第六章 相似原理

1、第六章第六章 相似原理與應(yīng)用相似原理與應(yīng)用 實(shí)際問題的分析方法：實(shí)際問題的分析方法： 理論方程：理論方程： e.g.流速與流量的關(guān)系流速與流量的關(guān)系 Q=vA 數(shù)值仿真：計(jì)算機(jī)模擬數(shù)值仿真：計(jì)算機(jī)模擬 試驗(yàn)方法：未知復(fù)雜問題試驗(yàn)方法：未知復(fù)雜問題 量綱分析方法量綱分析方法是一通過是一通過試驗(yàn)試驗(yàn)去探索事物去探索事物 規(guī)律的重要方法，特別是對(duì)那些很難從理論規(guī)律的重要方法，特別是對(duì)那些很難從理論 上進(jìn)行分析的復(fù)雜現(xiàn)象，更能顯示出該方法上進(jìn)行分析的復(fù)雜現(xiàn)象，更能顯示出該方法 的優(yōu)越性。的優(yōu)越性。 一、單位與量綱一、單位與量綱 單位（單位（unit）：）：量度各種物理量量度各種物理量數(shù)值大小數(shù)值大小的

2、標(biāo)準(zhǔn)量，的標(biāo)準(zhǔn)量， 稱單位。稱單位。 如長(zhǎng)度單位為如長(zhǎng)度單位為m或或cm等。等?！傲苛俊钡谋碚?。的表征。 量綱（量綱（dimension）：）：是指撇開單位的大小后，表征是指撇開單位的大小后，表征 物理量的物理量的性質(zhì)性質(zhì)和和類別類別。 如長(zhǎng)度量綱為如長(zhǎng)度量綱為L(zhǎng)。 “質(zhì)質(zhì)” 的表征。的表征。 T: 時(shí)間時(shí)間 : 小時(shí)、分、秒小時(shí)、分、秒 L: 長(zhǎng)度長(zhǎng)度 ：米、厘米、毫米米、厘米、毫米 M: 質(zhì)量質(zhì)量 : 噸、千克、克噸、千克、克 量綱量綱 誘導(dǎo)量綱：非獨(dú)立量綱量綱：非獨(dú)立量綱 基本量綱：獨(dú)立量綱基本量綱：獨(dú)立量綱L, M，T 一、單位與量綱一、單位與量綱 1 dim LTv 2 LTadim

3、 3 dim ML 2 dim MLTF 21 dim TMLp 2 dim MT 誘誘 導(dǎo)導(dǎo) 量量 綱綱 11 dim TML 12 dim TL 量綱公式量綱公式: 幾何學(xué)量綱：幾何學(xué)量綱：0,=0,=0， 分類分類 運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：0，0，=0 動(dòng)力學(xué)量綱：動(dòng)力學(xué)量綱：0，0，0 無量綱數(shù)（純數(shù)，如無量綱數(shù)（純數(shù)，如雷諾準(zhǔn)數(shù)雷諾準(zhǔn)數(shù)）：）： =0,=0,=0.即即x=1。 特點(diǎn)特點(diǎn):（1）無量綱單位，它的大小與所選單位無關(guān)；）無量綱單位，它的大小與所選單位無關(guān)； （2）具有客觀性；）具有客觀性； （3）在超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，）在超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）

4、運(yùn)算中， 均應(yīng)無量綱數(shù)均應(yīng)無量綱數(shù). 問題：速度v，長(zhǎng)度l，重力加速度g的無量綱集合是： A. B. D. 答案： 問題： 速度v,密度,壓強(qiáng)p的無量綱集合是： 答案： 問題： 速度v,l,時(shí)間t的無量綱集合是： A. B. 答案： 問題：壓強(qiáng)p,密度,長(zhǎng)度l,流量Q的無量綱集合 答案： vl t 二、量綱和諧原理二、量綱和諧原理 量綱和諧原理（量綱和諧原理（theory of dimensional homogeneity） ： 凡是正確反映客觀規(guī)律的物理凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程方程，其各項(xiàng)的，其各項(xiàng)的量綱量綱都必須是都必須是 一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。一致的，即只

5、有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。 這稱為量這稱為量 綱和諧原理。綱和諧原理。 量綱和諧原理的重要性：量綱和諧原理的重要性： a. 一個(gè)方程在一個(gè)方程在量綱上量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公應(yīng)是和諧的，所以可用來檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公 式的正確性和完整性。式的正確性和完整性。 b. 量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。 c. 可用來建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式?？捎脕斫⑽锢矸匠淌降慕Y(jié)構(gòu)形式。 判斷：只有量綱相同的項(xiàng)才可以相加減。判斷：只有量綱相同的項(xiàng)才可以相加減。 答案：對(duì)答案：對(duì) H g p z g v 2 2 三、量綱分析法三、量綱分析法 最常見的方

6、法：雷利法雷利法 是量綱和諧原理的直接應(yīng)用，其步驟為： 確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個(gè)物理量； 寫出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如： 根據(jù)量綱和諧原理,即等式兩端的量綱應(yīng)該相同,確定物 理量的指數(shù)x,y,z,a ,代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān) 系式。 應(yīng)用范圍:一般情況下要求,相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于45個(gè)。 azyxU kD D F 例子：課本106頁 第二節(jié) 相似性與相似模擬 原型：原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原型。 模型：模型：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系 縮小（或放大）的代表物，稱為模型。 模型和原型保證流動(dòng)相似,應(yīng)滿足： 幾何相似 運(yùn)動(dòng)相似 動(dòng)力相似 初始條件和邊界條

7、件相似 1.幾何相似幾何相似 幾何相似：指原型和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似，即原型 和模型及其流動(dòng)所有相應(yīng)的線性變量的比值均相等。 長(zhǎng)度比尺： 面積比尺： 體積比尺： 2. 運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似 運(yùn)動(dòng)相似：是指流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)相似，也即兩流場(chǎng)各相應(yīng) （包括邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小各 具有同一比值。 速度比尺： 加速度比尺： 3.動(dòng)力相似動(dòng)力相似 動(dòng)力相似：是指兩流動(dòng)各相應(yīng)點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)所受的同名力方向相 同，其大小比值相等。 力的比尺： 4.初始條件和邊界條件的相似初始條件和邊界條件的相似 初始條件：適用于非恒定流。 邊界條件：有幾何、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力三個(gè)方面的因素。如固體邊界上 的

8、法線流速為零,自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等 。 第三節(jié)第三節(jié) 相似理論相似理論 一、相似第一定律一、相似第一定律 該定律規(guī)定了相似的必要條件，即相似現(xiàn)象必該定律規(guī)定了相似的必要條件，即相似現(xiàn)象必 須具有的性質(zhì)。須具有的性質(zhì)。 定律：在相似的諸現(xiàn)象中，各定律：在相似的諸現(xiàn)象中，各相似準(zhǔn)則數(shù)相似準(zhǔn)則數(shù)相等，相等， 或者說，在相似現(xiàn)象中，或者說，在相似現(xiàn)象中，相似指標(biāo)相似指標(biāo)等于等于1。 舉例說明 0 v 1 v 2 v 0 v 1 v 2 v 0 1 2 0 1 2 物體物體A，B的相似運(yùn)動(dòng)的相似運(yùn)動(dòng) 假設(shè)物體A、B各沿幾何相似的路徑作 相似運(yùn)動(dòng)，如圖所示。 既然A，B運(yùn)動(dòng)相似，故在相應(yīng)的點(diǎn)0，

9、1，2。其速度必成比例，即： 設(shè)，由0到1所需時(shí)間分別為 和 ，由1到2所需時(shí)間為 和 ，它們也都成比例 01 01 . v vvv C vvv 1 t 1 t 2 t 2 t 12 12 . t ttt C ttt A B 由于運(yùn)動(dòng)的幾何路徑相似，故從由于運(yùn)動(dòng)的幾何路徑相似，故從0點(diǎn)到點(diǎn)到1點(diǎn)的位移點(diǎn)的位移 ，由，由1到到2 點(diǎn)的位移點(diǎn)的位移 。也都成比例，即：。也都成比例，即： 任何物體的運(yùn)動(dòng)，其瞬間的速度都可以用如下微分方程來描述：任何物體的運(yùn)動(dòng)，其瞬間的速度都可以用如下微分方程來描述： 故，對(duì)于物體故，對(duì)于物體A，其運(yùn)動(dòng)方程為：，其運(yùn)動(dòng)方程為： 對(duì)于物體對(duì)于物體B，其運(yùn)動(dòng)方程為：，其運(yùn)

10、動(dòng)方程為： 11 ll和 22 ll和 12 12 . l lll C lll dl v dt dl v dt dl v dt ll v tt C dlCdldl C vv dtC dtC dt 1 vt l C C C 1 vt l C C C 11 11 1 1 1 v t v t l l 11 1 1 vtvt ll 這說明，在相似的兩個(gè)現(xiàn)象這說明，在相似的兩個(gè)現(xiàn)象A和和B中，他中，他 們物理量之間的乘積們物理量之間的乘積 在系統(tǒng)的在系統(tǒng)的 相應(yīng)點(diǎn)和相應(yīng)時(shí)間上必然相等，即相應(yīng)點(diǎn)和相應(yīng)時(shí)間上必然相等，即 11 1 1 v tv t ll 與 vt l 不變量 顯然，要保持相似，就必須在一個(gè)

11、系統(tǒng)所有點(diǎn)上，以相同的 倍數(shù)放大或縮小，因而，相似系數(shù)在相似系統(tǒng)的所有點(diǎn)上都相似系數(shù)在相似系統(tǒng)的所有點(diǎn)上都 保持恒定的數(shù)值保持恒定的數(shù)值，故有時(shí)候稱其為相似常數(shù)相似常數(shù)。 然而，當(dāng)一個(gè)相似現(xiàn)象被另外一個(gè)相似現(xiàn)象取代時(shí)，其相似 常數(shù)改變?yōu)榱硗庖粋€(gè)值。 如：三角形A和B相似，其三個(gè)邊必須以相同倍數(shù)放大或縮小 。當(dāng)與三角形C相似時(shí)，又放大或縮小另外的倍數(shù)。 相似準(zhǔn)則數(shù)是用系統(tǒng)A中某點(diǎn)上的物理量組成的無因次數(shù)表示 。這個(gè)無因次數(shù)在不同點(diǎn)上具有不同的值不同點(diǎn)上具有不同的值，當(dāng)系統(tǒng)A變換到系 統(tǒng)B時(shí)，其相應(yīng)點(diǎn)上的無因次數(shù)保持恒定相應(yīng)點(diǎn)上的無因次數(shù)保持恒定相同。 2. 相似第二定律 凡具有同一現(xiàn)象，當(dāng)單值性

12、條件彼此相似， 且由單值性條件的物理量組成的相似準(zhǔn) 則（決定性準(zhǔn)則）在數(shù)值上相等，則這 些現(xiàn)象必定相似。 單值性條件、決定性準(zhǔn)則 同一方程描述的現(xiàn)象稱之為同一特性的現(xiàn)象。 方程確定了整個(gè)現(xiàn)象的進(jìn)程，共同的規(guī)律，數(shù) 學(xué)上叫“通解”，適合所有時(shí)間，地點(diǎn)與進(jìn)程。 通解具體化到個(gè)別現(xiàn)象上，就必須給方程加上 原始的或限制性條件，對(duì)系統(tǒng)加以限制 這些附加的，特點(diǎn)的限制條件與現(xiàn)象進(jìn)程無關(guān)， 稱為單值性條件 單值條件 幾何條件流體管道流動(dòng)中管道直徑、長(zhǎng)度等 幾何條件 物理?xiàng)l件物性參數(shù)，如流體粘性系數(shù)，熱導(dǎo) 系數(shù)等； 邊界條件表征邊界性質(zhì)的物理量。 第一類：給出已知函數(shù)； 第二類：邊界法向?qū)?shù) 第三類：質(zhì)量或能

13、量的交換規(guī)律 初始條件：用于不穩(wěn)定的物理現(xiàn)象，表征初始 條件對(duì)以后發(fā)展過程的約束條件。對(duì)于定常， 初始條件失去意義。 決定性單值條件 單值性條件是唯一確定的，有時(shí)為了強(qiáng) 調(diào)其對(duì)描述物理現(xiàn)象的決定性影響，也 稱為決定性單值條件。 決定性量決定性單值條件中的物理 量 找到所有相似準(zhǔn)則中決定性準(zhǔn)則；決定 性準(zhǔn)則是相似的前提，其它相似準(zhǔn)則是 其相似的必然結(jié)果。 相似準(zhǔn)則例題流體流動(dòng) 非定常不可壓縮粘性流體的絕熱流動(dòng)中， 可以用NS方程描述（X方向） 相似變換 222 222 () xxxxxxx xyz vvvvvvvp vvvg txyzxxyz l xyz C xyz t t C t C g g

14、C g p p C p C y xz v xyz v vv C vvv 描述不可壓縮粘性絕熱流體相似準(zhǔn)則為： 0 vt H l 表示兩個(gè)不穩(wěn)定流動(dòng)在流速對(duì)時(shí)間關(guān)系上是否相似，反應(yīng)的 是流體不穩(wěn)定程度 Re vl 表示流體的粘性力與慣性力比；反應(yīng)的是粘性力對(duì)流 動(dòng)的影響 2 gl Fr v 表示流體的慣性力與重力比，反應(yīng)重力對(duì)流動(dòng)的影響 ； 2 p Eu v 流體壓力對(duì)慣性力比；反應(yīng)壓力對(duì)流動(dòng)的影響 222 222 () xxxxxxx xyz vvvvvvvp vvvg txyzxxyz 相似準(zhǔn)則例題物體受力運(yùn)動(dòng) 服從牛頓第二定律 dv fmam dt 相似變換： ; fmvt fmvt CCCC fmvt 則有： 1 ft mv C C C C 相似準(zhǔn)則為：