向量知識(shí)點(diǎn)歸納與常見題型總結(jié)1

1、10向量知識(shí)點(diǎn)歸納與常見題型總結(jié)高三理科數(shù)學(xué)組全體成員2006 年11月、向量知識(shí)點(diǎn)歸納1 .與向量概念有關(guān)的問題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量 （稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量 可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號(hào)“ a b ”錯(cuò)了，而| a | | b |才有意義.有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無關(guān).由于一切向量有其共性 （大小和方向），故我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量（既自由向量）.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是 向量相等的必要條件.單位向量是模為 1的向量，其坐標(biāo)表示為（

2、X,y）,其中x、y滿足x2 y2 = 1（可用（cos ,sin ） （0w 2兀）表示）.特別：表示與AB同向的單位向量。uuu uuur例如：向量(-uum-uuu-)(|AB| | AC|AB|0）所在直線過 ABC的也工（是BAC的角平分線所在直線）；uuu uurr例1、。是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A日C不共線，P滿足OP OA則點(diǎn)P的軌跡一定通過三角形的內(nèi)心。uur uuurAB AC(-uuu- -uuur)|AB| |AC0,).（變式）已知非零向量AB與AC滿足（零+ 一|A B| |A C|AC 一 AB) - BC =0 且7AC|AC|1，=2 ,則 MBC 為()A.三邊均

3、不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形（06陜西）0的長(zhǎng)度為0,是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù)0僅僅是一個(gè)無方向的實(shí)數(shù).有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段（7）相反向量（長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。）2 .與向量運(yùn)算有關(guān)的問題向量與向量相加，其和仍是一個(gè)向量.（三角形法則和平行四邊形法則）當(dāng)兩個(gè)向量a和b不共線時(shí)，a b的方向與a、b都不相同，且|a b|v|a|+|b|； 當(dāng)兩個(gè)向量a和b共線且同向時(shí)，a b、a、b的方向都相同，且|a b向 向； 當(dāng)向量a和b反向時(shí)，若|a|b|, a b與a方向相同，且| a b

4、 |=| a |-| b | ；-h,= ,F f=若 |a|v|b| 時(shí)，a b與 b 方向相同，且 | a + b |=| b |-| a |.向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算.三角形法則適用于首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用于共起點(diǎn)的向量求和。AB BC AC ; AB AC CB例2： P是三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若 CB PA PB, R,則P一定在()A、ABC內(nèi)部B、AC邊所在的直線上 C、AB邊上D、BC邊上 2例 3、若 AB BC AB 0,則 ABC是：A.Rt B.銳角 C.鈍角 D.等腰 RtA特別的：H b日ib，例4、已知向量a

5、(cos ,sin ),b (J3, 1),求12a b|的最大值。分析：通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)(這里是三角)的最值問題，是通法。解：原式=|(2cos .3,2sin 1) | (2cos 3)2 (2sin1)2=,?8 8sin( )。當(dāng)且僅當(dāng)2k5-(k Z)時(shí)，|2a b| 有最大值 4.,36評(píng)析：其實(shí)此類問題運(yùn)用一個(gè)重要的向量不等式“|同 |b| |a b| |a| |b|就顯得簡(jiǎn)潔明快。原式|2a| |b|=2|a| |b| 2 1 2 4,但要注意等號(hào)成立的條件(向量同向)。圍成一周(首尾相接)的向量(有向線段表示)的和為零向量BC CD DA 0.( DABCD43

6、) 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(bw0 ) , a /R),那么 a / b ；如，AB BC CA 0,(在 ABC中)AB 判定兩向量共線的注意事項(xiàng)：共線向量定理b存在實(shí)數(shù)入使a=入b.-* +F-如果兩個(gè)非零向量 a , b,使a = xb (入e* F反之，如a / b ,且b w0,那么a =入b .這里在“反之”中，沒有指出a是非零向量，其原因?yàn)閍=0時(shí)，與入b的方向規(guī)定為平行數(shù)量積的8個(gè)重要性質(zhì)兩向量的夾角為0w w兀.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，是a

7、與b的夾角，則e a a e | a | cos .( | e | 1)F -F-F -* a b a b 0 ( . =90 , cos 0)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中ab=0a=0或b=0.而在向量運(yùn)算中 a b = 0 a = 0或b=0是錯(cuò)誤的,故a 0或b 0是ab=0的充分而不必要條件.當(dāng) a與 b 同向時(shí) a b = |a | | b |( 二0,cos =1);當(dāng)a與b反向時(shí)，a b=-|a| | b |(二兀，cos =-1),即a/ b的另一個(gè)充要條件是一 r rr r|a b| |a|b|.當(dāng) 為銳角時(shí)，a?b0,且a、b不同向，a b 0是 為銳角的必要 r rr r非充分條件；當(dāng)

8、為鈍角時(shí)，a ?b0內(nèi)分；0,b0),C(-1,h), E(x 1,y 1)2又 3 BEX1V125 2h T又 E、C兩點(diǎn)在雙曲線上,h2-4a b，解答:425a24h225b21,ab2a2=l,b2=6,雙曲線的方程為：7x2-Iy2=1.776評(píng)析：解析幾何與向量的綜合，主要表現(xiàn)為用向量的語(yǔ)言來表述題意(如共線，垂直常表現(xiàn)為向量等式，有時(shí)也涉及向量的坐標(biāo)形式)，其實(shí)其本質(zhì)內(nèi)容仍是本章節(jié)的知識(shí)的整合。本題中關(guān)鍵在理解兩個(gè)向量等式(也即“向量的投影”)的幾何意義，我們只要具備數(shù)學(xué)語(yǔ)言的“翻譯”能力和簡(jiǎn)單的向量坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)就可以了。例21 .設(shè)x, y R ,且x分析：觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征,解決，不失為一種別致的想法。,11y 1,求證：(1 -)(1 -) x y可以聯(lián)想向量數(shù)量積的性質(zhì)“a b | a |b | ,構(gòu)造向量證：設(shè)a (1,),b (1,1-)，則 a b 1 ，而 | a |xy|b|(111由a b |a|b|得,(a b)2 |a|2|b|2, (1 -)(1 -) (1 xyJxy)21)。y)29-y評(píng)析：根據(jù)題目所含代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)造