北京市第二十四中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：《橢圓的幾何性質(zhì)》（新人教A版選修11）

1、北京市第二十四中學(xué)教案課題：橢圓的簡單幾何性質(zhì) 教材分析：解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。如果說根據(jù)曲線的條件求出方程是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究它的幾何性質(zhì)、畫圖就是解析幾何的目的。本節(jié)課通過對(duì)橢圓方程的討論，使學(xué)生了解如何用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)。正如引言中提出的，圓錐曲線的性質(zhì)可以從純幾何的角度討論，但需要較多的知識(shí)準(zhǔn)備，而且要有較強(qiáng)的邏輯推理能力。用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)，將復(fù)雜的幾何關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)曲線方程特點(diǎn)的考察。代數(shù)方法可以程序化的進(jìn)行運(yùn)算，用坐標(biāo)法研究曲線的性質(zhì)有較強(qiáng)的規(guī)律性。本節(jié)內(nèi)

2、容為系統(tǒng)地按照方程來研究曲線的幾何性質(zhì)提供了一個(gè)范例，這也對(duì)將來研究雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)有著重要的指導(dǎo)作用。學(xué)情分析：學(xué)生在高一必修階段，學(xué)習(xí)了必修2中的直線與方程，圓與方程，已接觸過研究解析幾何問題的主要方法坐標(biāo)法，本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，探究橢圓的簡單性質(zhì)的第一節(jié)課。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能： 掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等簡單幾何性質(zhì)；掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c,e的幾何意義，以及a,b,c,e之間的相互關(guān)系初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。過程與方法：通過利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法的初步嘗試，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對(duì)研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用，更

3、要重視對(duì)研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀： 通過多媒體展示，讓學(xué)生體會(huì)橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣；通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣； 使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)與形的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)與形的辨證統(tǒng)一。教學(xué)重點(diǎn)：探究并初步掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)：探究并初步掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)；教學(xué)方法： (1)教學(xué)策略：本節(jié)課依據(jù)“觀察，歸納，猜想，證明”及“從特殊到一般”的

4、思想方法，先由學(xué)生畫圖、折紙，觀察去發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何性質(zhì)，接著引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法進(jìn)行推證。本設(shè)計(jì)力求更好地符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，加強(qiáng)知識(shí)發(fā)生過程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力與邏輯思維能力.(2)學(xué)法指導(dǎo)：通過創(chuàng)設(shè)問題情景、學(xué)生自主探究、展示學(xué)生的研究過程來激勵(lì)學(xué)生的探索勇氣。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和學(xué)生的情感發(fā)展來調(diào)整整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的梯度與層次，逐步形成敢于發(fā)現(xiàn)、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度。教學(xué)過程：教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖引入創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入課題：（多媒體展示圖片國家大劇院）為什么設(shè)計(jì)師選擇這種橢圓形設(shè)計(jì)呢？橢圓到底美在何處？它具有哪些特質(zhì)？這就是我們今天要研究的課題橢圓的簡單幾何性質(zhì)觀察思考激起探究

5、欲望創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)通過多媒體展示，讓學(xué)生體會(huì)橢圓曲線的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣。開門見山，激起學(xué)生對(duì)橢圓性質(zhì)探究的欲望。提出問題探究活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們拿出課前剪好的橢圓紙片，在小組內(nèi)交流橢圓紙片的制作過程，從中發(fā)現(xiàn)橢圓有哪些性質(zhì)？問1.你能找到橢圓紙片的中心嗎？問2.給你一張矩形紙能不能剪出比矩形紙大的橢圓？問3.有誰剪的橢圓紙板是不對(duì)稱的？問4. 同學(xué)們彼此看看各自的橢圓紙片的扁平程度一樣嗎?問5. 能不能說任意橢圓都有上述性質(zhì)呢用什么表示任意一個(gè)橢圓？組內(nèi)交流、發(fā)現(xiàn)探究活動(dòng)，提出問題，明確學(xué)習(xí)方向引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓（幾何直觀），讓學(xué)生先從整體上把握幾何圖形，這就是范圍、對(duì)稱性

6、、扁平程度等新課程強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去歸納，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)過程中的主體地位。解決問題下面我們就利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)。1 范圍：橢圓位于直線和所圍成的矩形框里-axa, -byb2對(duì)稱性：橢圓關(guān)于 x軸、y軸和原點(diǎn)都對(duì)稱.坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心。3.頂點(diǎn)：橢圓和它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)其中a1（-a,0）,a2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)；b1（0,-b）,b2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)線段a1 a2和b1 b2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分

7、別為2a和2b，a和b分別叫橢圓的長半軸長和短半軸長4離心率：橢圓的焦距與長軸長的比，叫做橢圓的離心率說明因?yàn)樗詄越接近，則c越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于，c越接近于，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳Ax2+y2=a2（看來橢圓的扁平程度是由離心率的大小決定的）研究曲線的幾何性質(zhì)能從整體上把握曲線的形狀、大小和位置。觀察、思考、交流組內(nèi)交流代表發(fā)言新課題的問題解決在探究活動(dòng)中，由觀察、猜想、歸納出的橢圓的一些簡單幾何性質(zhì)，利用方程的各種特征研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，本節(jié)課的難點(diǎn)是從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征中抽象出橢圓的

8、幾何性質(zhì)。把從具體實(shí)物中的發(fā)現(xiàn)上升到理論證明，由感性認(rèn)識(shí)到理性思考，這是進(jìn)行科學(xué)研究的必經(jīng)之路，同時(shí)也體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)利用代數(shù)方法解決幾何問題。應(yīng)用反饋創(chuàng)設(shè)情境能力提升應(yīng)用反饋例求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)。例2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1) （1）經(jīng)過點(diǎn)p(3, 0)、q(0, 2); (2) （2）長軸長是20，離心率是（請(qǐng)同桌的同學(xué)互相出題評(píng)判:一名同學(xué)寫一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，另一名同學(xué)寫出它的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，長軸長、短軸長和焦距）（類比得出焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的簡單幾何性質(zhì) ）再思考：前面提到的國家大劇院，舞臺(tái)安在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處，貴賓席安在另一個(gè)焦點(diǎn)處，這是為什么？課堂練習(xí)；見學(xué)案師生互動(dòng)聯(lián)系后實(shí)物投影展示深入理解，鞏固應(yīng)用知識(shí)只有在應(yīng)用中才能得到升華，才能加深對(duì)知識(shí)的理解，才能達(dá)到熟練掌握的程度。例1是為鞏固橢圓的簡單幾何性質(zhì)設(shè)置；例2是由橢圓曲線的幾何性質(zhì)特征，定位定量得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由例1、例2的設(shè)置進(jìn)一步明確解析幾何研究的主要問題（1）據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過曲線方程，研究曲線的性質(zhì)?；ブ鷮W(xué)習(xí)、協(xié)同研究，制作焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的簡單幾何性質(zhì)的表