高等數(shù)學：3-1中值定理新課

1、 第三章第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用微分中值定理與導數(shù)的應用 因為導數(shù)是函數(shù)隨自變量變化的瞬時變因為導數(shù)是函數(shù)隨自變量變化的瞬時變 所以可借助導數(shù)來研究函數(shù)所以可借助導數(shù)來研究函數(shù). 但每一點但每一點 的導數(shù)僅僅是與局部有關的一點的變化性態(tài)的導數(shù)僅僅是與局部有關的一點的變化性態(tài), 要用導數(shù)來研究函數(shù)的全部性態(tài)要用導數(shù)來研究函數(shù)的全部性態(tài),還需架起新還需架起新 的的“橋梁橋梁 ”. 中值定理中值定理(mean value theorem) 化率化率, 指導數(shù)在某個區(qū)間內所具有的一些重指導數(shù)在某個區(qū)間內所具有的一些重 要性質要性質,它們都與自變量區(qū)間內部的某個它們都與自變量區(qū)間內部的某個 中間

2、值有關中間值有關. 第三章 中值定理中值定理 應用應用 研究函數(shù)性質及曲線性態(tài) 利用導數(shù)解決實際問題 羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三節(jié)) 推廣推廣 微分中值定理 與導數(shù)的應用 一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理 第一節(jié) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 微分中值定理微分中值定理 費馬引理費馬引理 費馬費馬 Fermat,(法法) 1601-1665 有定義有定義, 如果如果),( 0 xUx 有有 )()( 0 xfxf ),()( 0 xf

3、xf 或或 . 0)( 0 x f那么那么 證證 對于對于),( 00 xUxx 有有 )()( 00 xfxxf 0 , 0 x若若 x xfxxf )()( 00 , 0 x若若 ; 0 ; 0 )()( 00 xfxxf x xfxxf )()( 00 內內的的某某鄰鄰域域在在點點設設函函數(shù)數(shù))()( 00 xUxxf ,)( 0 存存在在且且x f 微分中值定理微分中值定理 費馬引理費馬引理 有定義有定義, 如果如果 ),( 0 xUx 有有 )()( 0 xfxf ),()( 0 xfxf 或或 . 0)( 0 x f那么那么 0 lim x )( 0 xf )()( 00 xfxf

4、 )( 0 xf 由極限的保號性由極限的保號性 , 0 x若若 x xfxxf )()( 00 , 0 , 0 x若若 . 0 x xfxxf )()( 00 )( 0 xf 0 lim x 函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點(Stationary point),穩(wěn)定點穩(wěn)定點, 臨界點臨界點(Critical point). . 0 內內的的某某鄰鄰域域在在點點設設函函數(shù)數(shù))()( 00 xUxxf ,)( 0 存存在在且且x f 本節(jié)的幾個定理都來源于下面的明顯的本節(jié)的幾個定理都來源于下面的明顯的 AB 在一條光滑的平面曲線段在一條光滑的平面曲線段AB上上, 至少有至少有 與連接此曲線兩端點的弦與連接此曲

5、線兩端點的弦 平行平行. 幾何事實幾何事實: 微分中值定理微分中值定理 一點處的切線一點處的切線 連續(xù)的曲線弧、除端點外處處有不垂直連續(xù)的曲線弧、除端點外處處有不垂直 于于x軸的切線軸的切線 . 有水平的切線有水平的切線 0)( f A B x y O )(xfy 2 1 AB a b C )()(bfaf 羅爾定理羅爾定理 :)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf ;,上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間ba(1) (2);),(內內可可導導在在開開區(qū)區(qū)間間ba (3),()(bfaf 羅爾羅爾 Rolle,(法法)1652-1719 ,),( 內內至至少少存存在在一一點點則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba 使得使得

6、. 0)( f 微分中值定理微分中值定理 一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理 .)(mMb 若若 ),(afM 設設,),( 內內至至少少存存在在一一點點則則在在ba .)(Mf 微分中值定理微分中值定理 證證 .)(mMa 若若 .,)(mMbaxf和和最最小小值值有有最最大大值值在在 .)(Mxf 則則. 0)( x f得得 ),(ba )( f都有都有 羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf ;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1) (2) ;),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba (3) ),()(bfaf ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba

7、使得使得. 0)( f . 0 所以最值不可能同時在端點取得所以最值不可能同時在端點取得. 使使 ,ba 有有),()( fxf 由由費馬引理費馬引理, . 0)( f (1) 定理條件不全具備定理條件不全具備, , 1,0 10, )( x xx xf 1 ,1, |)( xxxf 注注 微分中值定理微分中值定理 結論不一定成立結論不一定成立. . 羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf ;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1) (2) ;),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba (3),()(bfaf ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba 使得使得. 0)

8、( f 1x y O 1 1 y xO 1 y xO 1,0,)( xxxf 使 (2) 定理條件只是充分的.本定理可推廣為 )(xfy 在 ( a , b ) 內可導, 且 )(limxf ax )(limxf bx 在( a , b ) 內至少存在一點,. 0)(f 證明提示證明提示: 設 證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . )(xF axaf , )( bxaxf, )( bxbf , )( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 證明方程015 5 xx , 15)( 5 xxxf . 3) 1 (, 1)0(ff , 0)( 0 xf , ) 1,0( 011 x

9、xx ) 1(5)( 4 xxf),1,0(, 0 x 有且僅有一個小于1 的 正實根 . 證證: 1) 存在性 . 則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且 由介值定理知存在, ) 1 ,0( 0 x使 即方程有小于 1 的正根. 0 x 2) 唯一性 . 假設另有 , 0)( 1 xf使 在以)(xf 10 , xx 為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 , 之間在 10 , xx 至少存在一點, . 0)(f使 但矛盾, 故假設不真! 設 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 結結論論亦亦可可寫寫成成 注注 拉格朗日拉格朗日 Lagrange (法法) 1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中

10、值定理 :)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf (1) (2) ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得 )()()(abfafbf ).( )()( f ab afbf 微分中值定理微分中值定理 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 ;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba ;),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba 幾何解釋幾何解釋: 上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 AB 分析分析 式式變變?yōu)闉閷?()()(abfafbf , 0 )()( )( ab afbf f 定理的結論就轉化為函數(shù)定理的結論就轉化為函數(shù) , )()( )()(x ab a

11、fbf xfxg ,),( 內內有有點點在在區(qū)區(qū)間間ba .AB ,0)(的問題的問題使使 g化為化為 羅爾定理羅爾定理. 微分中值定理微分中值定理 在該點處的切線在該點處的切線 ,C一點一點 平行于弦平行于弦 利用利用逆向思維逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件找出一個滿足羅爾定理條件 的函數(shù)的函數(shù). . )(xfy x y O A B b a C 1 2 D 證證 作作輔助函數(shù)輔助函數(shù), )()( )()(x ab afbf xfxg 使使得得內內至至少少存存在在一一點點故故在在開開區(qū)區(qū)間間,),( ba . 0 )()( )()( ab afbf fg 由此得由此得).()()()( fab

12、afbf )()( 1 )(bafabf ab ag 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.也也成成立立對對ab ,)(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間baxg內內開區(qū)間開區(qū)間),(ba 且且 )(bg 易知易知 ,可導可導 微分中值定理微分中值定理 微分中值定理微分中值定理 Lagrange公式公式可以寫成下面的各種形式可以寫成下面的各種形式: .).)()()()1(時也成立時也成立當當baabfafbf )()()2(xfxxf xxxfy )()3( .的精確表達式的精確表達式增量增量 y 它表達了函數(shù)增量和某點的它表達了函數(shù)增量和某點的 注注 , 未未定定這這里里 ,)(xf .之之間間和和

13、在在xxx 但是增量、但是增量、 這是十分方便的這是十分方便的. 由由(3)式看出式看出, ).10( 導數(shù)之間的直接關系導數(shù)之間的直接關系. 微分中值定理微分中值定理 導數(shù)是個等式關系導數(shù)是個等式關系. 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱 拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式. 有限增量定理有限增量定理. 它表明了函數(shù)在兩點處的函數(shù)值它表明了函數(shù)在兩點處的函數(shù)值 )()()()( fabafbf 的單調性及某些等式與不等式的證明的單調性及某些等式與不等式的證明. 在微分學中占有在微分學中占有 極重要的地位極重要的地位. 與導數(shù)間的關系與導數(shù)間的關系. 今后要

14、多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)尤其可利用它研究函數(shù) 微分中值定理微分中值定理 例例2 2 證明不等式證明不等式 證證 ).( 21 xx ,arctan)(xxf 如果如果f(x)在某區(qū)間上可導在某區(qū)間上可導,要分析函數(shù)要分析函數(shù) 在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關系在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關系, 通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理. 記記 ,arctanarctan 1212 xxxx , 21 上上在在xx 利用微分中值定理利用微分中值定理, 得得 )( 1 1 arctanarctan 12 2 12 xxxx ),( 21 xx , 1 1 1 2 12

15、 arctanarctanxx , 12 xx )()()(abfafbf ),(ba 微分中值定理微分中值定理 推論推論 ,)(上的導數(shù)恒為零上的導數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)Ixf 證證 21, x xI上上任任取取兩兩點點在在區(qū)區(qū)間間 )()()( 1212 xxfxfxf ),()( 21 xfxf 則則 .)(Cxf .)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末Ixf ,由由拉拉氏氏定定理理 有有 由條件由條件,即在區(qū)間即在區(qū)間I中任意兩中任意兩 點的函數(shù)值都相等點的函數(shù)值都相等, 所以所以, ),( 21 xx 0 )( 21 xx 微分中值定理微分中值定理 )()(

16、)(abfafbf 推 論推 論 2 2 如 果 對如 果 對),(ba內 任 意內 任 意 x， 均 有， 均 有 )()(xgxf，則在，則在),(ba 內內)(xf與與)(xg之間只差一個之間只差一個 常數(shù)，即常數(shù)，即Cxgxf)()(（C為常數(shù)） 為常數(shù)） 例例3 3 ).11( 2 arccosarcsin xxx證明證明 證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設設 ) 1 1 ( 1 1 )( 22 xx xf . 0 1 , 1,)( xCxf 0arccos0arcsin)0( f又又 2 0 , 2 . 2 C即即. 2 arccosarcsin xx 00

17、0 由由推論推論 微分中值定理微分中值定理 自證自證 ).,( x , 2 cotarcarctan xx 說明說明欲證欲證, Ix 只需證在只需證在 上上 且且, 0 Ix 使使 .)( 00 Cxf I ,)( 0 Cxf , 0)( x f 思考題思考題 2002年考研數(shù)學一年考研數(shù)學一, 3分分 則則內有界且可導內有界且可導在在設函數(shù)設函數(shù),), 0()( xfy . 0)(lim,0)(lim)( xfxfA xx 必有必有時時當當 . 0)(lim,)(lim)( xfxfB xx 必有必有存在時存在時當當 . 0)(lim,0)(lim)( 00 xfxfC xx 必有必有時時當

18、當 . 0)(lim,)(lim)( 00 xfxfD xx 必有必有存在時存在時當當 微分中值定理微分中值定理 柯西柯西 Cauchy (法法)1789-1859 柯西中值定理柯西中值定理 :)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf ;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba (1) (2),),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba 使得使得 , 0)( x F且且 )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 微分中值定理微分中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 廣義微分中值定理廣義微分中值定理 )

19、,(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabFaFbF ),(, )( )( )()( )()( ba F f aFbF afbf 這兩個這兩個 錯錯 ! ! 柯西中值定理柯西中值定理 :)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf ;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba (1) (2),),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba 使得使得 , 0)( x F且且 )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 微分中值定理微分中值定理 柯西定理的下述證法對嗎柯西定理的下述證法對嗎 ? ? 不一定相同不

20、一定相同 前面對拉格朗日中值定理的證明前面對拉格朗日中值定理的證明,構造了構造了 x ab afbf xfxg )()( )()( 現(xiàn)在對現(xiàn)在對兩個兩個給定的函數(shù)給定的函數(shù) f(x)、F(x), 構構造造 )()(xfx 即可證明柯西定理即可證明柯西定理. 輔助函數(shù)輔助函數(shù) 輔助函數(shù)輔助函數(shù) )(xF )()(afbf )()(aFbF 微分中值定理微分中值定理 )( )( )()( )()( F f aFbF afbf ),(ba )()( )( )( )()(aFbF F f afbf 分析分析 上式寫成上式寫成 xxF )( 用類比法 用類比法 ),(),()()()(bafabafbf

21、 柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義 )( )( tfy tFx )( )( d d tF tf x y 注意 弦的斜率弦的斜率 柯西中值定理柯西中值定理 :)()(滿足滿足及及若函數(shù)若函數(shù)xFxf ;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba (1) (2),),(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間ba ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba 使得使得 , 0)( x F且且 )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 微分中值定理微分中值定理 切線斜率切線斜率 X Y O )(bF)(aF)( F )(bf )(af 羅爾羅爾 定理定理 拉格朗日拉格朗日 中值定

22、理中值定理 柯西柯西 中值定理中值定理 xxF )()()(bfaf 羅爾羅爾(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值 定理、柯西中值定理之間的關系定理、柯西中值定理之間的關系: 推廣推廣推廣推廣 這三個定理的條件這三個定理的條件都是充分條件都是充分條件, 換句話說換句話說, 滿足條件滿足條件, 不滿足條件不滿足條件, 定理可能成立定理可能成立, 不是必要條件不是必要條件. 而而 成立成立; 不成立不成立. 微分中值定理微分中值定理 定理定理 也可能也可能 應用三個中值定理常解決下列問題應用三個中值定理常解決下列問題 (1) 驗證定理的正確性驗證定理的正確性; (

23、2) 證明方程根的存在性證明方程根的存在性; (3) 引入輔助函數(shù)證明等式引入輔助函數(shù)證明等式; (4) 證明不等式證明不等式; (5) 綜合運用中值定理綜合運用中值定理(幾次運用幾次運用). 微分中值定理微分中值定理 關鍵關鍵 逆向思維逆向思維,找輔找輔 助函數(shù)助函數(shù) 費馬費馬(1601 1665) 法國數(shù)學家, 他是一位律師, 數(shù)學 只是他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛, 博 覽群書并善于思考, 在數(shù)學上有許多 重大貢獻. 他特別愛好數(shù)論, 他提出 的費馬大定理: ,2無整數(shù)解方程時當 nnn zyxn 至今尚未得到普遍的證明. 他還是微積分學的先驅 , 費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方

24、法中 提煉出來的. 拉格朗日拉格朗日 (1736 1813) 法國數(shù)學家.他在方程論, 解析函數(shù)論, 及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻, 近百 余年來, 數(shù)學中的許多成就都直接或間 接地溯源于他的工作, 他是對分析數(shù)學 產生全面影響的數(shù)學家之一. 柯西柯西(1789 1857) 法國數(shù)學家, 他對數(shù)學的貢獻主要集中 在微積分學, 柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是為巴黎綜合學 校編寫的分析教程, 無窮小分析概論, 微積 分在幾何上的應用 等, 有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠 . 對數(shù)學的影 他是經典分析的奠人之一, 他為微積分 所奠定的基礎推動了分析的發(fā)展. 復變函數(shù)和微分方程方面 . 一

25、生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 以下內容是本節(jié)的習題課 例例. 設 ,0)(Cxf且在),0(內可導, 證明至少存 在一點, ),0(使.cot)()(ff 提示提示: 由結論可知, 只需證 0cos)(sin)(ff 即0sin)( x xxf 驗證 )(xF 在 ,0上滿足羅爾定理條件. 設xxfxFsin)()( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例. 若 )(xf可導, 試證在其兩個零點間一定有 )()(xfxf的零點. 提示提示: 設,0)()( 2121 xxxfxf 欲證:, ),( 21 xx使0)()(ff 只要證0)()(ff e e 亦即 0 )( x x

26、xfe 作輔助函數(shù), )()(xfexF x 驗證)(xF在, 21 xx上滿足 羅爾定理條件. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 證明不等式 證證: 設, )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf 中值定理條件, 即 因為 故 . )0()1ln( 1 xxx x x )0()(fxf )1ln(xx x 0, 1 1 x x x 1 x )0()1ln( 1 xxx x x xxf0, )0)( 因此應有 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 證明. )0( 1 arctan )1ln( x x x x 證證: 設xxxxarctan)1ln()1 ()(,

27、 則0)0( 2 1 1 )1ln(1)( x xx )0(0 x 故0 x時, )(x單調增加 , 從而0)0()(x 即)0( 1 arctan )1ln( x x x x 思考思考: 證明) 10( arcsin )1ln( 1 1 x x x x x 時, 如何設輔助 函數(shù)更好 ? xxxxxarcsin1)1ln()1 ()( 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 提示提示: 10nab abnabaabnb nnnn 11 ba , n xxf ba , ab afbf f 例例(作業(yè))： ，證明： 證明：在區(qū)間上考慮函數(shù)，利用拉格朗 中至少存在一點使得日中值定理，在區(qū)間 ab

28、ab n nn n 1 111 nnn nbnnaba 11 n nn n nb ab ab na 即 又因為 所以 bae lnlnee lnln e e 即即 0 1 2 )( ln )()(eeff 則則 e e ab ba x x xf ln )(取取,ex e 例例 求證求證 （85高考 ) 證明證明 改證改證 練習練習 ,時時1xexe x )(0 x e )(1xeeexee x 化為證化為證 1xexf x ,)(取取 xxexe eefxf x 111 1 ),()( )()( 用中值定理有用中值定理有 思考: 在 0,0 0,sin )( 1 2 x xx xf x,0 x

29、 ),0(, )0)()0()(xxffxf 即 x x 1 2 sin 1 sin2(,)cos 1 x ),0(x x x 111 sinsin2cos 當,0 0 x時 . 0cos 1 問問是否可由此得出 ?0coslim 1 0 x x 不能不能 ! 因為)(x是依賴于 x 的一個特殊的函數(shù). 因此由上式得 表示 x 從右側以任意方式趨于 0 . 0 x 應用拉格朗日中值定理得 上對函數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 證明當 x 0 時,.) 1(ln) 1( 22 xxx 證證: 令,) 1(ln) 1()( 22 xxxxf則0) 1 (f xxxfln2)(0)

30、 1 ( f xxfln2)( ,1 2 1 x 02) 1 ( f 3 2 ) 1(2 )( x x xf x x 1 , ) 1(2x 法法1 由 )(xf在1x處的二階泰勒公式 , 得 )(xf 2 ) 1( !2 ) 1 ( x f 3 ) 1( !3 )( x f 2 ) 1( x 3 3 2 ) 1( 3 1 x xx在, 0( 0 故所證不等式成立 . 與 1 之間) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 法法2 列表判別: ,) 1(ln) 1()( 22 xxxxf0) 1 (f 2ln2)( 1 x xxxf0) 1 ( f ,1ln2)( 2 1 x xxf 02) 1 (

31、 f 3 2 ) 1(2 )( x x xf x )(x f )(x f )(x f )(xf 1 )1,0(), 1( 0 0 2 0 ,0)(0 xfx時故當即.) 1(ln) 1( 22 xxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 法法3 利用極值第二判別法極值第二判別法. ,0)(1的唯一根是易知xfx 的唯一為)(1xfx 故0) 1 (f也是最小值 , 因此當0 x時,0)(xf即 22 ) 1(ln) 1(xxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,) 1(ln) 1()( 22 xxxxf0) 1 (f 2ln2)( 1 x xxxf0) 1 ( f ,1ln2)( 2 1

32、x xxf 02) 1 ( f ，極小點 ,0) 1 ( f 且 1 y ox 2 2 ) 1( ln) 1( x xxy 例例6. 設函數(shù)在)(xf),(ba 內可導, 且 ,)(Mxf 證明在)(xf),(ba內有界. 證證: 取點, ),( 0 bax 再取異于 0 x的點, ),(bax對 xxxf,)( 0 在以 為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理, 得 )()()( 00 xxfxfxf)( 0 之間與界于xx )()()( 00 xxfxfxf 00 )()(xxfxf )()( 0 abMxfK(定數(shù)) 可見對任意 , ),(bax,)(Kxf即得所證 . 機動 目錄 上頁 下頁 返

33、回 結束 1 1 lncos 1lnln 1lnsinlnsin e e ), 1(, )( )( ) 1 ()( ) 1 ()( e F f FeF fef 例例7. 試證至少存在一點), 1(e使.lncos1sin lncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 . xxFxxfln)(,lnsin)( 則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理條件, 令 因此 1 1 lncos lncos1sin即 分析分析: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例. 試證至少存在一點), 1(e使.lncos1sin 法法2 令 xxflnsin)( 則 f (x) 在

34、 1 , e 上滿足羅爾中值定理條件, , ), 1 ( e使 0)(f xlncos )(xf1sin x 1 lncos1sin 因此存在 x 1 xln1sin 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8. 設 ,0)(Cxf且在),0(內可導, 證明至少存 在一點, ),0(使.cot)()(ff 提示提示: 由結論可知, 只需證 0cos)(sin)(ff 即0sin)( x xxf 驗證 )(xF 在 ,0上滿足羅爾定理條件. 設xxfxFsin)()( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9 9 ).0()1(2)(),1 , 0( :,)1 , 0(,1 , 0)( fff

35、 xf 使使至少存在一點至少存在一點 證明證明內可導內可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設函數(shù)設函數(shù) 證證 分析分析結論可變形為結論可變形為 2 )( 01 )0()1(fff . )( )( 2 x x xf ,)( 2 xxF 設設 上上在在1 , 0)(),(xFxf 有有內內至至少少存存在在一一點點在在,)1 , 0( 01 )0()1( ff ).0()1(2)(fff 2 )( f 即即 微分中值定理微分中值定理 滿足柯西中值定理條件滿足柯西中值定理條件, , 例例1010 分析分析 將結論交叉相乘得將結論交叉相乘得 :. 0)(,)()(試試證證明明且且可可導導在在與與若若 x gbaxg

36、xf 0)()()()()()( x xgxfbgxfxgaf 輔助函數(shù)輔助函數(shù)F(x) 微分中值定理微分中值定理 )( )( )()( )()( ),( g f bgg faf ba 使得使得 )()()()()()()()(bgfgfgfgaf 0)()()()()()()()(bgfgfgfgaf 0 x bgxfxgxfxgxfxgaf)()()()()()()()( 證證 設輔助函數(shù)設輔助函數(shù) )(xF :)(滿滿足足xF ;,(1)上上連連續(xù)續(xù)在在ba,),()2(內內可可導導在在ba )()()()3(bgafaF )(bF 因此因此F(x)滿足滿足Rolle定理的條件定理的條件

37、. )()()()()()(xgxfbgxfxgaf 微分中值定理微分中值定理 )()()(xgafxF)()(bgx f )()(xgx f )()(xgxf ,),( 內至少存在一點內至少存在一點則在則在ba 即即 0)()()()()()( bggffafg 得得 )( )( )()( )()( g f bgg faf . 0)( F使使 證畢證畢. 微分中值定理微分中值定理 )(xF)()()()()()(xgxfbgxfxgaf )()()()()()( gfgfgaf0)()(bgf 練習練習. 設 在)(xf ),(上可導, 且 證明 f ( x ) 至多只有一個零點 . 證證:

38、 設)()(xfex x 則 )()()(xfxfex x 0 ,0)()(xfxf 故)(x在),(上連續(xù)單調遞增, 從而至多只有 一個零點 . 又因,0 x e因此 )(xf也至多只有一個零點 . 思考思考: 若題中0)()(xfxf改為,0)()(xfxf 其它不變時, 如何設輔助函數(shù)?)()(xfex x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)P_98四四 例例15. 求)0() 1 arctan(arctanlim 2 a n a n a n n 解法解法1 利用中值定理求極限 原式) 1 ( 1 1 lim 2 2 n a n a n n 之間）與在 1 ( n a n a 2 2 1 ) 1( lim a nn n n a 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法解法2 利用泰勒公式 令,a