱基本量綱：獨立量綱L, M，T 一、單位與量綱一、單位與量綱 1 dim LTv 2 LTadim

3、 3 dim ML 2 dim MLTF 21 dim TMLp 2 dim MT 誘誘 導導 量量 綱綱 11 dim TML 12 dim TL 量綱公式量綱公式: 幾何學量綱：幾何學量綱：0,=0,=0， 分類分類 運動學量綱：運動學量綱：0，0，=0 動力學量綱：動力學量綱：0，0，0 無量綱數（純數，如無量綱數（純數，如雷諾準數雷諾準數）：）： =0,=0,=0.即即x=1。 特點特點:（1）無量綱單位，它的大小與所選單位無關；）無量綱單位，它的大小與所選單位無關； （2）具有客觀性；）具有客觀性； （3）在超越函數（對數、指數、三角函數）運算中，）在超越函數（對數、指數、三角函數）

4、運算中， 均應無量綱數均應無量綱數. 問題：速度v，長度l，重力加速度g的無量綱集合是： A. B. D. 答案： 問題： 速度v,密度,壓強p的無量綱集合是： 答案： 問題： 速度v,l,時間t的無量綱集合是： A. B. 答案： 問題：壓強p,密度,長度l,流量Q的無量綱集合 答案： vl t 二、量綱和諧原理二、量綱和諧原理 量綱和諧原理（量綱和諧原理（theory of dimensional homogeneity） ： 凡是正確反映客觀規(guī)律的物理凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程方程，其各項的，其各項的量綱量綱都必須是都必須是 一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。一致的，即只

5、有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。 這稱為量這稱為量 綱和諧原理。綱和諧原理。 量綱和諧原理的重要性：量綱和諧原理的重要性： a. 一個方程在一個方程在量綱上量綱上應是和諧的，所以可用來檢驗經驗公應是和諧的，所以可用來檢驗經驗公 式的正確性和完整性。式的正確性和完整性。 b. 量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數。量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數。 c. 可用來建立物理方程式的結構形式。可用來建立物理方程式的結構形式。 判斷：只有量綱相同的項才可以相加減。判斷：只有量綱相同的項才可以相加減。 答案：對答案：對 H g p z g v 2 2 三、量綱分析法三、量綱分析法 最常見的方

6、法：雷利法雷利法 是量綱和諧原理的直接應用，其步驟為： 確定與所研究的物理現象有關的n個物理量； 寫出各物理量之間的指數乘積的形式，如： 根據量綱和諧原理,即等式兩端的量綱應該相同,確定物 理量的指數x,y,z,a ,代入指數方程式即得各物理量之間的關 系式。 應用范圍:一般情況下要求,相關變量未知數n小于等于45個。 azyxU kD D F 例子：課本106頁 第二節(jié) 相似性與相似模擬 原型：原型：天然水流和實際建筑物稱為原型。 模型：模型：通常把原型（實物）按一定比例關系 縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦?，稱為模型。 模型和原型保證流動相似,應滿足： 幾何相似 運動相似 動力相似 初始條件和邊界條

7、件相似 1.幾何相似幾何相似 幾何相似：指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，即原型 和模型及其流動所有相應的線性變量的比值均相等。 長度比尺： 面積比尺： 體積比尺： 2. 運動相似運動相似 運動相似：是指流體運動的速度場相似，也即兩流場各相應 （包括邊界上各點）的速度u及加速度a方向相同，且大小各 具有同一比值。 速度比尺： 加速度比尺： 3.動力相似動力相似 動力相似：是指兩流動各相應點上流體質點所受的同名力方向相 同，其大小比值相等。 力的比尺： 4.初始條件和邊界條件的相似初始條件和邊界條件的相似 初始條件：適用于非恒定流。 邊界條件：有幾何、運動和動力三個方面的因素。如固體邊界上 的

8、法線流速為零,自由液面上的壓強為大氣壓強等 。 第三節(jié)第三節(jié) 相似理論相似理論 一、相似第一定律一、相似第一定律 該定律規(guī)定了相似的必要條件，即相似現象必該定律規(guī)定了相似的必要條件，即相似現象必 須具有的性質。須具有的性質。 定律：在相似的諸現象中，各定律：在相似的諸現象中，各相似準則數相似準則數相等，相等， 或者說，在相似現象中，或者說，在相似現象中，相似指標相似指標等于等于1。 舉例說明 0 v 1 v 2 v 0 v 1 v 2 v 0 1 2 0 1 2 物體物體A，B的相似運動的相似運動 假設物體A、B各沿幾何相似的路徑作 相似運動，如圖所示。 既然A，B運動相似，故在相應的點0，

9、1，2。其速度必成比例，即： 設，由0到1所需時間分別為 和 ，由1到2所需時間為 和 ，它們也都成比例 01 01 . v vvv C vvv 1 t 1 t 2 t 2 t 12 12 . t ttt C ttt A B 由于運動的幾何路徑相似，故從由于運動的幾何路徑相似，故從0點到點到1點的位移點的位移 ，由，由1到到2 點的位移點的位移 。也都成比例，即：。也都成比例，即： 任何物體的運動，其瞬間的速度都可以用如下微分方程來描述：任何物體的運動，其瞬間的速度都可以用如下微分方程來描述： 故，對于物體故，對于物體A，其運動方程為：，其運動方程為： 對于物體對于物體B，其運動方程為：，其運

10、動方程為： 11 ll和 22 ll和 12 12 . l lll C lll dl v dt dl v dt dl v dt ll v tt C dlCdldl C vv dtC dtC dt 1 vt l C C C 1 vt l C C C 11 11 1 1 1 v t v t l l 11 1 1 vtvt ll 這說明，在相似的兩個現象這說明，在相似的兩個現象A和和B中，他中，他 們物理量之間的乘積們物理量之間的乘積 在系統(tǒng)的在系統(tǒng)的 相應點和相應時間上必然相等，即相應點和相應時間上必然相等，即 11 1 1 v tv t ll 與 vt l 不變量 顯然，要保持相似，就必須在一個

11、系統(tǒng)所有點上，以相同的 倍數放大或縮小，因而，相似系數在相似系統(tǒng)的所有點上都相似系數在相似系統(tǒng)的所有點上都 保持恒定的數值保持恒定的數值，故有時候稱其為相似常數相似常數。 然而，當一個相似現象被另外一個相似現象取代時，其相似 常數改變?yōu)榱硗庖粋€值。 如：三角形A和B相似，其三個邊必須以相同倍數放大或縮小 。當與三角形C相似時，又放大或縮小另外的倍數。 相似準則數是用系統(tǒng)A中某點上的物理量組成的無因次數表示 。這個無因次數在不同點上具有不同的值不同點上具有不同的值，當系統(tǒng)A變換到系 統(tǒng)B時，其相應點上的無因次數保持恒定相應點上的無因次數保持恒定相同。 2. 相似第二定律 凡具有同一現象，當單值性

12、條件彼此相似， 且由單值性條件的物理量組成的相似準 則（決定性準則）在數值上相等，則這 些現象必定相似。 單值性條件、決定性準則 同一方程描述的現象稱之為同一特性的現象。 方程確定了整個現象的進程，共同的規(guī)律，數 學上叫“通解”，適合所有時間，地點與進程。 通解具體化到個別現象上，就必須給方程加上 原始的或限制性條件，對系統(tǒng)加以限制 這些附加的，特點的限制條件與現象進程無關， 稱為單值性條件 單值條件 幾何條件流體管道流動中管道直徑、長度等 幾何條件 物理條件物性參數，如流體粘性系數，熱導 系數等； 邊界條件表征邊界性質的物理量。 第一類：給出已知函數； 第二類：邊界法向導數 第三類：質量或能

13、量的交換規(guī)律 初始條件：用于不穩(wěn)定的物理現象，表征初始 條件對以后發(fā)展過程的約束條件。對于定常， 初始條件失去意義。 決定性單值條件 單值性條件是唯一確定的，有時為了強 調其對描述物理現象的決定性影響，也 稱為決定性單值條件。 決定性量決定性單值條件中的物理 量 找到所有相似準則中決定性準則；決定 性準則是相似的前提，其它相似準則是 其相似的必然結果。 相似準則例題流體流動 非定常不可壓縮粘性流體的絕熱流動中， 可以用NS方程描述（X方向） 相似變換 222 222 () xxxxxxx xyz vvvvvvvp vvvg txyzxxyz l xyz C xyz t t C t C g g

14、C g p p C p C y xz v xyz v vv C vvv 描述不可壓縮粘性絕熱流體相似準則為： 0 vt H l 表示兩個不穩(wěn)定流動在流速對時間關系上是否相似，反應的 是流體不穩(wěn)定程度 Re vl 表示流體的粘性力與慣性力比；反應的是粘性力對流 動的影響 2 gl Fr v 表示流體的慣性力與重力比，反應重力對流動的影響 ； 2 p Eu v 流體壓力對慣性力比；反應壓力對流動的影響 222 222 () xxxxxxx xyz vvvvvvvp vvvg txyzxxyz 相似準則例題物體受力運動 服從牛頓第二定律 dv fmam dt 相似變換： ; fmvt fmvt CCCC fmvt 則有： 1 ft mv C C C C 相似準則為：