向量組的線性相關性

1、2 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 n2211 n kkk 稱為向量組 A 的一個線性組合 線性組合：線性組合： 給定向量組 A： 對于任何一組實數(shù) 表達式 n21 ， n2211 n n kkk, 21 線性表示線性表示：給定向量組 A： 和向量 ，如果存 在一組實數(shù) 1, 2, , n ，使得 n21 ， 則稱向量 是向量組 A 的線性組合，這時稱向量 能由向量 組A 線性表示 回回 顧顧 ( )( ,)r Ar A 向量向量 能由能由 向量組向量組 A 線性表示線性表示 線性方程組線性方程組 Ax = 有解有解 P.110 定理定理4.1 的結論：的結論： 12n 000由于零向量

2、可由向量組由于零向量可由向量組A線性表示：線性表示：0 ( )r An n n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax =0 有非零解有非零解 ( )r An n n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax =0 只有零解只有零解 向量組的線性相關性向量組的線性相關性 定義：定義：給定向量組給定向量組 A： ，如果存在，如果存在不全為零不全為零的的 實數(shù)實數(shù) k1, k2, , kn ，使得，使得 （零向量）（零向量） 則稱向量組則稱向量組 A 是是線性相關線性相關的，否則稱它是的，否則稱它是線性無關線性無關的的 12n , 1122nn kkk 1122nn kkk 當且僅當當且僅當k1 = k

3、2 = = kn =0 時，才有時，才有 線性無關：線性無關： 向量組線性相關性的判定定理向量組線性相關性的判定定理 m維向量組維向量組 A： 線性相關線性相關 存在存在不全為零不全為零的實數(shù)的實數(shù) k1, k2, , kn ，使得，使得 （零向量）（零向量） n 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解有非零解 矩陣矩陣A = 的秩小于向量的個數(shù)的秩小于向量的個數(shù) n 即：即：r(A)n 12n , 1122nn kkk 12n 向量組線性無關性的判定定理向量組線性無關性的判定定理 m維向量組維向量組 A： 線性無關線性無關 n 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = 0

4、 只有只有零解零解 矩陣矩陣A = 的秩等于向量的個數(shù)的秩等于向量的個數(shù) n 即：即：r(A)=n 12n , 12n 如果如果 （零向量）（零向量），則必有，則必有 k1 = k2 = = kn =0 1122nn kkk 推論推論 已知m維向量組 A： ,矩陣 12n , (1)若向量的維數(shù)少于向量的個數(shù)，即mn，則 向量組A線性相關 (2)若向量的維數(shù)等于向量的個數(shù)，即m=n，則 12n ,A 0 0 A A n維向量組A線性相關 n維向量組A線性無關 特別地， n + 1個 n 維向量一定線性相關 例1、已知向量組 21 -3rr 41 -5rr 2 1 5 r 34 11 , 36

5、rr 32 -rr 42 -rr ( )23r An 123 , 向量組 線性相關 例2、已知向量組 21 -3rr 41 -rr 42 +2rr 23 -3rr ( )3r An 向量組 線性無關 123 , 一些特殊向量組的線性相關性一些特殊向量組的線性相關性 1、單個向量的向量組 (1)若 其次線性方程組 有非零解k=1 單個零向量線性相關 k (2)若 其次線性方程組 僅有零解k=0 單個非零向量線性無關 k 2、兩個向量的向量組 12 , (1)若 線性相關，則存在不全為零的數(shù) 使得 1122 kk 12 ,kk 12 , 1 0k 2 12 1 k k 不妨令 ，可得： 對應分量成

6、比例的兩個向量線性相關 (2)若 對應分量不成比例，則齊次線性方程組 不可能有非零解，否則，假設 可得： (成比例，矛盾) 1122 kk 12 , 1 0k 2 12 1 k k 3、含有零向量的向量組 1n , l 已知向量組A: ，若向量 l 齊次線性方程組 有非零解 11llnn kkk 含有零向量的向量組線性相關 對應分量不成比例的兩個向量線性無關 1 0 1 0 l n k k k 由于齊次線性方程組 1122nn kkk即 12 1000 0100 0010 n kkk 僅有零解 n維基本單位向量組線性無關 4、n維基本單位向量組 12n , 1 1 0 0 2 0 1 0 0

7、0 1 n 向量組線性相關性的性質向量組線性相關性的性質 性質1、 1122nn kkk 12n , 僅有零解k1 = k2 = = kn =0 12n , 維向量組 , 12n , ，則向量組 線性無關 , 12n , 低維線性無關 高維線性無關 例3： 性質2、考慮向量組 ，如果部分組 11n , (1) ll ln 1,l 線性相關，則齊次線性方程組 1122ll kkk有非零解 因而，齊次線性方程組 1111nlllln kkkk 也有非零解 所以向量組 也線性相關 11n , ll 部分相關 整體相關，整體無關 部分無關 例4、 分析： 性質3、已知向量組 ，若其中至少有一個向量能表

8、示成其余向量 的線性組合，不妨假設 12n , 12020nn kk 則其次線性方程組 有非零解 1122n 0 n kkk 向量組 線性相關 12n , 反之，若向量組 線性相關 ，則齊次線性方程組有非零解 12n , 即 1012020nn kkk 因為 不全為零，不妨假設 ，則有 10200 , n kkk 10 0k 200 12n 1010 n kk kk 即：至少有一個向量能表示成其余向量的線性組合 向量組線性相關等價于其中至少有一個向量能表示成 其余向量的線性組合 性質4、已知向量組 線性相關，且部分組 線性無關，則向量 一定能由部分組 線性表示 12n , 12n , 12n , 分析： 12n , 向量組 線性相關 1122nn kkkk 12n , ,k kk( 不全為零） 12n , 又因為向量組 線性無關 所以：0k 否則向量組 線性相關 12n , 例5、已知向量組 線性無關，證明向量組 也線性無關 , , , 123 ()()()kkk證明：齊次線性方程組 131223 ()()()