空間直角坐標(biāo)系與向量

1、空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 3.1 3.1 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系 二、二、 向量的概念向量的概念 三、向量的線性運(yùn)算三、向量的線性運(yùn)算 四、向量在軸上的投影四、向量在軸上的投影 五、五、 線性運(yùn)算的幾何意義線性運(yùn)算的幾何意義 六、向量的模與方向余弦六、向量的模與方向余弦 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 x y z 做三條互相垂直的數(shù)軸做三條互相垂直的數(shù)軸, ,組成一個組成一個 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系. . 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)o 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 x軸軸( (橫軸橫軸) ) y軸軸( (縱軸縱軸) ) z 軸軸( (豎軸豎軸)

2、 ) 過空間一定點(diǎn)過空間一定點(diǎn) o, o 坐標(biāo)面坐標(biāo)面 卦限卦限( (八個八個) ) 面xoy 面yoz zox面 三條坐標(biāo)軸符合右手規(guī)則三條坐標(biāo)軸符合右手規(guī)則 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)M 11 有序數(shù)組有序數(shù)組(x, y, z) 特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示: (0,0,0)O原原點(diǎn)點(diǎn) x y z o )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB ( ,0, )C xz 坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P, Q , R, 坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)A, B, C, ),(zyxM . .,的的坐坐標(biāo)標(biāo)稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)

3、Mzyx 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 例例 在在O-xyz坐標(biāo)系中表示以下三個點(diǎn)：坐標(biāo)系中表示以下三個點(diǎn)： M1(1, 2, 3), M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3). M1 x y z O 1 2 3 . 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 x y z O 2 -1 M2 x y z O 1 2 -3 M3 3 . . M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3). 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 向量：既有大小又有方向的量向量：既有大小又有方向的量. 以以A為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段

4、為終點(diǎn)的有向線段. 向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. . 或或|a 單位向量：單位向量：模為模為1 1的向量的向量. . 零向量：零向量：模為模為 0 0 的向量的向量. . （模又稱為長度或范數(shù)）（模又稱為長度或范數(shù)）. A B 向量的表示：向量的表示：或或a AB |AB| a 0 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量 不考慮起點(diǎn)位置的向量. . 相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. . 負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. . a a b a a ab 空間直角坐標(biāo)系與

5、向量空間直角坐標(biāo)系與向量 向徑：向徑： 空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn) 與原點(diǎn)與原點(diǎn) 構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量 OP P x y z o P 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 1. 1. 向量的分量：向量的分量： 把向量把向量 作平行移動，使其起點(diǎn)作平行移動，使其起點(diǎn) 與原點(diǎn)重合。與原點(diǎn)重合。 設(shè)其終點(diǎn)設(shè)其終點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(a1, a2, a3), 則則 稱稱a1, a2, a3為向量為向量 的分量的分量 或坐標(biāo)，或坐標(biāo)， 記為記為 =(a1, a2, a3). a OA a a a x y z o A a1 a2 a3 零向量零向量 0(0,0,0) 空間直角坐標(biāo)系與

6、向量空間直角坐標(biāo)系與向量 2. 2. 向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算 定義定義 設(shè)設(shè) =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), + 稱為加法，稱為加法， k 稱為數(shù)乘稱為數(shù)乘. 加法與數(shù)乘統(tǒng)稱為線性運(yùn)算加法與數(shù)乘統(tǒng)稱為線性運(yùn)算. - = +（- ） = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3). + = (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3), k =(ka1, ka2, ka3 ). = a1 =b1, a2 =b2, a3=b3. 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 3. 3. 線性運(yùn)算滿足的運(yùn)算規(guī)律線性運(yùn)算滿足的運(yùn)算規(guī)律 (1) + = +

7、; (2) ( + ) + = +( + ); (3) + 0 = ; (4) +(- ) = 0 ; (5) 1 = ; (6) k(l ) = (kl) ; (7) k( + ) = k +k ; (8) (k+l) = k +l . 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 例例 化簡化簡 5 3 2 1 5 ab bba 解解 5 3 2 1 5 ab bba 5 (13)11 2 ab . 2 5 2ba 5 3 2 abbba 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 4. 4. 基向量與線性表出基向量與線性表出 )1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1

8、( kji 單位向量單位向量 kji , 稱為基向量稱為基向量. a =(a1, a2, a3) =( (a1, 0,0)+(0)+(0, a2, 0)+(0)+(0, 0, a3) kajaia 321 稱稱 a 可由可由 kji ,線性表出。線性表出。 軸軸上上的的在在稱稱為為向向量量xaia 1 分向量。分向量。 x y z O i j k 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 1. 空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念： , 0 a, 0 b b , a a , b 0() 類似地，可定義向量與一軸的夾角類似地，可定義向量與一軸的夾角. 特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時(shí)

9、，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時(shí)，規(guī)定 它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. b a 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 2. 空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影 u A A 過過點(diǎn)點(diǎn)A作作軸軸u的的垂垂直直 平平面面，交交點(diǎn)點(diǎn) A 即即為為點(diǎn)點(diǎn) A在在軸軸u上上的的投投影影. 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 uo A A B B 3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影 過空間點(diǎn)過空間點(diǎn)A,B作平面與軸作平面與軸 u垂直，垂直， 與軸與軸 u相交于相交于A, B,向量向量 AB 在軸在軸 u 上的投影定義為上的投影定義為 u Prj AB

10、 |AB|, AB與與u同向同向 - |AB|, AB與與u反向反向 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 向量在軸上的投影有以下兩個性質(zhì)：向量在軸上的投影有以下兩個性質(zhì)： u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以(1)(1)向量向量AB在軸在軸 軸與向量的夾角的余弦：軸與向量的夾角的余弦：Pr juAB cos| AB u B B u 證證 ABjuPr ABj u Pr cos|AB B A A 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 由性質(zhì)由性質(zhì)1 1容易看出：容易看出： 投影為負(fù)；投影為負(fù)； 投影為零；投影為零； (4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投

11、影相等； 0)1(, 2 2 )2(, )3(, 2 投影為正；投影為正； u a b c 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 ( 1212 Pr)PrPr. uuu j aaj aj a （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個） 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 利用勾股定理從圖中可得利用勾股定理從圖中可得 2 3 2 2 2 1 |aaak o x y z 1 a 2 a 3 a A 在三個坐標(biāo)軸在三個坐標(biāo)軸 上的投影上的投影. 向量向量OA的坐標(biāo)的坐標(biāo)a1, a2, a3分別是分別是 OA 2 3 2 2 2 1 aaa |OA| 2 3 2 2 2 1 )()()(kak

12、aka |kOA| |k |OA| 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 解解 pnma 34 )853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 例例 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 所以，所以，OAPB是平行四邊形是平行四邊形. . 則則 1111 PrabbaBPjOx 2222 PrabbaBPjOy 故故經(jīng)平行移動后可與經(jīng)平行移動后可與重合重合. .BPOA 故故BPOA /同理：同理：OBAP/ x y O P A B b2 b1 a2 a1 a2+b2 a1+b1 ),(),( 2121 bbOBaaOA 設(shè)設(shè) OP ),( 2211 bab

13、aOBOA 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 1. 1. 平行四邊形法則平行四邊形法則 P A O A A O ,OAOBOP OP 是以是以 OBOA,為邊的平行四邊形的對角線為邊的平行四邊形的對角線. . 平行四邊形法則也可表示為三角形法則平行四邊形法則也可表示為三角形法則 : : ,.OA APOBAPPO BA OAOABOBO B B B A O 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 2. 2. 伸縮變換伸縮變換 ab (1) 0, b a 與與同向；同向； (2) = 0,0 b (3) 0, b 與與 a 反向反向. a a 2 a 2 1 /,0ba a kk ，使

14、使存存在在唯唯一一的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)bka 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 /,0ba a ),(),( 321321 aaakbbb 對應(yīng)坐標(biāo)成比例對應(yīng)坐標(biāo)成比例 3 3 2 2 1 1 a b a b a b 3 321 00a bbb 0, 0 21 bb 例如，例如， 332211 ,kabkabkab ),( 321 kakaka 321 ,aaa 即，即， 33 (0, 0,),(0, 0,)ba對應(yīng)坐標(biāo)是成比例的對應(yīng)坐標(biāo)是成比例的 注意：注意： kk ，使使存存在在唯唯一一的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)bka 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 3 3 2 21 0a b a bb ,

15、0 1 b 再如，再如， (0,1, 2),(0, 4, 8) 對應(yīng)坐標(biāo)是成比例的對應(yīng)坐標(biāo)是成比例的 3 3 2 2 a b a b 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 例例 非零向量單位化非零向量單位化. . 設(shè)向量設(shè)向量, 0a , | 1 a a ea 令令 則則 | | 1 |a a ea 1| | 1 a a .同方向的單位向量同方向的單位向量是與是與 aea 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 例例 證明：三角形的中位線平行于底邊且等于證明：三角形的中位線平行于底邊且等于 底邊的一半底邊的一半. . 證證 設(shè)設(shè)DE是中位線，是中位線， DE = DA + AE 2 1

16、= BC. = BA + AC 2 1 2 1 = (BA + AC) 2 1 A BC E D 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 例例 試用向量方法證明：對角線互相平分的四試用向量方法證明：對角線互相平分的四 邊形必是平行四邊形邊形必是平行四邊形. . 證證 AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD 與與 平行且相等平行且相等, , BC 結(jié)論得證結(jié)論得證. . A B C D M a b 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 內(nèi)部；內(nèi)部；位于位于同向，同向，與與 2121 0PPPPPPP, .,外部外部位于位于反向，反向，與與 2121 0PPPPPPP 注注

17、 1 ., 111 212121 zz z yy y xx x , 2 21 xx x , 2 21 yy y . 2 21 zz z 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 ),(zyxOMr 設(shè)向量設(shè)向量 OMr 222 zyx 222 OROQOP 由勾股定理得由勾股定理得 x o y z M N Q R P r 1.1.向量的模向量的模 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 x y z o 1 M 2 M 1221 M MOMOM 222111 (,)(,)xy zxy z 212121 (,)xxyy zz 222 12212121 .M Mxxyyzz 空間兩點(diǎn)間距離公式空間

18、兩點(diǎn)間距離公式 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 . 2 12 2 1221 yyxxAA 平面兩點(diǎn)間距離公式平面兩點(diǎn)間距離公式 . 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式 是平面上兩點(diǎn)是平面上兩點(diǎn)),(),( 222111 yxAyxA 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 , 2 21 xx x 中點(diǎn)的坐標(biāo)：中點(diǎn)的坐標(biāo)： 2 21 yy y 中點(diǎn)的坐標(biāo)：中點(diǎn)的坐標(biāo)： , 2 21 xx x , 2 21 yy y 2 21 zz z 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 圓的方程：圓的方程： . 2 2 0 2 0 ryyx

19、x . 2 2 0 2 0 2 0 rzzyyxx 球面的方程：球面的方程： 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 解解 2 21M M,14)12()31()47( 222 2 32M M, 6)23()12()75( 222 2 13M M, 6)31()23()54( 222 32M M, 13M M 原結(jié)論成立原結(jié)論成立. . 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 解解 設(shè)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為 ),0 , 0 ,(x 1 PP 2 2 2 32 x ,11 2 x 2 PP 2 2 2 11 x, 2 2 x 1 PP,2 2 PP 11 2 x22 2 x , 1 x所求點(diǎn)為

20、所求點(diǎn)為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 ,0 ,0 .0 x y z o 1 M 2 M 2、向量的方向余弦、向量的方向余弦 非零向量非零向量 與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . a , kajaia 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 2 3 2 2 2 1 1 cos aaa a 2 3 2 2 2 1 2 cos aaa a 2 3 2 2 2 1 3 cos aaa a cos， cos， cos稱為向量稱為向量a 的方向余弦的方向余弦. 由圖示可知由圖示可知 x y z o 2 M 1 M a1 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 1coscoscos 222 方向余弦的性質(zhì)方向余弦的性質(zhì) a e a a (cos, cos,cos ). 特殊地：特殊地： 2 3 2 2 2 1 1 cos aaa a 2 3 2 2 2 1 2 cos aaa a 2 3 2 2 2 1 3 cos aaa a 空間直角坐標(biāo)系與向量空間直角坐標(biāo)系與向量 解解 , 3 , 4 , 2 1 cos , 2 1 cos , 2 2