數(shù)學歸納法的教法再探——從知識的產(chǎn)生過程中詮釋遞推思想

1、數(shù)學歸納法的教法再探從知識的產(chǎn)生過程中詮釋遞推思想 數(shù)學歸納法作為數(shù)學的一種方法，蘊涵了非常深刻的數(shù)學思想，而我們在教學中往往將它形式化.但高中數(shù)學課程標準明確指出：“在數(shù)學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只局限于形式化的表達，要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識，否則會將生動活潑的數(shù)學思維活動淹沒在形式化的海洋里數(shù)學的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的.因此，高中數(shù)學課程應該反璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質(zhì)數(shù)學課程要講究邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數(shù)學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法.”所以沒有對數(shù)學本質(zhì)的

2、理解，就不可能有應用和創(chuàng)新這就要求我們在教學中必須闡明問題產(chǎn)生的背景、抽象的過程以及結果的表述，體現(xiàn)其內(nèi)在本質(zhì)，決不能做表面文章 事實告訴我們，學生學習數(shù)學歸納法的主要困難有兩點：其一是對方法本身不理解，第一步的意義和第二步的本質(zhì)分別是什么？其二是由歸納假設成立推導成立時，變形過程有困難.老師為了解釋兩個步驟的必要性， 常見的教學方法往往是舉“多米諾”骨牌的游戲，由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推倒第一塊骨牌，第二塊就會自己倒下，接著第三塊就會倒下，第四塊也會倒下，如此傳遞下去，所有的骨牌都會倒下.老師提出問題：要使塊多米諾骨牌全體依次倒下，須滿足什么條件？最后通過討論得出結論：第一塊要倒下.

3、當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下.老師把這兩個條件遷移到具體的數(shù)學問題中，引出數(shù)學歸納法證題的步驟，最后讓學生套用這個模式解題.雖然多米諾骨牌這個例子學生確實比較容易理解，但無論你如何解釋，這只是對數(shù)學歸納法思想的一個直觀認識，它決不能替代其豐富的理性內(nèi)涵. 數(shù)學教學是思維過程的教學，若把現(xiàn)成的結論直接拋給學生，好象課堂密度增大了，但事實上，由于學生缺乏思考，很難在頭腦中形成一個有效的認知結構，于是學生對它的掌握僅僅停留在被稱作“表象”的水平上，即沒有真正掌握. 人教版普通高中課程標準實驗教科書指出數(shù)學方法與數(shù)學思想的起源都是自然的，如果感到某個數(shù)學思想不自然，那么只要想一下它的形成過程，就

4、會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物本著這樣的理念，就要求在教學過程中讓學生學到的不僅僅是形式和抽象的理論，而是讓數(shù)學歸納法的思想真正走入學生的內(nèi)心世界，我是這樣呈現(xiàn)它的：（）設置障礙，激發(fā)學生自主探索的欲望在這一環(huán)節(jié)問題的選擇很重要，如果選能用其它方法解決的問題，就很難激起學生學習數(shù)學歸納法的興趣于是我選了這樣一個用其它方法證明比較困難的題目：“證明：當?shù)囊磺凶匀粩?shù)時都有成立”，讓學生在憤悱狀態(tài)中學習，形成一個欲罷不能的追求目標從而激發(fā)學生自主探索的欲望學生互相討論了片刻覺得無從著手，這時我啟發(fā)他們從特殊值入手， 來驗證時，原不等式為成立時，原不等式為，通過計算成立時，原不等式為，通過計

5、算成立時，原不等式為，通過計算成立時，原不等式為 （二）通過比較，引出遞推思想（學生竊竊私語）覺得計算太繁了，此時我把握時機引導學生怎樣由繁化簡呢？激發(fā)了學生的學習興趣學生通過觀察比較時的兩個不等式的左邊，不難發(fā)現(xiàn)都有這個項，自然就想到利用“”來證明“”這個不等式，（由于學生已掌握了放縮法，于是此問題引發(fā)了他們探索的興趣和熱情），馬上有學生講“可以，因為.”那時怎么證呢？（學生自己動手操作），接著下面有學生說難道我們一個一個驗證？馬上又有人說“這驗證得完啊，有無限多個自然數(shù)呢”（這時學生對這個難題產(chǎn)生了強烈的求知欲望和高漲的學習熱情，學生覺得那怎么辦呢？）對，很好！驗證過程是無限的，但我們觀察

6、一下上面的過程就會發(fā)現(xiàn)：時結論成立推出時結論也成立，時結論成立也可以推出時結論成立，而且推導方法是一樣的，此時學生就想到能否把這個過程一般化，由時結論成立推出時結論也成立呢？這樣的教學設計就給學生的自主探索留下了充分的空間（三）從特殊到一般，引出數(shù)學歸納法同學們分組討論得出 “可以，因為，所以接著要求學生對時不通過計算，用這種推導方法推出結論成立由以上過程可以發(fā)現(xiàn)時結論成立時結論成立 時結論成立時結論成立時結論成立，而且推導方法都是一樣的問學生怎樣把這件事情敘述清楚？（四）總結歸納，得出數(shù)學歸納法證題的步驟第一步應該做什么？有學生回答:“假設時，不等式成立，即，再證明時結論也成立”這樣證明對嗎

7、？ 根據(jù)這位同學的想法那對（或）成立能不能依靠前一個式子成立的結果呢？顯然不能，所以必須獨立驗證，于是第一步應驗證（或）成立下面請同學們把證明過程寫完整教師指出這種證明方法叫做數(shù)學歸納法，并指出數(shù)學歸納法中的遞推思想在我們的身邊到處可見，例如多米諾骨牌的游戲，也可以請學生舉一些例子；最后請學生寫出用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題步驟課后反思：首先，通過這樣的教學過程，一方面使學生體會到了在問題的探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考察一些特例，通過對這些特例的不完全歸納形成猜想，然后再試圖去證明或否定這種猜想的歸納推理方法，這對提高學生的數(shù)學能力十分重要這里有兩處歸納：由“時結論成立時結論成

8、立”歸納出一般的“假設時結論成立，則時結論也成立”；由“時結論成立時結論成立”的推導方法，歸納出每一步的推導方法都與它一樣，如果學生對證明時的結論成立有一定難度時，可以探究、模仿時的證明方法，這樣上面的困難二就可以解決了另一方面，也讓學生真正認識到了數(shù)學歸納法的兩個步驟的實質(zhì)：第一步驗證的意義是歸納假設的基礎（沒有這一步的驗證，第二步的假設就失去了支撐）；第二步的實質(zhì)則是證明題目本身所蘊涵的數(shù)學關系的傳遞性（或稱遞推性），由于的任意性，從而保證了這種數(shù)學關系的“永恒”性其次，在本設計中對數(shù)學歸納法思想的呈現(xiàn)注意了以下幾點：（1）注意了反映數(shù)學發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認知規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特

9、殊到一般的規(guī)律（2）為引導學生自主探索留了比較充分的空間，這樣有利于學生經(jīng)歷觀察、猜測、推理、歸納、交流、反思等過程（3）有人說，一節(jié)好課只有一個衡量標準：思維含金量要使含金量提高，提出好的問題是關鍵，好問題的背后必然蘊含著高質(zhì)量的思維，而且好的問題必然會引發(fā)學生的獨立思考，并在獨立思考的基礎上產(chǎn)生思維的碰撞蘇霍姆林斯基說在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是發(fā)現(xiàn)者，研究者，探索者，而在學生的精神世界中這種需要特別強烈在這個教學設計中，提出了一個用其它方法解決比較困難的好問題，從而激發(fā)了學生自主探索的欲望，并在獨立思考的基礎上進行合作交流，在思考、探索和交流的過程中獲得對數(shù)學較為全面的體驗和理解（4）在這一教學設計中，最核心的就是拉長學生思維爬坡的過程，使得思維在更加復雜的情境中得到細膩的省察、從容的舒展、腳踏實地的進步從具體實例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學思想的發(fā)生、發(fā)展過程，使學生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈并讓學生參與到探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學歸納法原理的過程中來，這樣不僅使學生真正理解了數(shù)學歸納法的原理，而且培養(yǎng)了學生的自主探索精神、創(chuàng)新意識和獨立實踐的能力在教學過程中適度的形式化是必要的，但是凸現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)還要依靠數(shù)學本身，我們不必急于得出形式化，而應努力追求水到渠成的教學效果只有這樣，才能增長學生學力