山東省沂水縣高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.3～2.3.4直線與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教A版必修2

1、23。3直線與平面垂直的性質(zhì)23.4平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質(zhì)定理；2。能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題;3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)思考在日常生活中常見(jiàn)到一排排和地面垂直的電線桿一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直，這些電線桿之間的位置關(guān)系是什么？答案平行.文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言ab圖形語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直的性質(zhì)定理思考黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出

2、一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直。文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言，l,a，ala圖形語(yǔ)言類型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理例1如圖，在四棱錐p。abcd中，底面abcd是矩形，ab平面pad，adap，e是pd的中點(diǎn)，m,n分別在ab,pc上，且mnab，mnpc.證明：aemn。解因?yàn)閍b平面pad，ae平面pad，所以aeab，又abcd,所以aecd。因?yàn)閍dap，e是pd的中點(diǎn)，所以aepd。又cdpdd,所以ae平面pcd。因?yàn)閙nab，abcd，所以mncd。又因?yàn)閙npc，pccdc，所以mn平面pcd，所以aemn。反思與

3、感悟證明線線平行的常用方法有:（1）利用線線平行定義:證共面且無(wú)公共點(diǎn)（2）利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線（3）利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行（4)利用線面垂直的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直. （5）利用面面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行跟蹤訓(xùn)練1如圖，l，pa，pb，垂足分別為a、b，a，aab.求證：al。證明pa,l，pal.同理pbl。papbp,l平面pab。又pa,a,paa。aab，paaba，a平面pab。al.類型二平面與平面垂直的性質(zhì)定理例2如圖所示，p是四邊形abcd所在平面外的一點(diǎn)，abcd是dab60且邊長(zhǎng)為

4、a的菱形側(cè)面pad為正三角形,其所在平面垂直于底面abcd.g為ad邊的中點(diǎn)求證：(1)bg平面pad;(2）adpb.證明(1)由題意知pad為正三角形，g是ad的中點(diǎn),pgad.又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，pg平面abcd，pgbg.又四邊形abcd是菱形且dab60,abd是正三角形,bgad。又adpgg，bg平面pad。(2)由(1）可知bgad,pgad,bgpgg，所以ad平面pbg，又pb平面pbg，所以adpb.反思與感悟證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理本題已知面面垂直,故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理利用

5、面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問(wèn)題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：(1）兩個(gè)平面垂直;（2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；（3）直線必須垂直于它們的交線跟蹤訓(xùn)練2如圖，在三棱錐pabc中,pa平面abc，平面pab平面pbc.求證：bcab。證明如圖，在平面pab內(nèi),作adpb于d。平面pab平面pbc,且平面pab平面pbcpb。ad平面pbc。又bc平面pbc，adbc.又pa平面abc，bc平面abc，pabc，又paada，bc平面pab.又ab平面pab，bcab.類型三線線、線面、面面垂直的綜合問(wèn)題例3如圖,在四面體abcd中,平面abc平面bcd，abac，dcbc。求證：平面abd平面ac

6、d.證明平面abc平面bcd，平面abc平面bcdbc，在平面abc內(nèi)，作aebc于點(diǎn)e,如圖，則ae平面bcd.又cd平面bcd，aecd。又bccd，aebce，ae、bc平面abc，cd平面abc,又ab平面abc，abcd。又abac，accdc,ac，cd平面acd。ab平面acd。又ab平面abd，平面abd平面acd。反思與感悟在關(guān)于垂直問(wèn)題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化每一種垂直的判定都是從某一垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:跟蹤訓(xùn)練3如圖，abc為正三角形，ec平面abc，bdce，且ceca2bd，m是ea的中點(diǎn)求證：（1)deda

7、；（2)平面bdm平面eca；(3)平面dea平面eca.證明（1)設(shè)bda,如圖，作dfbc交ce于f，則cfdba.因?yàn)閏e面abc，所以bccf，dfec，所以dea。又因?yàn)閐b面abc，所以daa，所以deda。(2)取ca的中點(diǎn)n，連接mn，bn,則mn綊ce綊db.所以四邊形mnbd為平行四邊形，所以mdbn.又因?yàn)閑c面abc，所以ecbn，ecmd。又deda，m為ea的中點(diǎn)，所以dmae.所以dm平面aec，所以面bdm面eca。（3)由（2）知dm平面aec，而dm平面dea，所以平面dea平面eca.1已知abc所在的平面為，直線lab，lac，直線mbc,mac，則直線

8、l，m的位置關(guān)系是(）a相交 b異面 c平行 d不確定答案c解析因?yàn)閘ab，lac，ab,ac且abaca，所以l,同理可證m，所以lm.2已知平面平面l，平面，則()al blcl與斜交 dl答案d解析如圖,在面內(nèi)取一點(diǎn)o，作oem，ofn，由于,m，所以oe面，所以oel，同理ofl，oeofo，所以l。3已知l平面，直線m平面.有下面四個(gè)命題：lm；lm；lm；lm。其中正確的兩個(gè)命題是（）a b c d答案d解析l，,m，lm,故正確；lm,l，m，又m,故正確4。如圖所示，在四棱錐sabcd中，底面abcd是矩形,側(cè)面sdc底面abcd,求證：平面scd平面sbc.證明因?yàn)榈酌鎍bc

9、d是矩形，所以bccd.又平面sdc平面abcd，平面sdc平面abcdcd,bc平面abcd，所以bc平面scd。又因?yàn)閎c平面sbc，所以平面scd平面sbc。1垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化2平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化3判定線面垂直的方法主要有以下五種線面垂直的定義；線面垂直的判定定理；面面垂直的性質(zhì)定理；如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面，b；如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面,a。一、選擇題1下列命題錯(cuò)誤的是(）a若，則內(nèi)所有直線都垂直于b如果不垂直于,那么內(nèi)不存在直線垂直于c若，則內(nèi)一定存在直線平行于d若，則經(jīng)過(guò)內(nèi)一點(diǎn)與

10、垂直的直線在內(nèi)答案a解析在正方體abcda1b1c1d1中,平面aa1b1b平面abcd，直線ab1平面aa1b1b，但ab1與平面abcd不垂直，故a錯(cuò)2若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面,則“l(fā)m”是“l(fā)的（)a充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件答案b解析m垂直于平面，當(dāng)l時(shí),也滿足lm，但直線l與平面不平行，充分性不成立，反之，l，一定有l(wèi)m，必要性成立故選b。3設(shè)l是直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論正確的是（)a若l，l，則 b若l，l,則c若，l，則l d若,l，則l答案b解析設(shè)a，若直線la，且l，l，則l,l，因此不一定平行于,故a錯(cuò)

11、誤；由于l，故在內(nèi)存在直線ll,又因?yàn)閘，所以l，故，所以b正確；若，在內(nèi)作交線的垂線l,則l，此時(shí)l在平面內(nèi)，因此c錯(cuò)誤；已知，若a，la，且l不在平面，內(nèi),則l且l，因此d錯(cuò)誤4平面平面，直線a,直線b，那么直線a與直線b的位置關(guān)系一定是(）a平行 b異面 c垂直 d不相交答案c解析因?yàn)槠矫嫫矫?，直線a，所以a或a.若a,則ab，若a，設(shè)過(guò)a的平面與平面的交線為c，則ac，由bc知ab.綜上知ab。5已知直線m，n與平面，下列說(shuō)法正確的是(）am，n且，則mnbm，n且，則mncm，nm且，則ndm，n且,則mn答案b解析a錯(cuò)誤由m,可知m或m。又n，所以m與n的位置關(guān)系不確定b正確因?yàn)椋?/p>

12、設(shè)l,在l上取點(diǎn)o,過(guò)o在內(nèi)作oal，則oa，又n，所以oan.過(guò)o在內(nèi)作obl，則ob,又m，所以obm.aob是二面角l的平面角，由知aob90，所以mn.c錯(cuò)誤由面面垂直的性質(zhì)定理可知,因?yàn)槿鄙賜，所以無(wú)法推出n。d錯(cuò)誤m與n位置關(guān)系不確定6.如圖所示，平面平面,a，b,ab與兩平面、所成的角分別為和.過(guò)a、b分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為a、b，則abab等于（)a21 b31 c32 d43答案a解析如圖：由已知得aa面，aba,bb面，bab，設(shè)aba,則baa,bba，在rtbab中，aba，.7設(shè)l是直二面角，直線a，直線b，a，b與l都不垂直,那么()aa與b可能垂直，但

13、不可能平行ba與b可能垂直，也可能平行ca與b不可能垂直，但可能平行da與b不可能垂直，也不可能平行答案c解析由題意，當(dāng)al，lb時(shí)，ab；故a，d錯(cuò)；若ab,b與l不垂直,在b上取點(diǎn)a，過(guò)a作abl,由面面垂直的性質(zhì)定理得ab，a，aba,又ab,abba，aal.這和a與l不垂直相矛盾不可能ab.故b錯(cuò)，所以選c.二、填空題8已知，,是三個(gè)不同的平面,命題“,且”是真命題，如果把，,中的任意兩個(gè)換成直線,另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有_個(gè)答案2解析若，換為直線a,b,則命題化為“ab，且ab,此命題為真命題；若,換為直線a，b，則命題化為“a，且abb，此命題為假命題；若，

14、換為直線a，b，則命題化為“a，且bab”，此命題為真命題9直線a和b在正方體abcda1b1c1d1的兩個(gè)不同平面內(nèi)，使ab成立的條件是_（只填序號(hào)）a和b垂直于正方體的同一個(gè)面；a和b在正方體兩個(gè)相對(duì)的面內(nèi)，且共面；a和b平行于同一條棱；a和b在正方體的兩個(gè)面內(nèi),且與正方體的同一條棱垂直答案解析為直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，為面面平行的性質(zhì),為公理4的應(yīng)用10.如圖，四面體pabc中,papb,平面pab平面abc，abc90,ac8，bc6，則pc_.答案7解析取ab的中點(diǎn)d，連接pd,papb，pdab，平面pab平面abc，pd平面abc.連接dc，則pdc為直角三角形，在rta

15、bc中,ab2，在rtdbc中，dc，pd.pc7.三、解答題11如圖，在四棱錐p。abcd中，平面pad平面abcd,abdc，pad是等邊三角形，已知bd2ad8,ab2dc4.設(shè)m是pc上的一點(diǎn)，證明：平面mbd平面pad。證明在abd中,ad4,bd8，ab4，ad2bd2ab2,adbd。又平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad,bd平面abcd，bd平面pad。又bd平面mbd，平面mbd平面pad。12。如圖，在四棱錐p。abcd中,abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分別是cd和pc的中點(diǎn)，求證:（1）pa底面abcd；(2)be

16、平面pad；（3)平面bef平面pcd.證明(1)因?yàn)槠矫鎝ad底面abcd，且pa垂直于這兩個(gè)平面的交線ad,所以pa底面abcd。(2）因?yàn)閍bcd,cd2ab，e為cd的中點(diǎn)，所以abde，且abde。所以四邊形abed為平行四邊形所以bead。又因?yàn)閎e平面pad，ad平面pad,所以be平面pad。(3)因?yàn)閍bad，而且四邊形abed為平行四邊形，所以becd,adcd.由(1)知pa底面abcd,所以apcd.所以cd平面pad.所以cdpd.因?yàn)閑和f分別是cd和pc的中點(diǎn)，所以pdef。所以cdef.又因?yàn)閏dbe，efbee,所以cd平面bef。又cd平面pcd,所以平面b

17、ef平面pcd。13.如圖，在bcd中,bcd90，bccd1，ab平面bcd，adb60，e、f分別是ac、ad上的動(dòng)點(diǎn),且（01)(1)當(dāng)為何值時(shí),平面bef平面abc?（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面bef平面acd?解(1)ab平面bcd,abcd.cdbc且abbcb，cd平面abc。又（01)，不論為何值，恒有efcd，ef平面abc。ef平面bef，不論為何值,恒有平面bef平面abc。(2）由(1）知，beef，又平面bef平面acd，be平面acd,beac。bccd1，bcd90，adb60，bd,abtan 60，ac。由ab2aeac得ae,。故當(dāng)時(shí)，平面bef平面acd.尊敬的讀者：本文由我和我的同事在百忙中收集整編出來(lái)，本文稿在發(fā)布之前我們對(duì)內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有不盡如人意之處，如有疏漏之處請(qǐng)指正，希望本文能為您解開(kāi)疑惑,引發(fā)思考。文中部分文字受到網(wǎng)友的關(guān)懷和支持，在此表示感謝！在往后的日子希望與大家共同進(jìn)步，成長(zhǎng)。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevita