黑龍江省綏化市重點中學(xué)高三第二次模擬考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2015屆高三年級第二次模擬考試數(shù) 學(xué)(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘，其中第卷22題24題為選考題，其它題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項：1. 答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2. 選擇題必須用2b鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3. 請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4. 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準使用涂改液、刮紙刀.第卷一、選擇題（本大題包

2、括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.1. 已知集合，則a. b. c. d. 2. 設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則=a. b. c. d. 3. 已知 ，且，則向量與向量的夾角為a. b. c. d. 4. 已知中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為a. b. 1 c. d. 25. 已知，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是a. b. c. d. 6. 閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序. 若輸出的s為，則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是a. b. c. d. 7. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的

3、體積為a. b. c. d. 8. 在平面直角坐標系中，若滿足，則的最大值是a. 2 b. 8 c. 14 d. 169. 已知直線與拋物線交于兩點，點，若，則a. b. c. d. 0 10. 對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)：(i) 對任意的，恒有；(ii) 當時，總有成立. 則下列四個函數(shù)中不是函數(shù)的個數(shù)是 a. 1 b. 2c. 3d. 411. 已知雙曲線與函數(shù)的圖象交于點，若函數(shù)的圖象在點處的切線過雙曲線左焦點，則雙曲線的離心率是a. b. c. d. 12. 若對，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是a. b. 1 c. 2 d. 第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第

4、13題21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 函數(shù)()的單調(diào)遞增區(qū)間是_. 14. 的展開式中常數(shù)項為_. 15. 已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是_.16. 底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐. 已知同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于同一個球. 已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為r. 設(shè)兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為、，則的值是 . 三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

5、驟）.17. (本小題滿分12分)已知數(shù)列中，其前項的和為，且滿足. 求證：數(shù)列是等差數(shù)列； 證明：當時，. 18. (本小題滿分12分)如圖，在四棱錐p-abcd中，底面abcd是菱形，dab，pd平面abcd，pd=ad=1，點分別為ab和pd中點. 求證：直線af平面pec ； 求pc與平面pab所成角的正弦值. 19. (本小題滿分12分) 某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進行投籃訓(xùn)練，每人投10次，投中的次數(shù)統(tǒng)計如下表： 學(xué)生1號2號3號4號5號甲班65798乙班48977 從統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，甲、乙兩個班哪個班成績更穩(wěn)定（用數(shù)字特征說明）； 若把上表數(shù)據(jù)作為學(xué)生投

6、籃命中率，規(guī)定兩個班級的1號和2號同學(xué)分別代表自己的班級參加比賽，每人投籃一次，將甲、乙兩個班兩名同學(xué)投中的次數(shù)之和分別記作和，試求和的分布列和數(shù)學(xué)期望. 20. (本小題滿分12分)已知橢圓:的上頂點為，且離心率為. 求橢圓的方程； 證明：過橢圓:上一點的切線方程為； 從圓上一點向橢圓引兩條切線，切點分別為，當直線分別與軸、軸交于、兩點時，求的最小值. 21. (本小題滿分12分)定義在上的函數(shù)滿足，. 求函數(shù)的解析式； 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 如果、滿足，那么稱比更靠近. 當且時，試比較和哪個更靠近，并說明理由. 請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 做

7、答時，用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標號涂黑. 22. (本小題滿分10分) 選修41：幾何證明選講如圖所示，為圓的直徑，為圓的切線，為切點. 求證：； 若圓的半徑為2，求的值.23. (本小題滿分10分) 選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. 以原點為極點、軸正半軸為極軸建立極坐標系，求圓的極坐標方程； 已知，圓上任意一點，求面積的最大值.24. (本小題滿分10分) 選修45：不等式選講 已知都是正數(shù)，且，求證：； 已知都是正數(shù)，求證：.數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分參考一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1-5 cabcb6-10 cd

8、cba11-12ad簡答與提示：1. 【命題意圖】本小題主要考查集合的計算，是一道常規(guī)問題.【試題解析】c，故選c. 2. 【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算，特別是復(fù)數(shù)的除法和平方運算，對考生的運算求解能力有一定要求.【試題解析】a，故選a. 3. 【命題意圖】本小題主要考查平面向量的的位置關(guān)系以及平面向量的數(shù)量積運算，特別突出對平面向量運算律的考查，另外本題也對考生的分析判斷能力進行考查.【試題解析】b，向量與向量的夾角為，故選b. 4. 【命題意圖】本小題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積的求法，對學(xué)生的推理論證能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】c，又，的

9、面積為，故選c. 5. 【命題意圖】本小題通過一次函數(shù)的單調(diào)性和系數(shù)的關(guān)系，考查古典概型的理解和應(yīng)用，是一道綜合創(chuàng)新題.【試題解析】b為增函數(shù)，0，又，又，函數(shù)為增函數(shù)的概率是，故選b. 6. 【命題意圖】本小題主要通過程序框圖的理解考查學(xué)生的邏輯推理能力，同時考查學(xué)生對算法思想的理解與剖析.【試題解析】c，因此應(yīng)選擇時滿足，而時不滿足的條件，故選c. 7. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何中的三視圖問題，并且對考生的空間想象能力及利用三視圖還原幾何體的能力進行考查，同時考查簡單幾何體的體積公式.【試題解析】d由三視圖可知，該多面體是一個四棱錐，且由一個頂點出發(fā)的三條側(cè)棱兩兩垂直，長度都為4

10、， 其體積為，故選d. 8. 【命題意圖】本小題主要考查二元一次不等式組所表示的可行域的獲取以及目標函數(shù)的幾何意義，是線性規(guī)劃的一種簡單應(yīng)用，對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】c根據(jù)線性規(guī)劃的方法可求得最優(yōu)解為點，此時的值等于14，故選c. 9. 【命題意圖】本小題主要考查拋物線的定義與基本性質(zhì)及過焦點的弦的性質(zhì). 本題不但對考生的運算求解能力、推理論證能力有較高要求，而且對考生的化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想也有較高要求.【試題解析】b，且，解得，故選b. 10. 【命題意圖】本小題通過函數(shù)的運算與不等式的比較，另外也可以利用函數(shù)在定義域內(nèi)的變化率、函數(shù)圖像的基本形式來獲得答案，本題對學(xué)生

11、的運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想提出一定要求.【試題解析】a(i)在上，四個函數(shù)都滿足；(ii)；對于，滿足；對于，不滿足.對于，而，滿足；對于，滿足；故選a. 11. 【命題意圖】本小題主要考查過曲線外一點作曲線切線的基本方法，結(jié)合雙曲線的標準方程與離心率，對考生的運算求解能力和推理論證能力提出較高要求.【試題解析】a設(shè)，切線的斜率為，又在點處的切線過雙曲線左焦點，解得，因此，故雙曲線的離心率是，故選a；12. 【命題意圖】本小題主要考查基本不等式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求取函數(shù)最值的基本方法，本題作為選擇的壓軸題，屬于較難題，對學(xué)生的運算求解能力和推理論證能力提出一定要求.【試題解析】d因為，再由

12、可有，令，則，可得，且在上，在上，故的最小值為，于是即，故選d. 二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 14. 15. 16. 簡答與提示：13. 【命題意圖】本小題主要考查輔助角公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求取，屬于基本試題.【試題解析】，函數(shù)的增區(qū)間為，又，增區(qū)間為. 14. 【命題意圖】本小題是二項式定理的簡單應(yīng)用，求取二項展開式中某項的系數(shù)是考生的一項基本技能.【試題解析】的通項為，令，故展開式中常數(shù)項為；15. 【命題意圖】本小題主要考偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖像的平移變換等，同時對考生的數(shù)形結(jié)合思想. 【試題解析】由已知或，解集是. 16. 【命題意圖】本小題

13、通過對球的內(nèi)接幾何體的特征考查三角函數(shù)的計算，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題. 【試題解析】 如圖，右側(cè)為該球過sa和球心的截面，由于三角形abc為正三角形，所以d為bc中點，且，故. 設(shè)，則點p為三角形abc的重心，且點p在ad上，因此三、解答題17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查有關(guān)于數(shù)列的基礎(chǔ)知識，其中包括數(shù)列基本量的求取，數(shù)列前項和的求取，以及利用放縮法解決數(shù)列不等式問題，雖存在著一定的難度，但是與高考考查目標相配合，屬于一道中檔題，對考生的運算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力提出一定要求.【試題解析】解：（1）

14、當時，從而構(gòu)成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.(6分)（2）由（1）可知，當時，從而.(12分)18. 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的平行關(guān)系、線面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用. 本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求. 【試題解析】解：（1）證明：作fmcd交pc于m. 點f為pd中點，. ，aemf為平行四邊形，afem，直線af平面pec. (6分)（2），如圖所示，建立坐標系，則 p(0，0，1)，c(0，1，0)，e(，0，0)，a(，0)，.設(shè)平面pab的一個法向量為.，取，則，平面pab的一個法向量為.，設(shè)向量，pc平面pab所

15、成角的正弦值為. (12分)19. 【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，其中包括方差的求法、基本概率的應(yīng)用以及離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求法. 本題主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.【試題解析】解：（1）兩個班數(shù)據(jù)的平均值都為7，甲班的方差，乙班的方差，因為，甲班的方差較小，所以甲班的成績比較穩(wěn)定.4分（2）可能取0，1，2，所以分布列為：012p6分數(shù)學(xué)期望8分可能取0，1，2，所以分布列為：012p10分數(shù)學(xué)期望. 12分20. 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓標準方程的求取，直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及圓錐曲線中最值的求取. 本小題對考生的化歸

16、與轉(zhuǎn)化思想、運算求解能力都有很高要求.【試題解析】解：（1）， ，橢圓方程為. 2分（2）法一：橢圓:，當時，故，當時，. 4分切線方程為，. 6分同理可證，時，切線方程也為. 當時，切線方程為滿足. 綜上，過橢圓上一點的切線方程為. 7分法二：. 當斜率存在時，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程：可得，化簡可得：，由題可得：， 4分化簡可得：， 式只有一個根，記作，為切點的橫坐標，切點的縱坐標，所以，所以，所以切線方程為：，化簡得：. 6分當切線斜率不存在時，切線為，也符合方程，綜上：在點處的切線方程為. 7分（3）設(shè)點為圓上一點，是橢圓的切線，切點，過點的橢圓的切線為，過點的橢圓的切線為. 兩切線都過

17、點，. 切點弦所在直線方程為. 9分，. 當且僅當，即時取等，的最小值為. 12分21. 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)的單調(diào)性等情況. 本小題主要考查考生分類討論思想的應(yīng)用，對考生的邏輯推理能力與運算求解有較高要求.【試題解析】解：（1），所以，即. 又，所以，所以. 4分（2），.5分當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；6分當時，由得，時， 單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增. 綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 8分（3）解：設(shè)，在上為減函數(shù)，又，當時，當時，.，在上為增函數(shù)，又，時，在上為增函數(shù)，.當時，設(shè)，則，在上為減函數(shù)，比更靠近.當時，設(shè)，則，在時為減函數(shù)，在時為減函數(shù)，比更靠近.綜上：在時，比更靠近. 12分22. 【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到圓的切線的性質(zhì)，三角形相似等內(nèi)容. 本小題重點考查考生對平面幾何推理能力. 【試題解析】解： (1) 連接是圓的兩條切線， 又為直徑，.5分(2)由，. 10分23. 【命題意圖】本小題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互