【公開課課件】人教A版必修五第二章第五節(jié)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、 2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 古羅馬有這么一句諺語: The Room is not built one day! 某建筑隊(duì),由于資金短缺,向某磚廠賒借紅磚蓋 房,可磚廠廠長很風(fēng)趣,提出了這樣一個(gè)條件:在一個(gè) 月（30天）內(nèi),磚廠每天向建筑隊(duì)提供10000塊磚, 為了還本付息,建筑隊(duì)第一天要向廠方返還1塊磚, 第二天返還2塊磚,第三天返還4塊磚,即每天返還的 磚數(shù)是前一天的2倍,請問,假如你是建筑隊(duì)隊(duì)長,你 會(huì)接受這個(gè)條件嗎 ？ 同學(xué)們,根據(jù)以上條件,你能提取 到什么信息? 建立出數(shù)學(xué)模型: 建筑隊(duì)在這 30天內(nèi)向磚 廠賒借與返 還的磚數(shù)分 別記為 、 30 S 30 S 1 ,10000 n

2、 aa 令常數(shù)列其中, 1 ,1,2, n bbq令等比數(shù)列其中 賒借： 返還： 5 30 10000303.0 10 ;S 22829 30 12222 .S 探究探究 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Sa nd 22829 30 12222S 等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和 n a 它能用首項(xiàng)和末項(xiàng)表示,那么對(duì)于 是否也能用 首項(xiàng)和末項(xiàng)表示？ 30 S 如果可以用首項(xiàng)和 末項(xiàng)表示，那我們 該怎么辦呢？ 消去中間項(xiàng) 22829 30 12222S 能否找到一 個(gè)式子與原 式相減能消 去中間項(xiàng)？ 倒序相加法求等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和用了 n a 即 12nn Saaa 11nnn Saaa

3、 兩式相加 而得 n S 對(duì)于式子是否也能用倒序相加法呢？ 2 2 2 3 2 29 2 30 2 22829 30 12222S 232930 30 222222S 由-得, 30 30 12S 即 3010 30 211.0 10 .S 5 303030 3.0 10 ,SSS而顯然比大得多 因此，建筑隊(duì)隊(duì)長最好不要同意這樣的 條件,否則會(huì)虧大的. 兩邊同時(shí)乘以2， 對(duì)于一般的等比數(shù)列我們又將怎樣求得它的前n項(xiàng)和呢? 兩邊同時(shí)乘以 為 q 設(shè) 為等比數(shù)列, 為首項(xiàng), 為公比,它的前n項(xiàng)和 n a 1 aq 221 11111 nn n Saa qa qa qa q 1 (1)1 n n q

4、 Saq 錯(cuò)位相減 231 11111 nn n qSa qa qa qa qa q 4 由- 得 4 分類討論 1q 當(dāng) 時(shí), 1 1 1 n n aq S q 1q當(dāng) 時(shí), 1 . n Sna 1 1 1 n n aq S q 1 (1)1 n n q Saq ？ n a 即 是一個(gè)常數(shù)列 1 ; 1 n aa q q 1 1 n n aa q 等比數(shù)列的 通項(xiàng)公式 1 1 1 , 2 4 8 例1 求等比數(shù)列的前8項(xiàng)的和 1 1 , 2 a 8 8 11 1 22 255 1 256 1 2 S 解 由題意知, 代入公式 1, , ,n a q n S對(duì)公式中的 知三個(gè)能求一 1 1 4

5、 , 1 2 2 q 8n 1 1 1 n n aq S q 練習(xí) 緊接例1,補(bǔ)充兩個(gè)小問 63 64 (1) 此等比數(shù)列的前多少項(xiàng)等于 ? 1 1 116 3 4 , 1 226 4 2 n aqS 因?yàn)?11 1 22 6 3 , 1 6 4 1 2 n 即 所以 6.n 則此數(shù)列的前6項(xiàng)之和等于 63 . 64 （2）求等比數(shù)列 1 1 1 , 2 4 8 第5項(xiàng)到第10項(xiàng)之和? 1 1 11 4 , 1 22 2 aq 因?yàn)?則 4 4 11 1 22 15 , 1 16 1 2 S 所以104 10231563 . 1024161024 SS 方法一: 10 10 11 1 22 1

6、023. 1 1024 1 2 S 方法二: 因?yàn)橛?5 4 51 1 , 2 aa q 所以 1 1 n n aa q 等比數(shù)列的 通項(xiàng)公式 可將原數(shù)列的第5項(xiàng)看做新數(shù)列 的第1項(xiàng),第10項(xiàng)之 和看做第6項(xiàng),新數(shù)列的公比仍為 則原題的所求的即為 新數(shù)列的前6項(xiàng)之和,記作 1 , 2 n b 6. S (構(gòu)造新數(shù)列) 5 1 1 , 2 b 1 . 2 q 56 6 11 1 22 63 . 1 1024 1 2 S 則 1(1 ) 1 n n bq S q 1 11 , 22 aq 方法三: 因?yàn)?所以 (與方法二構(gòu)造數(shù)列) 510 16 11 , 22 bb 1 . 2 q 則 1 11 , 22 aq 10 9 101 1 , 2 aa q 有 5 4 51 1 , 2 aa q 510 6 111 63222 1 1024 1 2 S 1 1 n n aa q S q 課堂小結(jié)課堂小結(jié) (2) 公式推導(dǎo)過程中用到的“錯(cuò)位相減” 方法; (1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 1 1 1 1 ,1 11 1 n n n n aq aa q Sq qq Snaq (3) 公式的運(yùn)用. 1, , ,n a q n S對(duì) 知三個(gè)能求一 遠(yuǎn)望巍巍塔七層,