同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)上D矢量PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1 同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)上同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)上D矢量矢量 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 一、向量的概念一、向量的概念 二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量及其線性運(yùn)算 第七七章 第1頁/共28頁 .a或 表示法: 向量的模 :向量的大小, , 21M M記作 向量: (又稱矢量). 1 M 2 M 既有大小, 又有方向的量稱為向量 向徑 (矢徑): 自由向量:與起點(diǎn)無關(guān)的向量. 起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量. 單位向量: 模為 1 的向量, .

2、a或記作 a 零向量: 模為 0 的向量, .00或，記作 有向線段 M1 M2 , 或 a , ,a或.a或 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共28頁 規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ; 若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等, 記作 ab ; 若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ; 與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量, 記作 因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱 兩向量共線 . 若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個向量共面 . 記作a ; 機(jī)動 目錄 上頁 下頁

3、返回 結(jié)束 第3頁/共28頁 1. 向量的加法向量的加法 三角形法則: 平行四邊形法則: 運(yùn)算規(guī)律 :交換律 結(jié)合律 三角形法則可推廣到多個向量相加 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 b b abba cba)()(cbacba a b c ba cb )(cba cba)( a a ba ba 第4頁/共28頁 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 s 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 54321 aaaaas 第5頁/共28頁 三角不等式 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ab)( ab 有時特別當(dāng),ab aa )( aa baba ab a b ab a 0 baba 第6頁

4、/共28頁 aa 是一個數(shù) , .a 規(guī)定 : 時，0，同向與aa ,0時 ,0時.0 a ;aa ;1aa 可見 ;1aa ;aa 與 a 的乘積是一個新向量, 記作 ，反向與aa 總之: 運(yùn)算律 : 結(jié)合律 )(a )( a a 分配律 a )(aa )(ba ba , 0 a若 a則有單位向量 . 1 a a 因此 aaa 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共28頁 設(shè) a 為非零向量 , 則 ( 為唯一實(shí)數(shù)) 證證: “ ”. , 取 且 再證數(shù) 的唯一性 . 則 ,0故.即 ab ab 設(shè) ab b a 取正號, 反向時取負(fù)號, , a , b 同向時 則 b 與 a 同向

5、, 設(shè)又有 b a , 0)(a aa b a a b .ab故 ,0a而 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共28頁 “ ” 則 ,0 時當(dāng) 例例1. 設(shè) M 為 M B A C D 解解: ABCD 對角線的交點(diǎn), ,0 時當(dāng) b a ,0 時當(dāng) ,aAB ,bDA ACMC2MA2 BDMD2MB2 已知 b a , b0 a , b 同向 a , b 反向 ab .,MDMCMBMAba表示與試用 ba ab )( 2 1 baMA)( 2 1 abMB )( 2 1 baMC)( 2 1 abMD 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共28頁 x y z 由三條互相

6、垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則 組成一個空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸 x軸(橫軸) y軸(縱軸) z 軸(豎軸) 過空間一定點(diǎn) o , o 坐標(biāo)面 卦限(八個) 面xoy 面yoz zox面 1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共28頁 x y z o 向徑 11 坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ; 坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C 點(diǎn)點(diǎn) M 特殊點(diǎn)的坐標(biāo) : 有序數(shù)組 ),(zyx 11 )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB ),(zoxC (稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)坐標(biāo)

7、) 原點(diǎn) O(0,0,0) ; r r 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 M 第11頁/共28頁 坐標(biāo)軸 : 軸x 0 0 z y 0 0 x z 軸y 軸z 0 0 y x 坐標(biāo)面 : 面yox0 z 面zoy0 x 面xoz0 y 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x y z o 第12頁/共28頁 在空間直角坐標(biāo)系下, 設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM 則 沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量分向量. kzjyixr ),(zyx x o y z M N B C i j k A ,軸上的單位向量分別表示以zyxkji 的坐標(biāo)為 此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 , rkzjyix 稱為向量,

8、 r 任意向量 r 可用向徑 OM 表示. NMONOMOCOBOA 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ixOA , jyOB kzOC 第13頁/共28頁 設(shè) ),( zyx aaaa , ),( zyx bbbb 則 ba ),( zzyyxx bababa a ),( zyx aaa ab ,0 時當(dāng) a ab xx ab yy ab zz ab x x a b y y a b z z a b 平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例: ，為實(shí)數(shù) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共28頁 求解以向量為未知元的線性方程組 ayx 35 byx 23 .211,212），（），（其中ba

9、解解: 2 3 , 得 bax 32)10, 1,7( 代入得 )3( 2 1 bxy )16,2,11( 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共28頁 在AB直線上求一點(diǎn) M , 使 解解: 設(shè) M 的坐標(biāo)為 , ),(zyx 如圖所示 A B M o 1 1 M A B , ),( 111 zyxA),( 222 zyxB 及實(shí)數(shù) , 1 得 ),(zyx 1 1 ),( 212121 zzyyxx 即 .MBAM AMMB AMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA( 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共28頁 得定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式: ,

10、 1 21 xx , 1 21 yy 1 21 zz ,1時當(dāng) 點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn) , 于是得 x, 2 21 xx y, 2 21 yy z 2 21 zz A B M o M A B ),(zyx 1 1 ),( 212121 zzyyxx xy z 中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共28頁 1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 222 zyx ),(zyxr 設(shè) 則有 OMr 222 OROQOP x o y z M N Q R P 由勾股定理得 ),( 111 zyxA 因 A B 得兩點(diǎn)間的距離公式: ),( 121212

11、 zzyyxx 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxx 對兩點(diǎn)與 , ),( 222 zyxB , rOM 作 OMr OROQOP BABA OAOBBA 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共28頁 )3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4( 321 MMM 證證: 1 M 2 M 3 M 21M M 2 )47( 2 )31 ( 2 ) 12( 14 32M M 2 )75( 2 ) 12( 2 )23( 6 31M M 2 )45( 2 )32( 2 ) 13( 6 3132 MMMM 即 321 MMM 為等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形

12、 . 為頂點(diǎn) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共28頁 )7, 1 ,4(A 等距 解解: 設(shè)該點(diǎn)為 , ),0,0(zM ,BMAM因?yàn)?2 )4( 2 1 2 )7(z 2 3 2 5 2 )2(z 解得 , 9 14 z 故所求點(diǎn)為 及 )2,5,3(B . ),0,0( 9 14 M 思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程? (2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ? 離的點(diǎn) . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共28頁 (1) 設(shè)動點(diǎn)為 , )0,(yxM 利用 ,BMAM 得 ,028814 yx (

13、2) 設(shè)動點(diǎn)為 , ),(zyxM 利用 ,BMAM 得 014947zyx 且 0z 例例6. 已知兩點(diǎn) )5,0,4(A 和 , )3, 1 ,7(B 解解: 求 14 1 )2,1,3( 14 2 , 14 1 , 14 3 . BA BA BA BA 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共28頁 o y z x 設(shè)有兩非零向量 ,ba 任取空間一點(diǎn) O , ,aOA 作 ,bOB O A B 稱 =AOB (0 ) 為向量 ba , 的夾角. ),(ab 或 類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),( zyxr給定 與三坐標(biāo)軸的夾角 , , r r 稱 為其方向角方向

14、角. cos r x 222 zyx x 方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作 ),(ba 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共28頁 o y z x r cos r x 222 zyx x cos r y 222 zyx y cos r z 222 zyx z 1coscoscos 222 方向余弦的性質(zhì): :的單位向量向量 r r r r )cos,cos,(cos 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共28頁 )2,2,2( 1 M 和 , )0,3, 1( 2 M 的模 、方向余弦和方向角 . 解解: ,21,23)20 計(jì)算向量 )2, 1, 1( 222

15、 )2(1) 1( 2 , 2 1 cos, 2 1 cos 2 2 cos , 3 2 , 3 4 3 21M M ( 21 MM 21M M 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共28頁 解解: 已知 作業(yè)作業(yè) P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 角依次為 , 43 求點(diǎn) A 的坐標(biāo) . , 43 則 222 coscos1cos 4 1 因點(diǎn) A 在第一卦限 ,故 ,cos 2 1 于是 (6, 2 1 , 2 2 ) 2 1 )3,23,3( 故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 . )3,23,3( 向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且 OA OAAO 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共28頁 解解: 因 pnma 34 )853(4kji )742(3kji )45(kji kji 15713 1. 設(shè) ,853kjim ,742kjin 求向量 pnma 34 在 x 軸上的投影